www.VNMATH.com
TUYỂN TẬP 100 HỆ PHƯƠNG TRÌNH LTĐH NĂM HỌC 2014-2015
NHÓM GIÁO VIÊN THỰC HIỆN
1) PHẠM VĂN QUÝ
2) NGUYỄN VIẾT THANH
3) DOÃN TIẾN DŨNG
ĐƠN VỊ CÔNG TÁC: TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG, TX ĐỒNG XOÀI, TỈNH BÌNH PHƯỚC
2
x 12 y y(12 x ) 12 (1)
(x, y R)
Bài 1 Giải hệ phương trình: 3
x 8x 1 2 y 2
(2)
2 y 12
2 y 12
Điều kiện :
12 x 2 0
2 3 x 2 3
Giải
Cách 1:
Đặt a 12 y , a 0 y 12 a 2
PT (1) xa (12 a 2 )(12 x 2 ) 12
122 12x 2 12a 2 x 2a 2 12 xa
xa 12
2
12 12x 2 12a 2 x 2a 2 122 2.12.xa x 2a 2
xa 12
2
12x 2.12xa 12a 2 0
xa 12
(x a )2 0
Ta có (x – a)2 = 0 x = 12 y (*)
Thế (*) vào (2) được : (12 y ) 12 y 8 12 y 1 2 y 2
(4 y ) 12 y 2 y 2 1
(3 y ) 12 y 12 y 3 2 2 y 2 0
(3 y ) 12 y
3 y
12 y 3
2(3 y )
1 y 2
0
y 3
1
2
0(voâ nghieäm)
12 y
12
y
3
1
y
2
www.VNMATH.com
(ĐH khối A – 2014)
www.VNMATH.com
x 3
Vậy
y 3
Cách 2:
Ta có x 12 y (12 x 2 )y
x
Dấu “=” xảy ra
12 y 2
x
2
12 x 2 12 y y 12
12 y
x y (12 y )(12 x 2 ) (3)
y
Khi đó (1) tương đương với (3)
x 0
x 0
x 0
x 2y 144 12x 2 12y x 2y
12y 144 12x 2
y 12 x 2 (4)
(3)
Thế (4) vào (2) ta có
(2) x 3 8x 1 2 10 x 2 x 3 8x 1 2 10 x 2 0
x 3 8x 3 2 1 10 x 2 0
x 3 x 2 3x 1 2.
x 3 x 2 3x 1 2.
1 (10 x 2 )
1 10 x 2
9 x2
2
0
0
1 10 x
2(x 3)
x 3 x 2 3x 1
0
1 10 x 2
x 3
2
2(x 3)
0 (voâ nghieäm vì x 0)
x 3x 1
2
1 10 x
x 3y 3
x 3
Vậy
y 3
Cách 3:
Đặt a x ; 12 x 2 ;b
a b 12
2
2
12 y ; y
(1) a b 2a.b
a b x 12 y
(2) x 3 8x 3 2 10 x 2 2
www.VNMATH.com
x 3 x 2 3x 1 2
www.VNMATH.com
3 x 3 x
10 x 2 1
x y 3
x
2
3x 1
10 x 2 1 2 3 x 0
Đặt f x x 2 3x 1 10 x 2 1 2 3 x
f ' x 0 x 0 phương trình vô nghiệm.
Vậy nghiệm của hpt trên: (3;3)
(1 y ) x y x 2 (x y 1) y
Bài 2 Giải hệ phương trình: 2
(ĐH khối B – 2014)
2y 3x 6y 1 2 x 2y 4x 5y 3
Giải
y 0
Điều kiện: x 2y
4x 5y 3
Phương trình thứ nhất viết lại thành
(1 y ) x y (1 y ) (x y 1) (x y 1) y
y 1
y 1
(1 y )(x y 1)
(x y 1)
x y 1
y 1
x y 1
TH1 : y 1 thay xuống (2) ta có
9 3x 2 x 2 4x 8 x 3(TM )
TH2 : x y 1 thay xuống (2) ta có
2y 2 3y 2 2 1 y 1 y
2y 2 3y 2 1 y 0
2(y 2 y 1) (y 1 y ) 0
1
(y 2 y 1) 2
0
y 1 y
y
5 1
x
2
Vậy hệ đã cho có nghiệm : (x ; y ) (3;1),(
5 1
(TM )
2
5 1 5 1
;
).
