Tài liệu Hoc nang cao toan 7 hoc nang cao toan 7

Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG ĐẠI SỐ 7 -------***------CHUYÊN ĐỀ 1. CÁC PHÉP TOÁN TRONG Q. I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ : 1. HS cần nắm vững những kiến thức sau trước khi nghiên cứu nội dung chuyên đề : +Các phép toán : cộng ;trừ ;nhân ;chia ;luỹ thừa trong Q; +Quy tắc dấu ngoặc; +Quy tắc chuyển vế; +Tính chất các phép toán : giao hoán; kết hợp; phân phối của phép nhân đối với phép cộng … 2. Từ các tính chất của phép toán ta chứng suy ra được các “Công thức ” sau : a) a2 + 2a.b + b2 = (a + b)2 ; b) a2 - 2a.b + b2 = (a - b)2 ; c) (a - b).(a + b) = a2 - b2 . Thật vậy : a) a2 + 2ab + b2 = (a.a + a.b) + (a.b + b.b) = a.(a + b) + b.(a + b) ( T/C phân phối của phép nhân với phép cộng) = (a + b)(a + b) ( T/C phân phối của phép nhân với phép cộng) = (a + b)2. * Các Công thức b)c) HS tự chứng minh. Ta gọi các công thức trên là các hằng đẳng thức đáng nhớ. II. DẠNG TOÁN : Dạng 1. Các phép toán : + Khi cộng hay trừ một phân số bước đầu tiên phải đưa được các phân số về cùng mẫu số bằng cách : quy đồng ( mà thực chất chính là nhân cả tử và mẫu của mỗi phân số với một giá trị thích hợp ) hoặc rút gọn phân số , đây là bước quan trọng và đòi hỏi tư duy cao nhất. Qua một số bài tập sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu kĩ năng giải quyết vấn đề này bằng những cách làm “đặc biệt “. Câu 1. Cho các số x,y,z,t thoả mãn điều kiện : xyzt = 1 Tính tổng : P  1 1 1 1    1  x  xy  xyz 1  y  yz  yzt 1  z  zt  ztx 1  t  tx  txy (HSG T.p HP – 1997) + Hướng dẫn giải : 1 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 1 1 1 1    1  x  xy  xyz 1  y  yz  yzt 1  z  zt  ztx 1  t  tx  txy 1 x xy xyz ( nhân vào cả tử     1  x  xy  xyz x  xy  xyz  1 xy  xyz  1  x xyz  1 x  xy - Ta có : P  và mẫu mỗi phân số lần lượt với 1;x;xy;xyz và nhớ xyzt = 1 )  1  x  xy  xyz = 1. 1  x  xy  xyz * Có thể làm theo cách khác như sau : a b b c c d - Vì xyzt = 1 nên ta có thể đặt x  ; y  ; z  ; t  d với a,b,c,d là các số thực a khác 0 . Khi đó ta có : Biểu thức P được biến đổi thành : 1 1 1 1    a a b a b c b b c b c d c c d c d a d d a d a b 1  .  . . 1  .  . . 1  .  . . 1  .  . . b b c b c d c c d c d a d d a d a b a a b a b c 1 1 1 1     a a a b b b c c c d d d 1   1   1   1   b c d c d a d a b a b c bcd acd abd abc     bcd  acd  abd  abc acd  abd  abc  bcd abd  abc  bcd  acd abc  bcd  acd  abd bcd  acd  abd  abc  bcd  acd  abd  abc  1. Vậy P = 1. * Chú ý : đối với bài toán mà giả thiết cho các biến số có tích bằng 1 , ta có thể a b b c c d d a biến đổi bằng cách làm như trên (đặt x  ; y  ; z  ; t  ). + Khi nhân ; chia các phân số ta luôn phải chú ý rút gọn “tử - mẫu “ ( A.B B  ). A.C C Kĩ năng tưởng đơn giản này sẽ giúp ích rất lớn trong việc giải quyết nhiều bài toán khó. Thật vây :     Câu 2. Tính : A  1   1   ... 1   (BD HSG toán 81 2 1 2  3 1  2  3  ...  1986 1  1  T.77) + Hướng dẫn giải : - Ta có : ( nhớ rằng 1  2  3  ...  n  1    n  n  1 ) 2 2 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 1  1   1   A  1  1   ... 