Tài liệu Skkn vận dụng linh hoạt tính chất dăy tỷ số bằng nhau vào việc giải một số dạng toán nhằm phát huy tư duy sáng tạo của học sinh trong học tập môn toán 7

MỤC LỤC Trang Nội dung 2 Tóm tắt đề tài 3 Giới thiệu 5 Phương pháp 8 Phân tích dữ liệu kết quả 9 Bàn luận Tài liệu tham khảo 10 Kết luận và kiến nghị 12 Tài liệu tham khảo 13 Phụ lục đề tài và kế hoạch bài học 19 Đề và đáp án kiểm tra sau tác động 20 Bảng điểm kiểm tra trước và sau tác động 21 Bảng điểm kiểm tra trước và sau tác động VẬN DỤNG LINH HOẠT TÍNH CHẤT DÃY TỶ SỐ BẰNG NHAU VÀO VIỆC GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN NHẰM PHÁT HUY TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH TRONG HỌC TẬP MÔN TOÁN 7 I.TÓM TẮT ĐỀ TÀI Môn Toán trong trường phổ thông nói chung, môn đại số nói riêng được xem là công cụ của các môn học khác và cũng là môn học có tiềm năng phong phú có thể khai thác để phát triển tư duy của học sinh .Tuy nhiên việc phát triển tư duy thông qua dạy học môn toán đại số chưa thực chú trọng. Nhiều học sinh mặc dù có khả năng, có tư chất tốt nhưng vẫn thiếu sự sáng tạo trong toán học, các em thường lệ thuộc nhiều vào tài liệu và các em ngày càng thiếu đi tính tự học tự bồi dưỡng, chủ yếu cách giải các 1 bài toán đại số là nhờ học nhiều mà có, các em giải các bài toán đại số ở đâu đó mà không biết đề xuất các bài toán đại số tương tự, bài toán đại số tổng quát hoặc các em không cố gắng trong việc tìm tòi ra các mối ” quan hệ họ hàng” giữa bài toán đại số đang xét với các bài toán đại số khác để từ đó có thể đề xuất được các bài toán đại số mới từ bài toán đại số quen thuộc. Bên cạnh đó các tài liệu tham khảo cũng chỉ nặng về trình bày các lời giải mà không đề cập đến sự kế thừa kết quả của các bài toán đại số gốc ban đầu, có những bài toán đại số nếu chúng ta phát hiện ra được sự liên hệ với một bài toán đại số gốc nào đó thì chúng ta sẽ tìm được cách giải nhanh chóng hoặc cũng giúp chúng ta đề xuất được những bài toán đại số mới. Để có thể làm được điều đó người dạy phải biết khơi gợi giúp học sinh vận dụng những cái đã có, vốn có của mình, tìm tòi khám phá phát triển, sáng tạo và mở rộng kiến thức. Đây chính là lý do tôi viết đề tài: Vận dụng linh hoạt tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào việc giải một số dạng toán nhằm phát huy tư duy sáng tạo của học sinh trong học tập môn toán 7 Nghiên cứu được tiến hành trên hai lớp tương đương: Hai lớp 7A; 7B. Trường THCS Nam Hồng. Lớp 7B là thực nghiệm và lớp 7A là đối chứng. Lớp thực nghiệm được thực hiện giải 3 bài toán đại số có liên quan nội dung mà giáo viên đã dạy. Kết quả cho thấy tác động đã ảnh hưởng rõ rệt đến kết quả học tập của học sinh. Lớp thực nghiệm đã đạt kết quả học tập cao hơn so với lớp đối chứng. Điểm bài kiểm tra đầu ra của lớp thực nghiệm có giá trị trung bình là 6,69 điểm bài kiểm tra đầu ra của lớp đối chứng là 5,63. Kết quả kiểm chứng t- test cho thấy p < 0,05 có nghĩa có sự khác biệt lớn giữa điểm trung bình của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng. Điều đó chứng minh rằng: ”Vận dụng linh hoạt tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào việc giải một số dạng toán nhằm phát huy tư duy sáng tạo của học sinh trong học tập môn toán 7” Vào dạy học