2
2
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
y(x 2x 2) x (y 2 6)
Bài 3 Giải hệ phương trình:
(y 1)(x 2 2x 7) (x 1)(y 2 1)
2
Giải
ĐK: x , y R
2
2
b(a 2 1) (a 1)(b 2 6)
a x 1
(a 1)(b 6) b(a 1) (*)
Đặt
, ta có hệ trở thành:
2
2
2
2
b y
(b 1)(a 6) a(b 1)
(b 1)(a 6) a(b 1)(**)
Trừ vế theo vế hai phương trình rồi thu gọn ta có:
a b
(a b)(a b 2ab 7) 0
a b 2ab 7 0
Trường hợp 1: a b thay vào phương trình (*) ta có:
a 2
(a 1)(a 2 6) a(a 2 1) a 2 5a 6 0
a 3
x 1
hệ có 2 nghiệm (x; y) là:
x
2
Trường hợp 2: a b 2ab 7 0
2
2
5
5
1
Trừ vế theo vế hai phương trình (*) và (**) rồi rút gọn ta có: a b
2
2
2
a b 2ab 7 0
2
2
Vậy ta có hệ phương trình:
a 5 b 5 1
2
2
2
a 2 a 3 a 2 a 3
Đây là hệ đối xứng loại I, giải hệ ta có các nghiệm:
;
;
;
b 2 b 3 b 3 b 2
Từ đó ta có các nghiệm (x; y) là: (1;2),(2; 3),(1; 3),(2;2).
Kết luận: Hệ phương trình có 4 nghiệm là: (1;2),(2; 3),(1; 3),(2;2).
x 3 12x y 3 6y 2 16 0
Bài 4 Giải hệ phương trình: 2
4x 2 4 x 2 5 4y y 2 6 0
Giải
ĐK: x 2;2 , y 0; 4
Ta có PT (1) (x 2)3 6(x 2) y 3 6y 2
Xét hàm số f (t ) t 3 6t, t 0; 4 ta có f '(t ) 3t 2 12t 3t(t 4) 0, t 0; 4 f (t ) nghịch
biến trên 0; 4 . Mà phương trình (1) có dạng: f ( x 2) f ( y ) y x 2 thay vào phương trình (2) ta
có: 4x 2 6 3 4 x 2 x 0 từ đó ta có y = 2.
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm (0; 2).
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
x 2 y 1 3
Bài 5 Giải hệ phương trình: 3
.
x 4x 2 y 1 9x 8y 52 4xy
Giải
§K: y 1 .
x 3 2 y 1
HPT 3
2
x 4x y 1 4xy 4x 13x 8y 52 0
x 3 2 y 1
x (x 2 y 1)2 13x 8y 52 0
x 3 2 y 1
x 2y 13 0
x 3 2 y 1
y 1 5 y
x 3 2 y 1
y 5
2
y 11y 24 0
x 3 2 y 1
x 7
y 5
y 3
y 3
y 8
x 7
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm:
.
