Tài liệu Các không gian mêtric tuyến tính và một số tính chất của chúng

3 Më ®Çu Trong khu«n khæ h¹n h÷u cña luËn v¨n nµy, chóng t«i cã tham väng tr×nh bµy l¹i mét c¸ch chi tiÕt vÒ c¸c kh«ng gian kh«ng h¼n lµ quen thuéc ®èi víi c¸c b¹n ®äc nh: kh«ng gian mªtrÝc tuyÕn tÝnh , kh«ng gian modular, kh«ng gian mªtrÝc tuyÕn tÝnh ®Çy ®ñ, kh«ng gian kh¶ li cïng mét sè tÝnh chÊt quan träng cña chóng. C¸c tÝnh chÊt ®ã cïng víi mét sè bµi tËp ph¸t biÓu díi d¹ng mÖnh ®Ò hay vÝ dô ®Òu ®îc chøng minh mét c¸ch chi tiÕt, cô thÓ nh»m gióp b¹n ®äc dÔ hiÓu, dÔ theo dâi. Trªn c¬ së ®ã, néi dung cña luËn v¨n ®îc tr×nh bµy mét c¸ch cã hÖ thèng vµ ®îc tæ chøc nh sau: Ch¬ng 1. §a ra ®Þnh nghÜa vÒ kh«ng gian mªtric tuyÕn tÝnh, c¸c kh¸i niÖm F*- kh«ng gian, F- chuÈn. PhÇn chñ yÕu cña ch¬ng nµy lµ nÕu lªn mèi quan hÖ gi÷a mªtric bÊt biÕn vµ F- chuÈn trªn cïng mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh cïng víi bµi to¸n chøng tá r»ng mét kh«ng gian mªtric tuyÕn tÝnh kh«ng h¼n lµ mét kh«ng gian ®Þnh chuÈn. Ch¬ng 2. §a ra ®Þnh nghÜa vÒ mét kh«ng gian kh¸ míi mÎ, ®ã lµ kh«ng gian modular cïng c¸c kh¸i niÖm vÒ kh«ng gian mªtric tuyÕn tÝnh ®Çy ®ñ, kh«ng gian kh¶ li, ®é ®o kh¶ li. §i s©u vµo nghiªn cøu c¸c tÝnh chÊt cña chóng, mèi liªn hÖ gi÷a F- chuÈn vµ modular, c¸c ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó mét kh«ng gian mªtric lµ ®Çy ®ñ, kh¶ li vµ kh«ng kh¶ li. Bªn c¹nh ®ã ®· x©y dùng ®îc mét hÖ thèng vÝ dô vÒ c¸c kh«ng gian ®îc ®Ò cËp ®Õn. LuËn v¨n ®îc thùc hiÖn vµ hoµn thµnh t¹i trêng §¹i häc Vinh. Chóng t«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c ®Õn TS. 4 T¹ Kh¾c C, ngêi ®· ®Æt vÊn ®Ò vµ dÉn d¾t, chØ ra nh÷ng sai sãt cïng nh÷ng gãp ý ch©n thµnh gióp chóng t«i hoµn thµnh luËn v¨n nµy. Cuèi cïng, chóng t«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n Ban chñ nhiÖm khoa To¸n, c¸c thÇy c« gi¸o trong khoa ®· t¹o ®iÒu kiÖn vµ gióp ®ì chóng t«i trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ hoµn thµnh luËn v¨n nµy. Vinh, 24/4/2003 T¸c gi¶ Ch¬ng 1 Kh«ng gian mªtric tuyÕn tÝnh §1. Kh«ng gian mªtric tuyÕn tÝnh 1.1. Kh«ng gian mªtric tuyÕn tÝnh. 1.1.1. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö X lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh trªn  (hoÆc ) víi hai phÐp to¸n: PhÐp céng: (+) : XX  X (x, y)  x + y XX  X (t, x)  tx §a vµo kh«ng gian X mét hµm hai biÕn (x, y) nhËn c¸c PhÐp nh©n: (.) : gi¸ trÞ thùc, d¬ng tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: (1) (x, y) = 0  x = y. (2) (x, y) = (y, x). (3) (x, y)  (x, z) + (z, y). 