1    1  2  1  2  3   1  2  3  ...  1986          1 1   1  1  1   ... 1    2  2  1  3  3  1   1986 1986  1        2  2   2  2  2   2    1  1   ... 1    2.3  3.4   1986.1987  2 5 9 1987.1986  2  . . .... 3 6 10 1987.1986 4 10 27 1987.1986  2  . . .... ;(1) 6 12 20 1987.1986 Mặt khác : 1986.1987 – 2 = 1986(1988 – 1) + 1986 – 1988 = 1986.1988 – 1988 = 1988.(1986 – 1) = 1988.1985 ;(2) Từ (1) và (2) ta có : 4.1 5.2 6.3 1988.1985 . . .... 2.3 3.4 4.5 1986.1987  4.5.6...1988 . (1.2.3...1985)  (2.3.4...1986) (3.4.5...1987) 1987.1988 1.2  . 2.3 1986.1987 1988 994   . 1986.3 2979 A * Lưu ý : Bài toán tổng quát hơn là : 1  1   1   A  1  1   ... 1   với n là số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 1  2  1  2  3   1  2  3  ...  n   3. + Với những bài toán có chứa luỹ thừa , cần chú ý một số công thức cơ bản sau : 0) am = a.a.a…a (m thừa số );a0 = 1 ; a1 = a. 1) am.an = am + n 2) am : an = am – n ( hay : am  a mn ) an 3) (am)n = am.n 4) (a.b)n = an.bn n a an 5)    n   b b 1 6) a-n = n a 3 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn ( Với các điều kiện tương ứng có nghĩa ) 219.27  15.49.94 Câu 3. Rút gọn : 69.210  1210 ( HSG quốc gia – 1971) + Hướng dẫn giải : 18 3 6 219.27  15.49.94 219.33  5.218.39 2 .3  2.1  5.1.3  2  5.36 734 367 - Ta có :  19 9 10 20  18 9  6   9 10 10 2 6 .2  12 2 .3  3 .2 2 .3  2.1  3.2  3  2  3.4  10206 5103 Câu 4. Rút gọn : A = 1 + 5 + 52 + 53 + … + 550 toán 7/T11) + Hướng dẫn giải : - Ta có : 5.A = 5 + 52 + 53 + 54 + … + 551 Do đó : 5.A - A = 551 - 1 . Vậy A = (NC&PT 551  1 . 4 * NX : Với biểu thức A như trên người ta còn thường ra bài toán : Chứng minh rằng A là số chẵn hay chứng minh A chia hết cho 6 hoặc chứng minh A không là số nguyên. Các em hãy thử tìm lời ? Dạng 2. Chứng minh đẳng thức hữu tỉ : Câu 5. Cho ba số a , b ,c đôi một khác nhau và thoả mãn hệ thức : a b c    0. bc c a a b a b c   0 2 2 (b  c) (c  a) (a  b) 2 Chứng minh rằng : ( HSG toán 9 – 1999 –A) + Hướng dẫn giải : - Từ giả thiết suy ra : 1 a b c ab  b2  ac  c 2 , nhân hai vế với ta    bc b c a c a b  a  c  a  b  được : a ab  b2  ac  c 2  (b  c)2  a  c  a  b  b  c  Tương tự : 1 c  a 1  a  b 2  2  cb  c 2  ab  a 2  a  c  b  c  a  b  ca  a 2  cb  b2  a  c  b  c  a  b  Cộng theo cột hai vế của ba đẳng thức trên ta có ĐPCM. Câu 6. Chứng minh rằng nếu a,b,c khác nhau thì : bc ca a b 2 2 2       a  b  a  c   b  c b  a   c  a  c  b  a  b b  c c  a (Các bài toán chọn lọc …) + Hướng dẫn giải : - Ta có : 4 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn  a  c   b  a   1  1 ; bc   a  b  a  c   a  b  a  c  a  b a  c a b 1 1 ca 1 1 Tương tự : ;      c  a  c  b  c  a c  b  b  c  b  a  b  c b  a Cộng theo từng vế các kết quả vừa tìm được , suy ra ĐPCM. Dạng 3. Toán tìm x : Câu 7. Tìm số hữu tỉ x , biết rằng : x  4 x  3 x  2 x 1    2000 2001 2002 2003 ( NC&PT toán 7 -tập 1) + Hướng dẫn giải : - Ta cộng vào hai vế của đẳng thức với cùng một giá trị là 2 , được : x  4 x  3 x  2 x 1    2000 2001 2002 2003 x4 x3 x2 x 1 1 1  1 1 2000 2001 