y 3
y 2x y x
1 0
Bài 6 Giải hệ phương trình:
xy
1 xy x 2 y 2 0
ĐK: x 0; y 0; xy 1
1 y 2x
2 , ta được:
y x xy 0
y x
y 2 x 1 0 y x y x thay vào
1x2 0 x 1 y 1
KL: hệ pt có tập nghiệm: S 1;1
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
2 x y
3 x 2 y2
5 x y 8 xy
xy
xy
Bài 7 Giải hệ phương trình:
5x y
5x 1 2 y
2
1
ĐK: x ; 0 y 2
5
3
3
Đặt u x y, u 0; v xy , v 0 khi đó
2
u
u
u
u
0 2 u 2v
1
2
u
3
u
v
uv
2
v
0
2
2
1
v
v
v
v
3
2
x y 2 xy
2
3
x y
5x 1 2 x 3x
2
0 x y thay vào 2 , ta được:
5x 5
5x 1 2
5
1
3x 3 x 1
3 0
5x 1 2
2 x 1
2 x 1
1x
x 1 y 1
5
1
1
3
0
VN
v
ì
x 2
5
5
x
1
2
2
x
1
KL: tập nghiệm của hệ pt là: S 1;1
2
3
x x 1
x 2
x y
1
2x 11 2 3y 1
2
y y
x y
y
Bài 8 Giải hệ phương trình:
x 3 x 2 1 4
1 0
y
y2
ĐK: y 0
2
3
2
y x 1
x 1
x y 1x y 1 0
x y x y x y 1 0
Hệ 3
x 1
y 2
3
2
2
x x 2 1 4y y 2 0
1
4
0
x
x
y
y
KL: S 1;2
2
2
2
2
2
2
4x 3xy 7y 4 x 5xy 6y 3x 2xy y
Bài 9 Giải hệ phương trình: 2
2
3x 10xy 34y 47
2
2
3x 2xy y 0
ĐK: 2
4x 3xy 7y 2 0
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Chuyển vế nhân liên hợp ở phương trình 1 , ta được:
x y n
1
4 0
x 2 5xy 6y 2
4x 2 3xy 7y 2 3x 2 2xy y 2
x 6y
n
x 1 y 1
Với x y thay vào 2 , ta được: x 2 1
x 1 y 1
y 47 x 6
82
Với x 6y thay vào 2 , ta được: 82y 2 47
y 47 x 6
82
47
82
47
82
47
47 47
47
KL: S 1;1, 1; 1,
; 6
;6
;
82 82
82
82
www.VNMATH.com
x 2 3xy 3 x y 0
Bài 10 Giải hệ phương trình: 4
x 9y x 2 y 5x 2 0
x 2 3y 3x 3xy
Hệ 2
2
2
2
x 3y 3x y 5x 0
x 0 y 0
1
2
2
Thay 1 vào 2 , ta được: x 9y 15y 4 0 y x 1
3
y 4 x 2 x 4 0
3
1
KL: S 0; 0; 1;
3
2
2
x 2 4 y 1 4xy 13
Bài 11 Giải hệ phương trình: x 2 xy 2y 2
2
x y
2
x y
x y2
x y 0
ĐK: x y 0
x 2y 0
www.VNMATH.com
VN
www.VNMATH.com
x 4xy 4y 4x 8y 5 0
x y x 2y x y x y 2
Hệ
2
2
x 2y 1
2
Ta có PT 1 x 2y 4 x 2y 5 0
l
x 2y 5
Với x 2y 1 thay vào 2 , ta được:
3y 1
y 1 1 3y 9y 3 6y 2 13y 0 y 0 x 1 thỏa mãn
KL: S 1; 0
2
x 5 x 2 2y x 2 3 2y
Bài 12 Giải hệ phương trình:
x 2 3y 6
ĐK: x 2y
x 2 2y 1
Ta có 2 x 2 6 3y thay vào 1 ta được: 1 5y 6 5y 5y 9 y 1 x 3 thỏa
mãn
KL: S
3;1; 3;1
x2 y
y 1
2
2
x
1
y
1
Bài 13 Giải hệ phương trình:
2
x 4y x 2 1 6 5 x 2 1 1
x
2
1 y 1
x 1 x 1
ĐK: y 1
2
x 1 y 1 0
2
a x 1, a 0
, ta được:
Đặt:
b y 1,b 0
2
b a b 2
3
a 4ab 2 5a 2b 6
Nhân chéo hai phương trình giải hệ đẳng cấp ta đươc tập nghiệm: S
20y 3 3y 2 3xy x y 0
Bài 14 Giải hệ phương trình: 2
2
x y 3y 1
www.VNMATH.com
10;2 ; 10;2
www.VNMATH.com
20y y 3y 1 x 3y 1 0
.