5 Hµm (x, y) ®îc x¸c ®Þnh nh trªn gäi lµ mét mªtric. §iÒu kiÖn (3) ®îc gäi lµ bÊt ®¼ng thøc tam gi¸c. Kh«ng gian X cïng víi mªtric (x,y) ®îc gäi lµ kh«ng gian mªtric. Kh«ng gian X ®îc gäi lµ kh«ng gian mªtric tuyÕn tÝnh nÕu phÐp céng vµ phÐp nh©n lµ liªn tôc theo mªtric (x,y). 1.1.2. §Þnh nghÜa. Hai mªtric (x,y) vµ ’(x,y) ®îc gäi lµ t¬ng ®¬ng nÕu t«p« sinh bëi chóng lµ t¬ng ®¬ng. NghÜa lµ víi mäi  > 0, tån t¹i ,’ > 0 sao cho y : ’(x,y) <    y : (x,y) < ’ (1.1) y : (x,y) < ’  y : ’(x,y) < (1.2) . Mét d·y xn c¸c phÇn tö cña kh«ng gian X ®îc gäi lµ héi tô ®Õn x X theo mªtric (x,y) nÕu: lim (x , x) = 0 n n viÕt lµ xn   x. Khi ®ã ta nãi hai mªtric (x,y) vµ ’(x,y) lµ t¬ng ®¬ng khi vµ chØ khi kÐo theo xn  ' xn x kÐo theo xn  '   x vµ ngîc l¹i xn   x x. Mªtric (x,y) ®îc gäi lµ bÊt biÕn nÕu: (x + z, y + z) = (x,y), x,y,z  X. 1.2. §Þnh nghÜa. Kh«ng gian mªtric tuyÕn tÝnh cïng víi mªtric bÊt biÕn ®îc gäi lµ F*- kh«ng gian. §2. F- chuÈn 6 2.1. F- chuÈn. 2.1.1. §Þnh nghÜa. Cho X lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh. Hµm . : X   tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn: (1’) x = 0  x = 0, x X. (2’) ax = x, víi a, a = 1, x X. (3’) x + y  x + y, x,y  X. ®îc gäi lµ mét F- chuÈn. §iÒu kiÖn (3’) ®îc gäi lµ bÊt ®¼ng thøc tam gi¸c. Do phÐp nh©n víi lîng v« híng lµ liªn tôc nªn kÐo theo: (4’) anx  0 nÕu an  0. MÖnh ®Ò sau chøng tá r»ng cã sù t¬ng øng 1-1 gi÷a mªtric bÊt biÕn vµ F- chuÈn trªn cïng mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh X. 2.1.2. MÖnh ®Ò. Cho X lµ kh«ng gian mªtric tuyÕn tÝnh víi (x,y) lµ mªtric bÊt biÕn trªn X. §Æt (x, 0) = x. Khi ®ã x lµ mét F- chuÈn trªn X. Chøng minh. i) V× (x,y) lµ mªtric nªn (x, 0) = 0  x = 0. Suy ra x = 0  x = 0 ii) Ta chøng minh ax = x, víi a = 1. ThËt vËy, nÕu a = 1 th× ax = (ax, 0) = (x, 0) = x. nÕu a = -1 th× ax = (ax, 0) = (-x, 0) = (-x +x, 0 +x) = (0, x) = (x, 0) = x. Suy ra ax = x, víi mäi a sao cho a = 1. 