2002 2003 x  2004 x  2004 x  2004 x  2004    0 2000 2001 2002 2003 1 1 1 1      x  2004    0  2000 2001 2002 2003  1 1 1 1     0 ( hiển nhiên) nên x + 2004 = 0 hay x = -2004. Vì 2000 2001 2002 2003 * Nhận xét : Với những hệ thức chứa các phân số có quy luật như trên ( 4 + 2000 = 3 + 2001 = 2 + 2002 = 1 + 2003 = 2004 ) thì kĩ năng biến đổi trên sẽ là một công cụ hữu hiệu để giải quyết bài toán. Câu 8. Tìm x , biết : x-ab x  ac x  bc    a  b  c với a  b; b  c; c  a a+b a  c bc + Hướng dẫn giải : Đẳng thức đã cho tương đương với :  x-ab   x  ac   x  bc  a b   c  0   a+b   ac   bc  Quy đồng mẫu số trong từng dấu ngoặc rồi đặt thừa số chung ta được :  x-ab-ac-bc    1 1 1    0  ab bc ca  1 1 1    0 thì x = ab + bc + ca ; Từ đó nếu ab bc ca 1 1 1    0 thì có vô số giá trị của x thoả mãn bài toán. Nếu ab bc ca III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ : * Các bài :1;2;3;5;9;10;11;14;16;20;22;23;24;25;26;27;29;30;31;33;34;38;39;40;41;42; 44;45;47 - NC&PT toán 7. 1) Tính : 8 207207  5 201201 5 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 2) Rút gọn phân số : 1999 9995 ( TQ : 199...99 ) 99..995 (BD HSG toán 8- trang 73) 1 1 1   ...  2 3 2002 3) Tính : M  2001 2000 1999 1    ...  1 2 3 2001 (HSG toán 6 T.p HP– 2002 – A) 1 1 1 1    ...  1.2 2.3 3.4 2009.2010 1 1 1 1    ...  5) Rút gọn : B = ( HSG toán 6 T.p HP– 1.2.3 2.3.4 3.4.5 1998.1999.2000 4) Rút gọn : A = 1999 – A) 6) Rút gọn : N  1 1 1 1    ...  2.4 4.6 6.8 2006.2008 7) Biết xyz = 1 . Hãy tính tổng : A= 5 5 5   x  xy  1 y  yz  1 z  zx  1 ;( KQ = 5) (HSG toán 8 – 2001 – A) 8*) Cho ba số x ,y ,z thoả mãn xyz = 1992. Chứng minh rằng : 1992 x y z   1 xy  1992 x  1992 yz  y  1992 xz  z  1 ( BD HSG toán 8 – trang 77)   1 3  1    1  9) Tính : a) 6    3    1 :   1  3    3    3    b)  63  3.62  33  :13 c) 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1          10 90 72 56 42 30 20 12 6 2 2005) 10) Tìm x,biết : ( HSG quận Ba Đình HN – 315  x 313  x 311  x 309  x     4  0 ( HSG q. Hoàn Kiếm HN 101 103 105 107 – 2004) 11) Tìm x , biết : 5 3 a) x  x  10  12 6 8 5 7 1  1   1   b)  x         8  8   8   a b c c) x    bc ca ab ( HSG Quận 9 - T.p HCM – 2003) 12) TÍnh : 6 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn a) A  1  2  3  4  5  6  7  8  ...  1999  2000  2001  2002  2003  1  1  1  1   1  b) B    1  1  1  1 ...   1  4  9  16  25   121  ( HSG Quận 9 - T.p HCM – 2003) 1 1 1 2 2 2     13) a)Tính : 2003 2004 2005  2002 2003 2004 5 5 5 3 3 3     2003 2004 2005 2002 2003 2004 b) Biết : 13 + 23 + 33 + … + 103 = 3025. TÍnh : S = 23 + 43 + 63 + … + 203. 1 x3  3x 2  0, 25 xy 2  4 c) Cho A  . TÌm giá trị của A , biết x = và y là số nguyên 2 2 x y âm lớn nhất. x 14) Tìm x , biết : 3 + 3 HCM – 2004 ) x +1 +3 x+2 ( HSG - quận Tân Phú – T.p HCM – 2004 ) = 117. ( HSG - quận Tân Phú – T.p 15) Thực hiện phép tính : 1 111 3  1 2 .4  1,5  6 .  14  31 7  3 19    1:  5 1 1 93   4  12  5  6 6 3 ( HSG – Hà Tây – 2003 ) 16) Thực hiện phép tính : 1 1 1   a(a  b)  a  c  b  b  a  b  c  c  c  b  c  a  ( HSG quốc gia – 1963) 17) Gọi n là số tự nhiên , tính tích sau đay theo n : 1   1  1  1   1   1    1   ...  