Tài liệu ứng dụng phương pháp tọa độ vectơ & tọa độ điểm vào giải bất đẳng thức, phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

  • Số trang: 9 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 264 |
  • Lượt tải: 0

Mô tả:

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VECTƠ & TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀO VIỆC GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC, PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Vấn đề 1: Dạng toán chứng minh bất đẳng thức. BÀI 1: Chứng minh rằng: a 2  2a  5  a 2  2a  5  2 5 (1) Cách giải: (1)  (a  1)2  22  (a  1)2  22  2 5     Đặt a  (1  a; 2), b  (a  1; 2)  a  b  (2; 4)     Ta có: (a  1)2  22  (a  1)2  22  a  b  a  b  2 5 (đpcm)   Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: a; b cùng hướng 1-a = a+1  a = 0. BÀI 2: Chứng minh rằng: x 2  xy  y 2  y 2  yz  z 2  z 2  zx  x 2 , x, y, z  R (1) Cách giải: 2 Ta có  2 2 x  3  z  3    2 2 x  xy  y   y     x  ; y  yz  z   y     z 2   2  2   2    2  2 2 3    3     xz  Xét a   y  ; x  , b     y   ; z   a  b   ; ( x  z )  2 2  2 2  2     2  x z 3   ( x  z ) 2 3( x  z ) 2  ab    z 2  zx  x 2 4 4     Do a  b  a  b nên x 2  xy  y 2  y 2  yz  z 2  z 2  zx  x 2 , x, y, z  R (đpcm)   Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: a; b cùng hướng x  z  0 x  z  0     x  z  0 a  b  ab  x   x 2 y  2 x      2y  x    xy  yz  zx  0 2y  z 2y  z  z GV: Trần Minh Cường Page 1 VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí x  z  0   x  kz , y   k z , k  1 1 k  BÀI 3: Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng a 2  2b 2 b 2  2c 2 c 2  2a 2    3 ab bc ca Cách giải:  1 Chọn u   ; b 2    1 2    1 2      1 1 1 2 2 2    ; v   ;  ; w   ;   u  v  w     ;  a  b c  c b  a c  a b c a Ta có 2 2 2 2 2 2 2       1  2  1  2  1  2 1 1 1 u  v  w  u  v  w           3               b   a   c   b   a   c  a b c  a 2  2b 2 b 2  2c 2 c 2  2a 2    3 (đpcm) ab bc ca Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: a = b = c = 3 2 5 BÀI 4: Chứng minh 5 x  2  5 y  2  5 z  2  6 3, x, y, z   , x  y  z  6 Cách giải:   Xét hai vectơ: u  1;1;1 và v   5 x  2; 5 y  2; 5 z  2    Ta có u  3, v  5( x  y  z )  6  6  u.v  5 x  2  5 y  2  5 z  2    Áp dụng bất đẳng thức u.v  u . v ta có 5 x  2  5 y  2  5 z  2  6 3, x, y, z    2 5  Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: u  1;1;1 , v   5 x  2; 5 y  2; 5 z  2  cùng hướng  5y  2 5x  2 5z  2   x yz2 1 1 1 BÀI 5: Chứng minh s inx  2  s in 2 x + s inx 2  s in 2 x  3, x GV: Trần Minh Cường Page 2 VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí Cách giải:      Xét hai vectơ: u  sin x;1; 2  sin 2 x và v  1; 2  sin 2 x ;sin x     Áp dụng bất đẳng thức u.v  u . v ta có  s inx  2  s in 2 x + s inx 2  s in 2 x  sin 2 x  1  2  sin 2 x  1  2  sin 2 x  sin 2 x  2 3, x      Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: u  sin x;1; 2  sin 2 x và v  1; 2  sin 2 x ;sin x  cùng hướng  sin x  1 sin x 1 2  sin 2 x     sin x  2  sin 2 x    x   2 k 1 sin x 2 2  sin 2 x sin x  2 BÀI 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  ( x  1) 2  y 2  4  x 2  ( y  1) 2  1, x, y Cách giải:     Xét hai vectơ: u  ( x  1; y; 2), v  ( x;  y  1;1)  u  v  (1; 1;3)     Do a  b  a  b ta có: A  ( x  1)2  y 2  4  x 2  ( y  1)2  1  11 .   Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: u  ( x  1; y; 2), v  ( x;  y  1;1) cùng hướng Tức là: x 1 y 2 1 2    x ,y x  y 1 1 3 3 1 3 Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 11 khi x   , y   2 3 BÀI 7: Chứng minh ( x  1) 2  ( y  1) 2  ( z  1) 2  ( x  1) 2  ( y  1) 2  ( z  1) 2  2 2, x, y, z Cách giải: Trong không gian Oxyz, lấy các điểm A(1;1;-1), B(-1;1;1),M(x;y;z). Khi đó AB  2 2 . và MA  ( x  1)2  ( y  1)2  ( z  1)2 , MB  ( x  1)2  ( y  1)2  ( z  1)2 . GV: Trần Minh Cường Page 3 VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí Từ bất dẳng thức MA  MB  AB , ta suy ra ( x  1) 2  ( y  1) 2  ( z  1) 2  ( x  1) 2  ( y  1) 2  ( z  1) 2  2 2, x, y, z   Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: M nằm giữa AB  AM  t AB, t   0;1  x  1  2t   y 1 t   0;1  z  1  2t  Vấn đề 2: Dạng toán giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình. BÀI 1: Giải phương trình (4  x) x  2  7  2 x  85  57 x  13x 2  x3 (1) Cách giải: Ta có: (1)  (4  x) x  2  7  2 x  (5  x)( x 2  8 x  17) 2  7  (4  x) x  2  7  2 x  (5  x)  4  x   1 , x   2;     2    Xét a   4  x;1 , b   x  2; 7  2 x   a.b  (4  x) x  2  7  2 x   Và a  (4  x)2  1, b  ( x  2)  (7  2 x)  5  x      Khi đó (1)  a.b  a . b  cos  a, b   1  4 x 1  x2 7  2x  (4  x) 2 (7  2 x)  x  2  x  3 Vậy phương trình có nghiệm x = 3. BÀI 2: (A – 2014) Giải Hệ Phương trình  x 12  y  y (12  x 2 )  12 (1)  3 (2)  x  8 x  1  2 y  2 Cách giải: Điều kiện: 2  y  12, x  2 3 .     Xét a  x; (12  x 2 ) , b   12  y ; y  khi đó phương trình (1) có dạng GV: Trần Minh Cường Page 4 VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí      a.b  a . b  a, b cùng hướng. nên (1)  x y  (12  x 2 ). 12  y  y  12  x 2 , x  0 thay vào phương trình (2) Ta có: x3  8 x  1  2 10  x 2  x3  8 x  3  2( 10  x 2  1)  ( x  3)( x  3 x  1)  2 2(9  x 2 ) 10  x 2  1  2( x  3)   ( x  3)  x 2  3 x  1  0 10  x 2  1   x  3  2  x  3 x  1  2( x  3)  0(VN )  10  x 2  1 x= 3 suy ra y = 3. Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (3;3)  x4  y 4  z 4  1 BÀI 3: Giải hệ phương trình:  2 2 2  x  y  2 z  7 Cách giải: Gọi ( x0 ; y0 ; z0 ) là một nghiệm tùy ý của hệ nếu có. Xét hai vectơ sau trong không gian:   u  ( x0 2 ; y0 2 ; z0 2 ), v  (1;1; 2) khi đó    u  x0 4  y0 4  z0 4  1, v  6 , ta có u.v  x0 2  y0 2  2 z0 2  7    u.v 7  1 vô lý Mặt khác: cos(u, v)     6 u.v Vậy hệ đã cho vô nghiệm. GV: Trần Minh Cường Page 5 VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí  x2  y 2   y( x  z)  BÀI 4: Giải hệ phương trình:  x 2  x  y  2 yz 3 x 2  8 y 2  8 xy  8 yz  2 x  4 z  2  Cách giải: Hệ phương trình đã cho viết lại:  x( x  y )  y ( y  z )  0 (1)  (2)  x( x  1)  y (2 z  1)  0 4( x  y ) 2  4( y  z ) 2  ( x  1) 2  (2 z  1) 2 (3)  Xét các véctơ trong một hê trục nào đó    u  ( x; y ), v  ( x  y; y  z ), w  ( x  1; 2 z  1) u.v  0    Khi đó hệ viết lại: u.w  0     2  2 4 v  w  w  2 v (4) (5) (6) Chỉ có hai khả năng xảy ra:     1 2 Khả năng 1: Nếu u  0 ta có x = y = 0 u  0  z   .  