7 iii) Ta cÇn chøng minh x + y  x + y Ta cã x +y = (x +y, 0) = (x + y +(-y), 0 + (-y)) = (x, -y)  (x, 0) + (0, -y) = (x, 0) + (-y, 0) = x + -y = x + y. VËy x lµ mét F- chuÈn. NhËn xÐt: NÕu x lµ mét F- chuÈn trªn kh«ng gian tuyÕn tÝnh X th× (x,y) = x - y lµ mét mªtric bÊt biÕn trªn X. 2.1.3. §Þnh nghÜa. Hai F- chuÈn ®îc gäi lµ t¬ng ®¬ng nÕu hai mªtric bÊt biÕn t¬ng øng víi chóng lµ t¬ng ®¬ng. 2.1.4. §Þnh nghÜa. Cho X lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh. Hµm .: X   ®îc gäi lµ mét chuÈn nÕu tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn: (1”) x  0 , x X ; x = 0  x = 0. (2”) ax = a.x, x X, a K. (3”) x +y  x + y , x,y K. Kh«ng gian tuyÕn tÝnh X cïng víi chuÈn . ®îc gäi lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn. MÖnh ®Ò sau sÏ tr¶ lêi c©u hái F- chuÈn cã ph¶i lµ chuÈn hay kh«ng? 2.1.5.MÖnh ®Ò. F- chuÈn cha h¼n lµ chuÈn. Chøng minh. Ta sÏ chØ ra mét vÝ dô chøng tá F- chuÈn kh«ng ph¶i lµ chuÈn. §Æt t = tp , t , 0 < p < 1. Khi ®ã . lµ mét F- chuÈn. ThËt vËy: 8 i) t = tp = 0  t = 0. ii) Víi mäi a tho¶ m·n a = 1, ta cã at = atp = tp = t iii) Ta chøng minh t1 + t2  t1 + t2 §iÒu ®ã t¬ng ®¬ng víi t1 + t2p  t1p + t2p t1 + t2  t1 + t2 Ta cã  t1 + t2p  (t1 + t2)p V× 0 < p < 1 nªn (t1 + t2)p  t1p + t2p  t1 + t2p  t1p + t2p Tõ ii) suy ra nÕu a  1 th× at  a.t. VËy . kh«ng ph¶i lµ chuÈn. Sau ®©y lµ mét vÝ dô vÒ kh«ng gian mªtric tuyÕn tÝnh. 2.1.6. VÝ dô: Gi¶ sö  lµ hîp cña c¸c d·y t¨ng c¸c tËp hîp compact n sao cho  n  n+1 , §Æt  =  n 1 n C0() = x  x liªn tôc trªn  DÔ dµng chøng minh ®îc C0() lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh. (Nã lµ kh«ng gian con tuyÕn tÝnh cña kh«ng gian tÊt c¶ c¸c hµm x¸c ®Þnh trªn ). Ta x¸c ®Þnh mét d·y F- chuÈn .n trªn n (n = 1, 2, ...) nh sau: xn = tsup   n x(t) Khi ®ã lµ mét F- chuÈn trªn C0().  1 x x =  2 n .1  n 1 n x n 9 ThËt vËy: x = 0 i)  x 1   2 n .1  n 1  xn = 0, = 0 n x n n = 1, 2, ...  x= 0. ii) Víi a = 1, ta cã:  ax 1 ax =  2 n .1  n 1  ax x 1 =  2 n .1  n n x n 1 n n = x. iii) Víi mäi x,y C0() ta cÇn chøng minh: x + y  x + y. Ta x cã 1    2 n 1  1   n 1 1 x y n + y =  x y 1  2 n .1  n 1 = n x y n     MÆt kh¸c, ta l¹i cã: x + yn  xn + yn 1 1 x  y nªn suy ra  1    2 n 1  1   n 1 1 x y n     n   1 1 x n  y 1    2 n 1  1  n 1  n 1 x n  y n     =  1   n 1 n  y x n x  2 n  1  n  y n      1 x   2 n .1  n 1  1 y  2 n .1  n 1 n y n + n x n 10 = x + y. x + y  x + y, x,y  VËy C0(). ii) Gi¶ sö am  K, am m   0 am x 1 amx =  2 n .1  Ta cã n 1 ( v× amxn m  n m  am x 0 n 0 , n = 1, 2....) VËy x lµ mét F- chuÈn. V× cã sù t¬ng øng 1-1 gi÷a FchuÈn x víi mªtric bÊt biÕn (x,y) trªn C0() nªn ta suy ra (C0(), ) lµ kh«ng gian mªtric tuyÕn tÝnh. VÝ dô sau sÏ chøng tá r»ng mét kh«ng gian mªtric tuyÕn tÝnh kh«ng h¼n lµ mét kh«ng gian ®Þnh chuÈn. 