1    2   3   4   n 1  ( HSG quốc gia – 1978) 18) Cho a,b,c là các số thực có tích bằng 1. Chứng minh rằng : 1 1 1    1; 1  a  ab 1  b  bc 1  c  ca 1 1 1 1 1 1 b)  a  1   b  1   c  1     a  1   b  1   c  1   ( Toán tuổi thơ 2- số         b  c  a  b  c  a  a) 51) 19) TÌm tất cả các số thực dương a,b,c thoả mãn đẳng thức : b c a 3    . ab bc ca 2 ( Toán tuổi thơ 2- số 51) 7 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Cho abc  0 và a + ab x ac x bc x 4x    1 c b a abc 20) b + 1 y  0. c 1 z TÌm x , biết : 1 x 21) Cho x,y,z là các số khác không và x   y   z  . Chứng minh rằng : Hoặc x = y = z hoặc x2y2z2 = 1. IV. HƯỚNG DẪN GIẢI : 8 207207 8 207 8 69       ... 5 201201 5 201 5 67 1  2. 103   3 1999 2.10  1 2 1 2      2) 4 1  10 5 9995 10  5  10. 103   2  1 1 1   ...  2 3 2002 3) M  2001 2000 1999 1    ...  1 2 3 2001 1 1 1 Đặt A =   ...  ; 2 3 2002 2001 2000 1999 1    ...  B= , ta có : 1 2 3 2001 2000 1999 1 2002 B(  1)  (  1)  ...  (  1)  2 3 2001 2002 2002 2002 2002 2002    ...   2 3 2001 2002 1  1 1  2002    ...   2002  2 3 A 1 Vậy M   B 2002 1) * Tương tự ta có bài toán sau : 8 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Bài toán : Tính giá trị của biểu thức: 1 1 1 1 1     3 5 97 99 a) A  . 1 1 1 1 1      1.99 3.97 5.99 97.3 99.1 1 1 1 1 1      2 3 4 99 100 . b) B  99 98 97 1     1 2 3 99 Hướng dẫn: a) Biến đổi số bị chia: (1  1 1 1 1 1 )(  )(  ) 99 3 97 5 95 ( 1 1 100 100 100  )    49 51 1.99 3.97 5.95  100 49.51 Biểu thức này gấp 50 lần số chia. Vậy A = 50. 100  1 100  2 100  3 100  99      1 2 3 99 100 100 100 100   1 2 3     b) Biến đổi số chia:        2 3 99   1 2 3  1 1 1  100  100    2 3  99   99  1  1 1  1 1   99  1  100       99  99 100  2 3 1 Biểu thức này bằng 100 lần số bị chia. Vậy B  . 100 1 1 1 4) Áp dụng đẳng thức :  ( a  0), ta có :  a a  1 a(a  1) 1 1 1 1    ...  1.2 2.3 3.4 2009.2010 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2009        ...    1  . 1 2 3 2 4 3 2010 2009 2010 2010  1 1 1 1  5) Áp dụng kết quả :  , ta có :  2  a(a  1) (a  1)(a  2)  a(a  1)(a  2) 1 1 1 1    ...  1.2.3 2.3.4 3.4.5 1998.1999.2000 1 1 1 1 1 1 1        ...    2  1.2 2.3 2.3 3.4 1998.1999 1999.2000  11 1  1999.2000  2     2  2 1999.2000  2.1999.2000 1 1 1   , sau đó áp dụng 6) Hãy điền vào ô trống để có đẳng thức đúng : a(a  2)  kết quả nhận được vào giải bài toán. * Chú ý : Từ kết quả các bài 4,5,6 ở trên ta rút ra một số quy luật ( Công thức ) sau đây : 1) 1 1 1   . n(n  1) n n  1 9 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn k 1  1  k   . n(n  1)  n n 1 1 1 1 1     3) . n( n  k ) k  n n  k  k 1  1   4) . n( n  k )  n n  k  1 1 1  1 1  1 1 1      5)     . 2n(2n  2) 4n (n  1) 2  2n 2n  2  4  n n  1  1 1  1 1     6) . (2n  1)(2n  3) 2  2n  1 2n  3  1 1 1 7) .  2 n.