x 2 y 2 3y 1
3
Hệ
Thế 2 vào 1 , ta được phương trình thuần nhất bậc 3
3 1 3 1
KL: S ; ; ;
2 2 5 5
2
2
x 3y x 3y 0
Bài 15 Giải hệ phương trình:
2y 1 2x 2 y 2 3x 1 0
ĐK: y
1
2
3y x
3y x
Ta có PT 1 x 2 3y 2 3y x 2
y 0 l
6y 6xy 0
x y
Với x y thay vào 2 , ta được:
y 1 x 1
2
4
3
2
2y 1 y 3y 1 y 6y 11y 8y 2 0 y 2 2 l
y 2 2 x 2 2
KL: S 1;1; 2 2;2 2
2
3 x 4 y 4 2x 2y 2
x
y2
2
2
2
Bài 16 Giải hệ phương trình: y 2 x 2
x
y
xy 2 3y 2 4x 8
ĐK: x .y 0
Ta có PT 1 x 2 y 2
2
x 4 x 2y 2 y 4
0 x 2 y 2 x y
x y
2
2 2 2
2
x y x y
Với x y thay vào 2 , ta được: x 1 y 1
Với x y thay vào 2 , ta được: y 1 x 1
KL: S 1;1; 1; 1
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
10x 2 5y 2 2xy 38x 6y 41 0
Bài 17 Giải hệ phương trình: 3
x xy 6y y 3 x 2 1 2
x 3 xy 6y 0
ĐK: 3
y x2 1 0
Ta có PT 1 10x 2 2x y 19 5y 2 6y 41 0 .
Tính Δ 'x 49 y 1 0 y 1 thay vào 1 được x 2 thỏa hệ phương trình
2
KL: S 2;1
x 3 y 3 x 2y xy 2 2xy x y 0
Bài 18 Giải hệ phương trình:
x y x 3 2x 2 y 2
ĐK: x y
y x 1
Ta có PT 1 x y 1 x 2 y 2 x y 0 2
2
x y x y 0
x 0 y 1
y x 1 thay vào 2 , ta được: x 3 2x 2 x 0
x 1 y 0
x 2 y2 x y 0 x y 0
vì x y 0 thay vào hệ không thỏa
KL: S 1; 0; 0; 1
2
2
3 2
3 2
y 8x 3 1 3 y 1 y 1
Bài 19 Giải hệ phương trình:
2
2
2
2
2
3 2
3
4 3 y 1 2 y 1 12x y 1 4x
1
1
x
2
2
2
a 3 y 1
Đặt:
, ta có:
b 1 4x 2 , b 0
ĐK:
b
2
b
3
2
3
2
2
a 3a 2a 3b b 0 a b 2 b
thay vào 1 , ta được:
3
a 3a 2 a 2b 2 0
3 b 2 b 2 b 2 b 3b 2 b 0 b 0 a 0 .