làm nâng cao kết quả học tập môn toán đại số của học sinh lớp 7.Trường THCS Nam Hồng. 2 II.GIỚI THIỆU: Đại số là một môn học rất quan trọng trong việc rèn luyện tính lôgic, tư duy sáng tạo, giúp học sinh không những học tốt môn toán đại số mà còn có thể học tốt các môn học khác. Vậy làm thế nào để học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản, biết cách phát triển bài toán và chủ động trong học tập để các em luôn có thể tự học và tự sáng tạo? Ngoài việc rèn luyện kỹ năng giải từng dạng toán, tìm nhiều cách giải cho một bài toán…thì việc khai thác phát triển bài toán cũng hết sức cần thiết. Nhưng khai thác như thế nào? Khai thác ở mức độ nào? Đó mới là điều chúng ta cần tập trung suy nghĩ. Với mục tiêu đó bản thân tôi xin được trao đổi một kinh nghiệm nhỏ thông qua: ”Vận dụng linh hoạt tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào việc giải một số dạng toán nhằm phát huy tư duy sáng tạo của học sinh trong học tập môn toán 7” Tuy nhiên ở các trường học hiện nay, mỗi khi học xong một bài học, giáo viên chỉ ra bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập, học sinh chỉ biết giải những bài đó, việc chỉ dừng lại ở giải các bài tập đó dễ làm cho học sinh thụ động, khó tìm ra được mối liên hệ giữa các kiến thức đã học. Cho nên khi gặp một bài toán đại số mới các em không biết xuất phát từ đâu, những kiến thức cần vận dụng là gì? Nhưng khi giáo viên chữa xong bài tập các em mới ồ lên “ ôi dễ quá” - V× vËy ngêi thÇy gi¸o ph¶i lùa chän phương pháp thích hợp để học sinh tích cực tư duy, nâng cao nhận thức, từ đó thúc đẩy tính năng sáng tạo, giải quyết tốt mọi tình huống các vấn đề đặt ra. Qua kinh nghiệm của bản thân trực tiếp giảng dạy tôi thấy việc tìm tòi, mở rộng khai thác kết quả các bài tập đã học là phương pháp khoa học, có hiệu quả từ chổ bị động các em làm chủ được tình huống, tự tin xử lý các tình huống một cách nhanh chóng, chính xác. Nếu giáo viên hướng dẫn học sinh biết tìm tòi mở rộng, khai thác kết quả các bài tập đã học, để giải sẽ cuốn hút các em óc sáng tạo, sự phát triển tư duy. 3 Một bài toán đại số dù khó đến mấy cũng được xuất phát từ một bài toán đại số (hay một mệnh đề) nào đó. Nếu học sinh có thói quen tìm tòi, khai thác, mở rộng kết quả các bài toán đại số đã học để giải sẽ giúp các em có cơ sỡ khoa học khi phân tích, phán đoán tìm tòi lời giải của các bài toán đại số khác một cách năng động hơn, sáng tạo hơn vào khả năng của bản thân mình. Nếu làm tốt điều này người thầy sẽ giúp học sinh tin hơn vào khả năng sáng tạo của mình và có thêm hứng thú học toán - Trong năm học này tôi được nhà trường phân công dạy môn Toán lớp 7, tôi nhận thấy nếu giáo viên có sự trăn trở cho mỗi giờ dạy trước khi lên lớp hay nghiên cứu kỹ cho mỗi chuyên đề trước khi dạy ôn tập thì hiệu quả của giờ dạy sẽ rất cao. Đặc biệt trong các giờ luyên tập, ôn tập những giờ học mà đòi hỏi phải tổng hợp một lúc nhiều lượng kiến thức cả về lý thuyết lẫn bài tập thì giáo viên nên hướng dẫn cho học sinh dạng bài tập để các em có tính hệ thống hóa, nâng cao kiến thức phục vụ cho việc lưu nhớ lý thuyết và áp dụng vào giải các bài tập. Điều này tôi đã thực hiện và áp dụng có hiệu quả mỗi giờ lên lớp. 1.Giải pháp thay thế: ”Vận dụng linh hoạt tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào việc giải một số dạng toán nhằm phát huy tư duy sáng tạo của học sinh trong học tập môn toán 7” Giúp học sinh quan sát, hệ thống phát hiện kiến thức, tổng hợp và ghi nhớ kiến thức một cách có hệ thống. 