(n  1) n (n  1).n  1 1 1 1  8)   2  a(a  1) (a  1)(a  2)  a(a  1)(a  2) 2) (Trong đó: n, k  N , n  1 ) 7) Nhân lần lượt cả tử và mẫu mỗi phân số với 1; x ; xy với chú ý xyz = 1 , ta được : A 5 1  x  xy  5 5 5 5 5x 5xy        5. x  xy  1 y  yz  1 z  zx  1 x  xy  1 xy  1  x 1  x  xy x  xy  1 * Chú ý : Cũng có thể đặt như phần ví dụ mẫu. 8) Từ giả thiết xyz = 1992 (1) suy ra : xy  1992 (2) , thay (1) và (2) vào vế trái z đẳng thức được : 1992 x y z   xy  1992 x  1992 yz  y  1992 xz  z  1 1992 x y z    1992  1992 x  1992 yz  y  xyz xz  z  1 z xz y z    1  xz  z y ( z  1  xz ) xz  z  1 xz 1 z    1  xz  z z  1  xz xz  z  1 1  xz  z  1  xz  z  1  VP   1 3  1    1   1 4 2 4 16 3 4 9) a) 6    3    1 :   1  6.  1  1 :    2  :  .    3  9 9 4 3  3   3   27    3   3    VT  b)  63  3.62  33  :13  62  6  3  33  :13   22.32.32  33  :13  33 3.22  1 :13  33.13 :13  33  27   c) 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1          10 90 72 56 42 30 20 12 6 2 10 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn  9 1 1 1 1 1 1 1  1 1              10  90 72 56 42 30 20 12  6 2    9 1 1 1 1 1 1  1 2             10  90 72 56 42 30 20  12 3    9 1 1 1 1 1  1 3            10  90 72 56 42 30  20 4    9 1 1 1 1  1 4           10  90 72 56 42  30 5    ... 9 9   10 10 0 10) Tìm x , biết : 315  x 313  x 311  x 309  x     4  0 ( HSG quận Hoàn Kiếm HN 101 103 105 107 – 2004) + Làm tương tự Câu 5 : 315  x 313  x 311  x 309  x    40 101 103 105 107 315  x 313  x 311  x 309  x  1 1 1 0 101 103 105 107 416  x 416  x 416  x 416  x     0 101 103 105 107 1 1 1   1   416  x      0  101 103 105 107  1 1 1 1     Vì    > 0 nên dẫn đến 416 – x = 0 hay x = 416.  101 103 105 107  11) Tìm x , biết : a) Kết quả : x = 48. 5 1  1   1   b)  x         8  8   8   7 1  1  1  x     :  8  8  8 1  1  x     8  8 1 1  x  64 8 9  x 64 9 9  x  ;x  64 64 7 5 2 11 Gia sư Thành Được c) x  www.daythem.edu.vn a b c   bc ca ab + Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau , ta có : a b c abc 1     b  c c  a a  b 2a  b  c 2 1 Vậy x = . 2 12) TÍnh : a) A  1  2  3  4  5  6  7  8  ...  1999  2000  2001  2002  2003  1  1  1  1   1  b) B    1  1  1  1 ...   1  4  9  16  25   121  a) b) Từ 4 đến 121 có các số chính phương là : 4;9;16;25;36;49;64;81;100;121 nên :  1  1  1  1   1  B    1  1  1  1 ...   1  4  9  16  25   121  3 8 15 24 35 48 63 80 99 120  ( . ).( . ).( . ).( . ).( . ) 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 2 9 20 35 54 3 25 54 5 54 6  ( . ).( . ).  ( . ).  .  3 10 21 36 55 5 27 55 9 55 11 1 1 1 2 2 2     1 2 7 13) a) Ta có : 2003 2004 2005  2002 2003 2004    5 5 5 3 3 3 5 3 15     2003 2004 2005 2002 2003 2004 b) Biết : 13 + 23 + 33 + … + 103 = 3025. TÍnh : S = 23 + 43 + 63 + … + 203. + Ta có : S = 23(13 + 23 + 33 + …+ 103) = 8.3025 = 24200. c) Cho A  1 x3  3x 2  0, 25 xy 2  4 . TÌm giá trị của A , biết x = và y là số nguyên 2 2 x y âm lớn nhất. ( HSG - quận Tân Phú – T.p HCM – 2004 ) + Vì y là số nguyên âm lớn nhất nên y = -1 cùng với x = 1 thay vào biểu 2 thức A , được : 3 2 2 1 1 1 1 1 3 1   4    3    . .  1  4 9 3 9 4 2 2 4 2  A  8 4 8  :  .  6. 