2
x 1
1 4x 0
Khi đó ta có: 2
3
y 12
y 1 0
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
1 1
1 1
KL: S ;1; ; 1; ;1; ; 1
2 2
2 2
3x 6 24y 3 2y x 2 9x 2 18y 11 0
Bài 20 Giải hệ phương trình:
1 3 2 2y 1 x 3 x 6y 1
ĐK: y 0
Ta có PT 1 x 2 2y 3x 4 6x 2y 9x 2 12y 2 18y 1 0
Với x 2 2y thay vào 2 , ta được:
1
2
1 2x 1 x 4x 1 x 1
0
x 1 3
3
2
2
3
3
(4x 1) 4x 1 2x 1 (2x 1)
3
3
1
2
x 1y
1
KL: S 1;
2
2 x y
2
x y
xy
xy
x y
xy
Bài 21 Giải hệ phương trình:
1
1
x y 4
y
x
ĐK: x 0; y 0
Ta có PT 1
y x xy
2
0 x y xy x y x 2y 2 2 xy thay vào 2 ta được:
xy 1 xy xy xy xy 4 0 xy 1
3 5
x
x
y
3
2
Khi đó ta có:
1
xy
y 3 5
2
3 5 3 5
;
KL: thay vào hệ ta có tập nghiệm: S
2
2
x 2 x 1 4 4 x 1 0
y 1 y 1
y 1
Bài 22 Giải hệ phương trình:
y 1
2
y 1x 1 x 1 2 y 1
2
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
ĐK: x 1; y 1
a x 1, a 0
b 2
2
Đặt:
. Ta có 1 b 2 a 2b 2 2ab ab 2 0
a 0
b y 1, b 0
x 1 0
x 1
thỏa hệ phương trình
y 1 2
y 5
KL: S 1; 5
x 3 y
1
4
y
2
x
y
Bài 23 Giải hệ phương trình:
1
1
1
2
3 3x 4y 8
y 1
y 1
ĐK: 2x y 0
3x 4y 8
2
Ta có 1 x 4y 1
0 x 4y thay vào 2 , ta được:
3 y 2x y
1
1
1
1
a 2 a 2 a 1 2a 2 a 1 0 a 1
3
2
2
2
2 y 1
y 1
1
1
6
y 1
1
a 6
y 1
1y 2x 8
KL: S 8;2
x 1 1 2y y 2 0
Bài 24 Giải hệ phương trình sau:
(x , y ).
y y x 1 x 4 0
Giải
Điều kiện: x 1.
Đặt t x 1, t 0. Khi đó x t 2 1 và hệ trở thành
t(1 2y ) y 2 0
t y 2ty 2 0
(t y ) 2ty 2 0
2
2
2
y(y t ) t 3 0
y ty t 3 0
(t y )2 3ty 3 0
t y 0
y t
2
Suy ra 2(t y ) 3(t y ) 0
3
t y
y t 3 .
2
2
Với y t, ta có 2t 2 2 0 t 1. Suy ra x 2, y 1.
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
3
3
3
3 13
.
Với y t , ta có 2t t 2 0 4t 2 6t 1 0 t
2
Suy ra x
2
2
4
19 3 13
3 13
,y
.
8
4
Vậy nghiệm (x; y) của hệ là
(x 2) x 2 4x 7 y y 2 3 x y 2 0
Bài 25 Giải hệ phương trình sau: 2
x y 1 x y 1
Giải
Điều kiện: x 2 y 1 0
Phương trình (1) (x 2) (x 2)2 3 x 2 y (y )2 3 y
2
2
Xét hàm số f (t ) t t 3 t Có f '(t ) t 3
t2
1 0 t
t2 3
Hàm số f(t) đồng biến trên R Phương trình (1) x 2 y
Thay vào (2) ta có
3
3
x
x
x x 1 2x 3
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
1
4
12
9
1
4
12x 9
x 3
:
3
2
x
x
1 x 1 y 1 (tmdk)
2
2
3x 13x 10 0
x 10
3
2
Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (-1;-1).