2.1.7. MÖnh ®Ò. Cho  p = x  = (xn)n, xnK, n:  n 1 xn p <+ víi 0 1, khi s ®ñ lín. §iÒu nµy m©u thuÉn v× U  x V× p  p  (x, 0)  1 (0 < p < 1) kh«ng låi ®Þa ph¬ng nªn nã kh«ng ph¶i lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn. *** Ch¬ng 2 Kh«ng gian Modular Kh«ng gian mªtric tuyÕn tÝnh ®Çy ®ñ Kh«ng gian kh¶ li §1. Kh«ng gian Modular 1.1. Kh«ng gian modular. 1.1.1. §Þnh nghÜa. Cho X lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh. Mét modular lµ hµm (x) nhËn gi¸ trÞ thùc kÓ c¶ gi¸ trÞ + vµ tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: (1*) (x) = 0  x = 0. (2*) (ax) = (x) víi a = 1. (3*) (ax + by)  (x) + (y), víi a + b = 1, a  0, b  0. (4*) (anx)  0 nÕu an  0 vµ (x) < +. 16 Khi ®ã (X,) ®îc gäi lµ kh«ng gian modular. Vµ nÕu (x) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: (5*) (axn)  0 nÕu (xn)  0 th× modular ®îc gäi lµ modular mªtric. ë ®©y, ta chØ xÐt c¸c modular mªtric. Do ®ã, ®Ó ng¾n gän h¬n ta sÏ gäi t¾t lµ modular. Sau ®©y ta sÏ ®a ra mét vµi tÝnh chÊt cña modular ®îc ph¸t biÓu díi d¹ng mÖnh ®Ò. 1.1.2. MÖnh ®Ò. Cho  lµ mét modular trªn kh«ng gian tuyÕn tÝnh X. Khi ®ã (xn)  0 khi vµ chØ khi (2xn)  0. (5**) Chøng minh. Tríc hÕt, cho y = 0 trong (3*) ta thu ®îc: (II.1) (ax)  (x) , nÕu 0  a  1 tøc lµ (ax) lµ hµm kh«ng ©m, kh«ng gi¶m theo a vµ víi mäi x X. Cho a = 0 ta l¹i thu ®îc: (II.2) (x)  0 , x X. §iÒu kiÖn ®ñ: Theo (II.1) ta cã: 1    0  (xn) =   2 .2 xn   (2xn). MÆt kh¸c, theo gi¶ thiÕt (2xn)  0 nªn suy ra 0. §iÒu kiÖn cÇn: HiÓn nhiªn theo (5*) ta cã: Khi (xn)  0 th× kÐo theo (2xn)  0. (xn)  17 1.1.3. §Þnh nghÜa. Cho  lµ mét modular trªn kh«ng gian tuyÕn tÝnh X. Ta gäi X lµ tËp hîp mäi x X sao cho tån t¹i k > 0 ®Ó (kx) < +. 1.1.4. MÖnh ®Ò. TËp hîp X lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh. Chøng minh. Ta chøng minh X lµ kh«ng gian con tuyÕn tÝnh cña kh«ng gian tuyÕn tÝnh X. ThËt vËy: Gi¶ sö x X vµ t lµ ®¹i lîng v« híng, ta cÇn chøng minh tx  X. ThËt vËy, tõ ®Þnh nghÜa cña X ta suy ra tån t¹i k > 0 sao cho (kx) < +. §Æt a = t t  a = 1. Theo (2*) ta cã: (kx) = (akx) =   t     t kx    =  k     t .tx    < +. Suy ra tx  X. (+) Gi¶ sö x,y X ta cÇn chøng minh x + y  X. ThËt vËy, v× x,y X nªn suy ra tån t¹i kx > 0, ky > 0 sao cho (kx.x) < + ; (ky.y) < + §Æt k = min(kx, ky). Theo (3*) ta cã: 1   2 k(x   y )   (kx) + (ky)  (kx.x) + (ky.y) < +. Suy ra x + y  X. Mét F- chuÈn x kh«ng nhÊt thiÕt lµ mét modular v× ®iÒu kiÖn (3*) kh«ng ®îc tho¶ m·n. Nhng nÕu: (II.3) ax  x , 0  a  1 th× F- chuÈn x lµ mét modular. ThËt vËy: 18 Víi a, b tho¶ m·n a + b = 1, a  0, b  0 ta cã: ax + by  ax + by  x + y. (theo II.3) VËy ®iÒu kiÖn (3*) ®îc tho¶ m·n. Mét F- chuÈn tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (II.3) ®îc gäi lµ kh«ng gi¶m. Hai ®Þnh lý sau sÏ nªu lªn mèi quan hÖ gi÷a F- chuÈn vµ modular. 1.1.5. §Þnh lý. Gi¶ sö X lµ F*- kh«ng gian cïng víi FchuÈn x. Khi ®ã F- chuÈn sup x’ = 0 t 1 tx lµ t¬ng ®¬ng víi F- chuÈn ban ®Çu x vµ nã lµ kh«ng gi¶m (tøc lµ mét modular). Chøng minh. Tríc hÕt ta chøng minh x’ lµ F- chuÈn: i) NÕu x = 0 th× x’ = sup 0 t 1 tx = sup 0 t 1 t.0 = 0. Ngîc l¹i, nÕu x’ = 0 th× x = 0 (v× x  sup 0 t 1 tx = x’). Suy ra x’ = 0  x = 0. ii) NÕu a = 1 th×: sup ax’ = 0 t 1 t(ax) = sup 0 t 1 tx = x’. iii) Víi mäi x,y X ta cã: x + y’ = sup 0 t 1 t(x + y)  ty = x’ + y’. Suy ra x + y’  x’ + y’. sup 0 t 1 tx + sup 0 t 1 19 iv) Ta cÇn chøng minh tnx’  0 khi tn  0. ThËt vËy, ta cã ®o¹n [0;1] compact, nªn mçi hµm thùc x¸c ®Þnh trªn [0;1] sÏ ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt (bÐ nhÊt) trªn ®ã. ë ®©y hµm f : [0;1]  R, t  tx, x nµo ®ã thuéc X liªn tôc trªn [0; 1]. T¬ng øng víi tn [0; 1] ta sÏ cã hµm gn : [0;1]  R b  b(tnx) Hµm nµy ®¹t cùc ®¹i t¹i bn , (0  bn  1) VËy tnx’ = sup 0 b 1 Râ rµng (tnbn) b(tnx) = tnbnx .  n  0. Theo (4’) th× tnbn x  0 hay tnx’  0. VËy tnx  0 nÕu tn  0. Trªn ®©y ta ®· chøng minh x’ lµ mét F- chuÈn. Sau ®©y ta sÏ chøng minh nã kh«ng gi¶m. ThËt vËy, víi 0  a  1 ta cã: ax’ = sup 0 t 1 tax = sup 0 ta 1 (ta)x = x’. Cuèi cïng ta sÏ chøng tá r»ng x’ lµ t¬ng ®¬ng víi FchuÈn ban ®Çu. +) NÕu xn’  0, v× x  x’ nªn suy ra x  0. +) Gi¶ sö chiÒu ngîc l¹i lµ kh«ng ®óng. Tøc lµ ta cã xn X, x  0 nhng x’ ↛ 0. Khi ®ã, v× [0; 1] - compact vµ hµm t  tx liªn tôc trªn [0; 1] nªn suy ra tån t¹i an ( 0  an  1) sao cho: 20 ' xn = anxn. Theo ®Þnh lý B«nzanoo - V©yestrass (tõ mét d·y sè thùc bÞ chÆn rót ra ®îc mét d·y con héi tô), ta gi¶ thiÕt an  a. Do hµm . liªn