2 1 2 4 2 3 1 1   1 4 2 14) Tìm x , biết : 3x + 3x +1 + 3x + 2 = 117. HCM – 2004 ) 3x + 3x +1 + 3x + 2 = 117  3x(1 + 3 + 32) = 117  13.3x = 117  3x = 117 : 13 ( HSG - quận Tân Phú – T.p 12 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn  3x = 32  x = 2. 15) Thực hiện phép tính : 1 111 3  1 2 .4  1,5  6 .  14  31 7  3 19    1:   ...  5 1 1 93   4  12  5  6 6 3 ( HSG – Hà Tây – 2003 ) 16) Thực hiện phép tính : 1 1 1   a(a  b)  a  c  b  b  a  b  c  c  c  b  c  a  ( HSG quốc gia – 1963) + 17) Gọi n là số tự nhiên , tính tích sau đây theo n : 1   1  1  1   1   1    1   ...  1    2   3   4   n 1  ( HSG quốc gia – 1978) + Ta có : 1  1 2 3 n 1  1  1  1    . 1  1  1   ... 1    . . ....  2  3  4   n  1  2 3 4 n  1 n  1 x y z 18) Vì abc = 1 nên ta có thể đặt : a  ; b  ; c  với x,y,z là các số khác 0. Khi y z x đó ta có : a) Vế trái của đẳng thức a) được biến đổi thành : 1 1 1 yz zx xy yz  zx  xy        1; x x y y z z xy  yz  zx xy  yz  zx xy  yz  zx xy  yz  zx 1  1  1  y z z x x y Vậy ta có ĐPCM. b) Vế trái của đẳng thức b) được biến đổi thành : x z  y x  z y  x  y  z y  z  x z  x  y  x  y  z  . y  z  x  . z  x  y  . .  ;(*)   1    1    1    y  z z  x x y z x xyz y Tương tự ta cũng biến đổi được vế phải của đẳng thức b) về biểu thức (*) suy ra ĐPCM. 19) Đẳng thức đã cho tương đương với : 1 3  ;(*) a b c 1 1 1 2 b c a a b c Đặt x  ; y  ; z  ta có x,y,z là các số dương thoả mãn xyz = 1. Khi đó ta có : b c a  1  1 13 Gia sư Thành Được *  www.daythem.edu.vn 1 1 1 3    x 1 y 1 z 1 2   xy  yz  zx    x  y  z   0 ( quy đồng mẫu số , khai triển các tích và rút gọn với chú ý xyz = 1 )  xyz - (xy + yz + zx) + (x + y + z) - 1 = 0  (x -1)(y - 1)(z - 1) = 0  x = 1 hoặc y = 1 hoặc z = 1 a  b  b  c  c  a  20) Biến đổi đẳng thức đã cho tương đương với : a  b  c  x  1 1 1 4     0  a b c abc  1 1 1 4  0 thì x = a + b + c Nếu :    a b c abc 1 1 1 4  0 thì có vô số giá trị của x thoả mãn . Nếu    a b c abc 1 1 yz 21) Từ giả thiết ta có : x  y    z y yz yx zx Tương tự : x  z  ;yz  yx zx Nhân theo từng vế ba đẳng thức trên được :  x  y  x  z  y  z    x  y  x  z  y  z  x2 y 2 z 2 Đẳng thức này chỉ xảy ra khi x2y2z2 = 1 hoặc x = y = z. CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG ĐẠI SỐ 7 -------***------- Buæi : 1 2009 CHUYÊN ĐỀ 1. CÁC PHÉP TOÁN TRONG Q. Ngµy so¹n: 15 /9 / Néi dung : So s¸nh hai sè h÷u tØ 14 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn I. KiÕn thøc cÇn nhí : 1. HS cần nắm vững những kiến thức sau : + SHT lµ sè cã thÓ viÕt d-íi d¹ng a/b víi a,b thuéc Z; b kh¸c 0. + §Ó so s¸nh hai sè h÷u tØ x vµ y ta lµm nh- sau : ViÕt x,y d-íi d¹ng hai ph©n sè cïng mÉu d-¬ng x=a/m; y= b/m ( m >0). So s¸nh c¸c tö : NÕu a< b th× xb th× x>y 2. Bæ sung : Cho x=a/b ; y=c/d ( a,b,c,d thuéc Z ; b,d > 0 ). x=y <=> ad=bc x ad< bc x>y <=> ad>bc II. D¹ng bµi tËp to¸n : c a vµ ( b>0 ; d> 0 ). CMR : b d ac c a c a NÕu < th× < < b d b bd d Bµi tËp 1: Cho 2 SHT Gi¶i: a c Ta cã < => ad a( b+d ) < (a+c )b hay b d a ac < (2). Tõ (1) ta l¹i cã ad + cd< bc + cd <=> d(a+c ) < c(b+c ) b bd ac c a ac c hay < (3) . Tõ (2) vµ (3) suy ra < < (®pcm) bd b bd d d ( Gi÷a hai SHT, bao giê còng tån t¹i mét sè h÷u tû ). 