53 5x 10 x 5y 48 9 y 0
Bài 26 Giải hệ phương trình sau:
2
2x y 6 x 2x y 11 2x 66
Giải
10 x 0
x 10
9 y 0
y 9
ĐK:
2x y 6 0
2x y 6 0
2x y 11 0
2x y 11 0
Từ PT(1) ta có 5 10 x 3 10 x 5 9 y 3 9 y , 3
www.VNMATH.com
x , y
1
2
www.VNMATH.com
Xét hàm số f t 5t 3 t trên khoảng t 0; có f / t 15t 2 3 0, t 0 hàm số đồng
biến .Từ (3) ta có f
2
10 x f
9 y 10 x 9 y y x 1, 4 Thay (4) vào (2) ta
được x 7 10 x x 2 2x 66 0 (5) ĐK: x 7;10
Giải (5) ta được
x 7 4 1 10 x x 2 2x 63 0
x 9[
1
x 7 4
1
x 9
x 7 4
x 9
1 10 x
x 9x 7 0
x 7 ] 0 x 9, y 8
1 10 x
Vậy Hệ phương trình có nghiệm duy nhất x ; y 9; 8
x
1y
x y 1
Bài 27 Giải hệ phương trình sau: 1 1 x 1 y
1 x 4 y 2 2
Giải
ĐK: 0 x ; y 1
PT(1)
x
x
1 1x
1y
1 1 (1 y )
1 y (*)
1
xét h/s f (t )
t
1 1t
t ; có f (t ) 2 t
'
(1 1 t )
1
2 1t
(1 1 t )2
. t
1 0
,t (1; )
vì (*) f (x ) f (1 y) x 1 y , thế vào pt(2) ta được :
1 x 5 x 2 2 6 2x 2 5 6x x 2 8
5 6x x 2 x 1 5 6x x 2 (x 1)2 x
1
1
y
2
2
(tmđk)
x 1
2
vậy hệ pt có nghiệm là
1
y
2
27x 3y 3 7y 3 8
Bài 28 Giải hệ phương trình sau: 2
9x y y 2 6x
Giải
Nhận xét y 0, nhân hai vế phương trình thứ hai với 7y, trừ đi phương trình thứ nhất, được
(3xy )3 7(3xy )2 14(3xy ) 8 0
Từ đó tìm được hoặc 3 xy 1 hoặc 3 xy 2 hoặc 3 xy 4
Với 3 xy 1, thay vào phương trình thứ nhất, được y=1 do đó x
www.VNMATH.com
1
3
www.VNMATH.com
Với 3 xy 2, thay vào phương trình thứ nhất, được y=0 (loại)
Với 3 xy 4, thay vào phương trình thứ nhất, được y=-2 do đó x
2
3
3
3
x y 4x 2y
Bài 29 Giải hệ phương trình sau: 2
x 3y 2 4
Giải
3
3
Phương trình (1) 2(x y ) 4(2 x y)
Từ phương trình (2) thay 4 x 2 3y 2 vào phương trình trên và rút gọn ta được:
y 0
x 2y 6xy 2 5y 3 0 x y
x 5y
x 3 4x
TH1 : y 0 thay vào hệ ta được 2
x 2 nghiệm (x; y) (2; 0)
x 4
2x 3 2x
TH2 : x y y x thay vào hệ ta được : 2
x 1
4x 4
Hệ có nghiệm (x; y) (1; 1); (1;1)
TH3 : x 5y thay vào hệ ta có nghiệm (x; y) (
5
7
;
1
7
); (
5
7
;
1
7
)
Vậy hệ đã cho có 6 nghiệm.
www.VNMATH.com
y 2 . x 2 x . y 0
Bài 30 Giải hệ phương trình sau:
x 1. y 1 y 3. 1 x 2 y 3x
(x; y R).
Giải
x 1; y 0
x 2 y 3x 0
ĐK:
PT (1) x 2.y x . y 2 x 2 0
có y x 2 8 x 2 x 4
2
với y
x 1
2x 4
2 x 2
y 2x 4
2 x 2
y 2 0 loai
4 x 2
y x 2 y x 2 , thế vào (1) ta được
2
x 2 1 x 1 1 x 2 2x 2 x 1.( x 2 1) x 1. x 1 1 (*)
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Xét hàm số f (t ) t
t 2 1 1 t t 2 1 t , có f ' (t ) t 2 1
t2
2
t 1
1 0 f (t ) đồng
biến.
x 1
Vì PT (*) f ( x 1) f (x 1) x 1 x 1
2 x 3
x 1 x 1
Với x = 3 y 5 (thỏa mãn). Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (3; 5).
x 2 y 2 1 2x 2y
Bài 31 Giải hệ phương trình sau:
2x y y 1 2y
Giải
Lấy (1) + (2) vế theo vế ta được:
x 2
x 2 2xy 1 1 2x 4y x x 2y 2 x 2y x 2x 2y 0
x 2y 0
Trường hợp x=2 thay vào (2) ta có y = 1
Trường hợp x+2y = 0 thay vào (2) ta được phương trình vô nghiệm.