1 Ta có nghiệm  0;0;    2  Khả năng 2: u  0 x 1  0 2 z  1  0    TH1: w  v  0   vô lý x  y  0  y  z  0      TH2: Nếu v, w cùng khác 0 , do (4) và (5) thì v, w là hai vectơ cộng tuyến, do (6) ta có     w  2v hoặc w  2v x  0   x 1  2x  2 y 1  + Nếu w  2v    1 thay vào (1) ta có z   2 2 z  1  2 y  2 z  y  2 GV: Trần Minh Cường Page 6 VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí 1  3 x  y    x  1   2 x  2 y   2 + Nếu w  2v    2 z  1  2 y  2 z  z  3x  4 Thay vào (1) ta có: x 2  (1  3 x) 2 1  3 x 7 x  .  5x2  5x  2  0 4 2 4 Phương trình này vô nghiệm. 1 1 1 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm:  0;0;   ,  0; ;   .  2  2 2 x  y  z  1 BÀI 5: Giải hệ phương trình:  x 2  y 2  z 2  1  x3  y 3  z 3  1  Cách giải:   Xét hai vectơ u  ( x0 ; y0 ; z0 ); v  ( x0 2 ; y0 2 ; z0 2 ) trong đó ( x0 ; y0 ; z0 ) là nghiệm của hệ.  Ta có u.v  x03  y03  z03  1 (1)  Lại có u  x0 2  y0 2  z0 2  1  v  x0 4  y0 4  z0 4  x 0 2  y0 2  z0 2   2  x0 2 y0 2  y0 2 z0 2  z0 2 x0 2  2  1  2  x0 2 y0 2  y0 2 z0 2  z0 2 x0 2   1   Vậy u . v  1 (2)  x0 2 y0 2  0  Dấu bằng trong (2) xảy ra  x0 2 y0 2  y0 2 z0 2  z0 2 x0 2  0   y0 2 z0 2  0  2 2  z0 x0  0    Vì u.v  u . v   Nên từ (1) và (2) suy ra điều kiện cần là: u . v  1 GV: Trần Minh Cường Page 7 VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí  x0 y0  0 y z  0 Nên ta có  0 0  z0 x0  0  x0  y0  z0  1 suy ra phải có trong ba số x0 ; y0 ; z0 có hai số bằng 0, một số bằng 1. Thử vào hệ thỏa mãn. Vậy hệ đã cho có ba nghiệm sau (1;0;0), (0;1;0),(0;0;1). BÀI 6: Giải phương trình: x 2  2 x  5  x 2  2 x  10  29 (1) Cách giải: Tập xác định D = R (1)  ( x  1) 2  22  ( x  1) 2  32  29   Đặt u  ( x  1; 2)  u  ( x  1)2  22   v  ( x  1;3)  v  ( x  1) 2  32     Suy ra u  v  (2;5)  u  v  29       Như vậy (1)  u  v  u  v  u, v cùng hướng  3( x  1)  2( x  1)  0  x  1 5 1 5 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  . BÀI 7: Giải bất phương trình: 2( x  3)2  2 x  2  x  1  x  3 (1) Cách giải: Điều kiện: x  1 (1)  2 ( x  3) 2  ( x  1) 2  x  1  x  3     Đặt u  ( x  3; x  1)  u  ( x  3)2  ( x  1)2 , v  (1;1)  v  2    Suy ra u.v  x  1  x  3 và u . v  2 ( x  3)2  ( x  1)2 GV: Trần Minh Cường Page 8 VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí        u . v  2 ( x  3) 2  ( x  1) 2 (1)  u . v  u.v  u , v cùng hướng  x  3  x 1  x  5 Vấn đề 3: Bài toán cực trị. BÀI 1: Cho hai điểm A(1;1;0), B(3;-1;4) và đường thẳng (d): x 1 y 1 z  2   1 1 2 Tìm điểm M trên đường thẳng (d) sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất. Cách giải: Do điểm M trên đường thẳng (d), ta có: M(-1+t; 1-t; -2+2t) Khi đó: MA  (2  t )2  t 2  (2  2t )2  6t 2  12t  8 MB  (4  t ) 2  (t  2) 2  (6  2t ) 2  6t 2  36t  56 Khi đó 2 2   1   1   2 MA  MB  6t 2  12t  8  6t 2  36t  56  6  (t  1) 2    (3  t )      3 3       1     1  Xét hai vectơ u   t  1;  , v   3  t ;  3 3           Ta có MA  MB  6 u  v  6 u  v  4 2   Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi u   t  1;   1    1   , v   3  t;  cùng hướng 3 3  t 1  1  t  2  M (1; 1; 2) 3t Vậy điểm M cần tìm là: M (1; 1; 2) GV: Trần Minh Cường Page 9
- Xem thêm -