1 1 vµ . 2 3 a 1 a Bµi 3: Cho a,b thuéc Z (b>o). H·y so s¸nh hai SHT vµ . b b 1 ¸p dông viÕt ba sè h÷u tØ xen gi÷a hai SHT Gi¶i : Ta cã a(b+1)=ab+a vµ b(a+1) = ba +b . NÕu a>b th× a(b+1) > b(a+1) NÕu a(b+1) > b(a+1) th× a>b a a 1 a a 1 < , nÕu a , nÕu a>b . b b 1 b b 1 2 3  17  16 ¸p dông : So s¸nh vµ ; vµ . 7 8 25 26 12 Bµi 4 : Cho x= víi b thuéc Z. X¸c ®Þnh b ®Ó: b  15 VËy a, x lµ mét SHT. b, x lµ SHT d-¬ng. d, x=-1. g, x>1. 15 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn c, x lµ SHT ©m. e, 0 y th× x > z> y. Bµi 6: Cho c¸c SHT x= c m a , y= vµ z = . BiÕt ad-bc=1 ; cn - dm=1; b,d,n > 0. b n d a, H·y so s¸nh c¸c sç x, y, z. b, So s¸nh y víi t biÕt t = am víi b+ n kh¸c 0. bn Gi¶i: a b c (1) d c m cn – dm = 1 => cn > dm => > ( 2) ( V× b,d,n > 0 ). d n a c m Tõ (1) vµ (2) suy ra > > . VËy x > y >z. b d n a, ad-bc=1 => ad>bc => > b, ad – bc = cn – dm = 1 => ad + dm = bc + cn => d( a + m) = c( b + n). VËy c am = , suy ra y = t. d bn BTVN : Cho s¸u sè nguyªn d-¬ng a < b < c < d < m < n. Chøng minh r»ng: acm 1 < abcd mn 2 H-íng dÉn: a 2a < a+ b ; c < d => 2c < c+d ; m < n => 2m< m+n . Suy ra : 2(a+c+m) < (a+b+c+d+m+n), tõ ®ã suy ra ®iÒu ph¶i c/m. CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG ĐẠI SỐ 7 -------***------CHUYÊN ĐỀ 1: CÁC PHÉP TOÁN TRONG Q. 16 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Buæi : 2 2009 Ngµy so¹n: 25 / 9 / Néi dung : Céng , trõ, nh©n, chia sè h÷u tØ KiÕn thøc cÇn nhí : A. HS cần nắm vững những kiÕn thức sau: I. 1. Céng, trõ SHT: NÕu x= x+y = a b ab + = m m m a b ; y = ( a, b, m thuéc Z , m >0 ) th× : m m a b a b ; x – y = x + (- y) = + (- ) = . m m m 2. PhÐp céng trong Q cñng cã c¸c t/c c¬ b¶n nh phÐp céng trong Z; cñng cã quy t¾c “ dÊu ngoÆc ” nh ®èi víi tæng ®¹i sè trong Z 3. Quy t¾c chuyÓn vÕ : Víi x, y, z , t thuéc Q th× : x + y – z = t <=> x – t = - y + z. B. Bæ sung: TÝnh chÊt cña ®¼ng thøc vµ quy t¾c “ chuyÓn vÕ ” vÉn ®óng víi B§T II. D¹ng bµi tËp to¸n : Bµi 1: TÝnh 3 3 3 - + 7 11 13 1 1 1 - + 2 3 4 + 5 5 5  + 7 11 13 Bµi 2: 5 5 5 - + 4 6 8 (1  2  3  ...  100).(1 / 2  1 / 5  1 / 7  1 / 9).(6,3.12  21.3,6) 1 / 2  1 / 3  1 / 4  ...  1 / 100 1 / 9  1 / 7  1 / 11 3 / 5  3 / 25  3 / 125  3 / 625 + 4 / 9  4 / 7  4 / 11 4 / 5  4 / 25  4 / 125  4 / 625 a, b, HD: a, Chó ý r»ng 6,3.12 - 21.3,6 = 63.1,2 - 63.1,2 = 0. Do ®ã biÓu thøc b»ng 0. b, KÕt qu¶ b»ng 1/4 + 3/4 = 1. Bµi 3: Cho A = ( 1 1 1 1  1).  1).(  1).(  1)...( 100.100) 2.2 3 .3 4.4 1 So s¸nh A víi 2 Gi¶i : A lµ tÝch cña 99 sè ©m. Do ®ã: 1 1 1 1 ).( 1- ). (1- ). ...(1) 4 9 16 10000 3 15 9999 8 . . . . 2.2 3.3 4.4 10000 1 . 3 2 .4 3 .5 99.101 . . .... 10000 2 .2 3 .3 4 .4 -A = (1= = 17 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 1.2.3..... 98.98 3.4.5... 100.101 . 2.3.4..... 99.100 2.3.4... 99.100 101 101 1 1 . = > . 100 2 2 200 = = Do ®ã A < 1 2 Bµi 4: TÝnh: B = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - - - - 90 72 56 42 30 20 12 6 2 Bµi 5: CMR kh«ng tån t¹i hai SHT x vµ y tr¸i dÊu, kh«ng ®èi nhau tháa m·n ®¼ng thøc : 1 1 1 = + . x y y x Gi¶i : Gi¶ sö tån t¹i hai sè h÷u tØ x vµ y tháa m·n ®¼ng thøc 1 1 1 = + . Suy ra x y y x 1 yx = <=> ( x + y ) ( x+ y ) = xy. ®¼ng thøc nµy kh«ng x¶y ra v× (x + y ).