tôc suy ra: xn’ = anxn  0 (do gi¶ thiÕt xn  0). §iÒu nµy m©u thuÉn víi xn’ ↛ 0. Suy ra ®iÒu gi¶ sö lµ sai. 1.1.6. §Þnh lý. Gi¶ sö X lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh cïng víi modular (x). Khi ®ã sÏ tån t¹i F- chuÈn x trªn tËp hîp X sao cho xn  0 khi vµ chØ khi (xn)  0. Chøng minh. (+) Tríc hÕt ta chøng minh r»ng tån t¹i FchuÈn x trªn X. ThËt vËy: x = inf > 0:  §Æt  x     <  . i) (x) = 0  x = 0 kÐo theo x = 0  x = 0. ii) Víi a = 1 th× ax = inf > 0 :   ax       <   = inf > 0:   x     <   = x. iii) Gi¶ sö x,y X vµ gi¶ sö  > 0 tïy ý. Tõ ®Þnh nghÜa cña F- chuÈn x suy ra tån t¹i  > 0,  > 0 sao cho:  vµ Do ®ã  x     < ;   y       < x <  < x +  ; y <  < y +  21 x y             . x      y       .  y x             +    x + y   +   x  + y + 2. Do  > 0 tuú ý nªn suy ra x + y  x + y. VËy x lµ mét F- chuÈn. (+) B©y giê ta sÏ chøng tá r»ng: xn  0  (xn)  0.  Gi¶ sö r»ng (xn)  0,  > 0 tïy ý. Khi ®ã theo tÝnh  xn  chÊt (5*) cña modular th×      0.    Do ®ã tån t¹i N  ℕ : n > N th×   xn   <  .    Suy ra xn <  Do  > 0 tuú ý nªn ta cã: xn  0.  Ngîc l¹i, nÕu xn < 1 th×:  x  0  (xn) =   xn . xn  n    V× vËy, nÕu xn  0 th× (xn)  0.  xn  xn        xn.  Sau ®©y ta sÏ ®a ra mét vÝ dô vÒ kh«ng gian modular. 1.1.7. VÝ dô: Cho tËp hîp  vµ  lµ mét ®¹i sè gåm ®Õm ®îc c¸c tËp hîp con cña . Gi¶ sö  lµ ®é ®o ®îc x¸c ®Þnh trªn  vµ X lµ tËp hîp c¸c hµm ®o ®îc kh«ng ©m, kh¶ tÝch trªn . Hai hµm x,y  X ®îc gäi lµ b»ng nhau hÇu kh¾p n¬i trªn X(x = y h.k.n.X) nÕu: (t  x(t)  y(t)) = 0. Khi ®ã X lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh cïng víi phÐp céng vµ nh©n víi lîng v« híng x¸c ®Þnh bëi:  (x + y)(t) = x(t) + y(t) , x,y  X. 22 (x)(t) = .x(t) ,  x X,   K. Gäi  = x X  x = 0 h.k.n.X . Khi ®ã  lµ kh«ng gian con tuyÕn tÝnh cña X. ThËt vËy: i) Víi x,y   ta cã t  x(t)  0 = 0, t  y(t)  0 = 0.  (t  (x +y)(t)  0) = (t  x(t)  0  t  y(t)  0) = (t  x(t)  0) + (t  y(t)  0) = 0. Suy ra x + y  . ii) Víi mäi x ,  K ta cã: NÕu  = 0 th× (t  (x)(t)  0) = (t  .x(t)  0) = () = 0. NÕu   0 th× (t  (x)(t)  0) = (t  x(t)  0) = 0. Suy ra x  . Ta x¸c ®Þnh hµm liªn tôc, kh«ng ©m, kh«ng gi¶m nh sau: N: X  X u  N(u) = u 1 u Ký hiÖu s0(, , ) lµ kh«ng gian th¬ng X/. Khi ®ã, hµm N(x) =  N(x(t))d ®îc x¸c ®Þnh trªn  s0(, , ) lµ mét modular. ThËt vËy: i) DÔ thÊy N(u) = 0  u = 0 kÐo theo N(x) = 0  x(t) = 0 , t   x = 0.