Vậy hệ có nghiệm x = 2; y = 1.
xy y 1 y 2 1 4y
Bài 32 Giải hệ phương trình sau: 2
1
xy x 2 2 y 2 5
y
Giải
Điều kiện y 0
1
1
x y 1 y 4
y x 1 x 4
y
y
(I )
2
1
1
y 2 x 2 2x 1 2 5
y 2 x 1 2 5
y
y
1
y
Đặt u y x 1 ; v x 1
ta có hệ
u 5 u 3
u v 5 v 5 u
2
2
u 2v 5
u 2u 15 0
v 10 v 2
y x 1 1 5 y x 1 1 3
hay
y
y
x 1 10
x 1 2
x 1 y 1
10y 2 5y 1 0 2y 2 3y 1 0
x 1 y 1
x 1
x 9
2
Vậy hệ có các nghiệm (1;1) và (1; 1/2 ).
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
3
2y
1
2
2
Bài 33 Giải hệ phương trình sau: x y 1 x
4x
x 2 y2
22
y
Giải
2
2
Điều kiện: x 0, y 0. và x + y - 1 0.
3 2
2
1 2v 13v 21 0
u v
u 21 4v
u
21
4
v
2
u
7
x 14
x 3
3
53
hoặc
Với
7
1
y 1
v
2
y4
2
53
x
Đặt u = x + y - 1 và v = Hệ phương trình (I) trở thành
y
2
2
u 7
u 9
hoặc
v 3
v 7
2
2
x 14
53
hoặc
2
y 4
53
v 3
y
u 9
x
+ Với
2
2
2
2
và 14
.
Vậy hệ có nghiệm (3;1), (-3;-1), 14
;4
; 4
53
53
53
53
x 1 y 1 x 3
(I) .
Bài 34 Giải hệ phương trình :
x 14 y
x 1 0
x 1
Điều kiện:
y 0
y 0
2
x 1 x 1 1 x 3
Ta có (I)
x 1 4 y
Từ phương trình : x 1 x 1 1 x 3 x 1 x 3 x 2 2x 2 (1)
2
1;
3
2
Xét hàm số g(x ) x x 2x 2 . Miền xác định: D 1;
Ta thấy hàm số f (x ) x 1 là hàm đồng biến trên
Đạo hàm g / (x ) 3x 2 2x 2 0 x D . Suy ra hàm số nghich biến trên D.
Từ (1) ta thấy x 1 là nghiệm của phương trình và đó là nghiệm duy nhất.
Vậy hệ có nghiệm 1; 0 .
2
3x 2 x 3 y
Bài 35 Giải hệ phương trình :
(II). Điều kiện:
3 y 2 2 y 3 x
www.VNMATH.com
x 0
y 0
2
3 x 2 x 3 y
Ta có (II)
3 x 3 y 2 2 y
Cộng vế theo vế ta có:
www.VNMATH.com
3 x 2 3 x 3 3 y2 3 y 3
(2)
Xét hàm số f (t ) 3 t 2 3 t 3 . Miền xác định: D 1;
Đạo hàm: f / (t )
t
3 t2
Từ (*) ta có f (x ) f (y ) x y
3
2 t
1 0 x D . Suy ra hàm số đồng biến trên D.
Lúc đó: 3 x 2 x 3 (3)
+ VT (3) là hàm số hàm đồng biến trên D.
+ VP (3) là hàm hằng trên D.