(x+ x y xy y)>0 cßn x.y < 0 ( do x vµ y lµ hai sè tr¸i dÊu, kh«ng ®èi nhau ). Bµi 6: T×m 2 SHT x vµ y ( y kh¸c 0), biÕt r»ng : x- y = xy = x : y. Gi¶i : Tõ x-y = xy => x= xy +y = y( x+1) => x:y = x+1 ( do y kh¸c 0 ). Theo ®Ò bµi th× x : y = x –y , suy ra x + 1 = x – y => y = -1 . 1 2 Thay y = - 1 vµo x - y = xy ®-îc x - (-1) = x.(-1) => 2x = - 1 => x = - . Bµi 7: a, M = 0 ; VËy x = -1/2 ; y = -1. Cho M= x (x-3) . Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× : b, M > 0 ; c, M < 0 . Bµi 8 : Cho P = x 1 . Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× x P=0; BTVN: Cã tån t¹i hai sè d¬ng a vµ b kh¸c nhau sao cho : HD : Gi¶ sö P>0 ; P < 0. 1 1 1 - = kh«ng? a b a b 1 1 1 ba 1 - = th× = => ( b- a) (a –b) = ab . a b a b ab a b VÕ tr¸i cã gi¸ trÞ ©m (v× tÝch cña hai sè ®èi nhau kh¸c 0) , vÕ ph¶i cã gi¸ trÞ d¬ng (v× lµ tÝch hai sè d¬ng). VËy kh«ng tån t¹i hai sè d¬ng a vµ b kh¸c nhau mµ 1 1 1 - = . a b a b 18 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG h×nh häc 7 --------***------Buæi 3: §-êng th¼ng vu«ng gãc - ®-êng th¼ng song song Ngµy so¹n : 10/ 10/ 2009 KiÕn thøc cÇn nhí: A. HS cần nắm vững những kiÕn thức sau: - §Þnh nghÜa hai gãc ®èi ®Ønh ; TÝnh chÊt hai gãc ®èi ®Ønh . - §Þnh nghÜa hai ®t vu«ng gãc ; TÝnh chÊt duy nhÊt cña hai ®t vu«ng gãc : Cã mét vµ chØ mét ®t ®i qua mét ®iÓm cho tríc vµ vu«ng gãc víi mét ®t cho tríc. - §êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng. - §Þnh nghÜa hai ®êng th¼ng song song ; - DÊu hiÖu nhËn biÕt hai ®êng th¼ng song song a // b , nÕu : +, CÆp gãc so le trong b»ng nhau +, CÆp gãc ®ång vÞ b»ng nhau. +, CÆp gãc trong cïng phÝa bï nhau. - Tiªn ®Ò ¥-clit vÒ hai ®êng th¼ng song song . Tõ ®ã suy ra : Hai ®t ph©n biÖt cïng song song víi ®t thø ba th× song song víi nhau. - TÝnh chÊt cña hai ®t song song : NÕu mét ®t c¾t hai ®t song song th× : +, CÆp gãc so le trong b»ng nhau +, CÆp gãc ®ång vÞ b»ng nhau. +, CÆp gãc trong cïng phÝa bï nhau. B. Bæ sung: - Mçi gãc chØ cã mét gãc ®èi ®Ønh. - Mçi ®o¹n th¼ng chØ cã mét ®êng trung trùc. - Hai gãc cã c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc . - Hai gãc cã c¹nh t¬ng øng song song. - Cã thÓ dïng tiªn ®Ò ¥-clit ®Ó c/m ba ®iÓm th¼ng hµng : Cho ba ®iÓm A, B, C ë ngoµi ®t a , nÕu cã AB // a vµ AC // th× A, B, C th¼ng hµng. - NÕu hai gãc cã c¹nh t¬ng øng song song th× : + Chóng b»ng nhau nÕu hai gãc cïng nhän hoÆc cïng tï. + Chóng bï nhau nÕu gãc nµy nhän , gãc kia tï. + NÕu mét gãc vu«ng th× gãc cßn l¹i cñng vu«ng. II. D¹ng bµi tËp to¸n: Bµi 1 : XÐt c¸c cÆp gãc ®èi ®Ønh ¢1 vµ ¢3 ; ¢2 vµ ¢4 ®îc t¹o khi hai ®t c¾t nhau t¹i A. T×m sè ®o mçi gãcætong nh÷ng trêng hîp sau : a, ¢1 + ¢4 = 100 b, ¢2 - ¢4 = 20 c, 3. ¢1 = 2 ¢2. I. 19 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Bµi 2 : CMR hai tia ph©n gi¸c cña hai gãc ®èi ®Ønh lµ hai tia ®èi nhau. Gi¶i C¸ch 1: 1 1 . «1 = «4 . Ta cã «4 + «1 + - Xem thêm -