Ta thấy x 1 là nghiệm của phương trình (3) (thỏa điều kiện)
Suy ra phương trình có nghiệm x 1 là nghiệm duy nhất.
Vậy hệ có nghiệm 1;1
3
2y 2.x 1 x 3 1 x y (1)
Bài 36 Giải hệ phương trình :
2
y 1 2x 2xy 1 x (2)
ĐK : 1 x 1
Từ (1) ta có : 2.y 3 2(x 1) 1 x 2 1 x 3 1 x y (thêm vào vế trái 2 1 x )
2y 3 y 2( 1 x )3 1 x
Xét hàm số f(t) = 2.t 3 +t có f’(t ) = 6t2 + 1 >0 suy ra hàm số đồng biến
Suy ra y = 1 x thế vào (2), ta có 1 x 1 2x 2 2x 1 x 2 (3)
Vì 1 x 1 nên đặt x = cos(t) với t [0; ] sau đó thế vào phương trình (3) là ra kết quả.
2
x y 2 1
5
Bài 37 Giải hệ phương trình:
2
57
y(3x 1)
4x 3x
25
(1)
(2)
Giải
ĐK: x , y R
Nhân 2 vế phương trình (1) với 25 và nhân 2 vế phương trình (2) với 50 ta có:
2
2
25x 25y 5
Hệ phương trình
200x 2 150x 114 50y(3x 1)
Cộng vế theo vế hai phương trình của hệ ta có:
225x 2 25y 2 25 150xy 150x 50y 144
15x 5y 5 12
15x 5y 7
2
15x 5y 5 144
15x 5y 5 12
15x 5y 17
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
15x 5y 7
Với 15x 5y 7 kết hợp với (1) ta có hệ phương trình: 2
1
2
x y
5
x 11
5y 7 15x
25
y 2
5y 7 15x
5y 7 15x
11
25
x 25
2
25x 2 25y 2 5
25x 2 7 15x 5
x 2
2
5
x 5
1
y
5
15x 5y 17
Với 15x 5y 17 kết hợp với (1) ta có hệ phương trình: 2
x y 2 1
5
5y 17 15x
5y 7 15x
5y 17 15x
2
hệ vô nghiệm.
2
25x 25y 2 5
25x 2 17 15x 5
x
2
11
x
x
5 ;
25 .
Kết luận: Hệ phương trình có hai nghiệm là:
1
2
y
y
5
25
x y 3x 2y 1 (1)
Bài 38 Giải hệ phương trình:
x y x y 0
(2)
Giải
x y 0
Điều kiện :
3x 2y 0
Hệ Phương trình tương đương
x y 1 3x 2y x y 2 x y 1 3x 2y
x y y x
x y y x
2 x y 2x y
2 y x 2x y
x y y x
x y y x
www.VNMATH.com
y 4x 1
x y y x
www.VNMATH.com
y 4x 1
5x 1 3x 1
y 4x 1
y 4x 1
1
1
x
x
3
3
5x 1 9x 2 6x 1
9x 2 11x 2 0
y 4x 1
1
x
3
x 1
x 2
9
x 1
y 3
x 1
Kết luận : Hệ phương trình có nghiệm
y 3
2 2x 2 y 2 y 2 2x 2 3 (1)
Bài 39 Giải hệ phương trình:
x 3 2y 3 y 2x (2)
Giải
ĐK: 2x 2 y 2 0
Đặt : t 2x 2 y 2 ( t 0)
t 1
2t 3 0
t 3
t 1 2x 2 y 2 1
1 t
2
2x 2 y 2 1
2
2
2x y 1
Khi đó hệ phương trình tương đương 3
x 2y 3 y 2x
2
2
2
2
2x y 1
2x y 1
3
3
5x 2x 2y 2xy 2 y 3 0 ( 3 )
x 2y 3 y 2x 2x 2 y 2
Th 1: y 0
www.VNMATH.com
- Xem thêm -
.PDF 
52 
374 
59 