2.Vấn đề nghiên cứu: ”Vận dụng linh hoạt tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào việc giải một số dạng toán nhằm phát huy tư duy sáng tạo của học sinh trong học tập môn toán 7” trong dạy học sẽ nâng cao kết quả học tập môn toán học, häc sinh lớp 7 không? 3.Giả thuyết nghiên cứu: ”Vận dụng linh hoạt tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào việc giải một số dạng toán nhằm phát huy tư duy sáng tạo của học sinh trong học tập môn toán 7” sẽ nâng cao kết quả học tập môn toán học sinh lớp 7 Trường THCS Nam Hồng. III. PHƯƠNG PHÁP: 4 1. Khách thể nghiên cứu: Tôi lựa chọn trường THCS Nam Hồng vì trường có những điều kiện thuận lợi cho việc nghiên cứu . * Giáo viên: Tôi là người trực tiếp giảng dạy tại trường và lớp 7A; B tôi đang trực tiếp giảng dạy, có số lượng học sinh tương đối đồng đều. Tôi trực tiếp chọn hai lớp, phân thành như sau: Lớp 7B (lớp thực nghiệm) Lớp 7A (lớp đối chứng) * Học sinh: Hai lớp được chọn tham gia nghiên cứu có nhiều điểm tương đồng nhau về tỉ lệ giới tính, dân tộc. Cụ thể như sau: Bảng 1. Giới tính và thành phần dân tộc của HS lớp 7A;B Trường THCS Nam Hồng. Số HS các lớp Dân tộc Tổng số Nam Nữ Kinh 7A 24 11 13 24 7B 24 8 16 24 Về ý thức học tập, tất cả các em ở hai nhóm này đều tích cực, chủ động. Về thành tích học tập của năm học trước, hai lớp tương đương nhau về điểm số của tất cả các môn học. 2.Thiết kế: Chọn hai hai lớp 7A;B. Lớp 7B là lớp thực nghiệm và lớp 7A là lớp đối chứng. Tôi dùng bài kiểm tra 15phút môn Toán làm bài kiểm tra trước tác động. Kết quả kiểm tra cho thấy điểm trung bình của hai lớp có sự tương đồng, do đó tôi dùng phép kiểm chứng T-Test để kiểm chứng sự chênh lệch giữa điểm số trung bình của 2 lớp trước khi tác động. 3.Kết quả: Bảng 2. Kiểm chứng để xác định các nhóm tương đương Đối chứng 5 Thực nghiệm TBC 5,38 5,44 p= 0,06 p = 0,06 > 0,05 từ đó kết luận sự chênh lệch điểm số trung bình của hai lớp thực nghiệm và đối chứng là không có ý nghĩa, hai lớp được coi là tương đương. Sử dụng thiết kế 2: Kiểm tra trước và sau tác động đối với các lớp tương đương (được mô tả ở bảng 2): Bảng 3. Thiết kế nghiên cứu Nhóm Kiểm tra trước TĐ Tác động KT sau TĐ Vận dụng linh hoạt tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào việc giải một số Thực nghiệm O1 dạng toán nhằm phát huy tư duy O3 sáng tạo của học sinh trong học tập môn toán 7 Dạy học không “Vận dụng linh hoạt tính chất dãy tỉ số bằng nhau Đối chứng O2 vào việc giải một số dạng toán O4 nhằm phát huy tư duy sáng tạo của học sinh trong học tập môn toán 7” ở thiết kế này, tôi sử dụng phép kiểm chứng T-Test độc lập 4. Quy trình nghiên cứu: a.Chuẩn bị bài của giáo viên: - Dạy lớp đối chứng: Thiết kế kế hoạch bài học sử dụng chuẩn bị bài như bình hường. - Dạy lớp thực nghiệm: Thiết kế kế hoạch bài học , sử dụng, chuẩn bị bài như bình thường. Ngoài ra giáo viên còn cung cấp “Vận dụng linh hoạt tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào việc giải một số dạng toán nhằm phát huy tư duy sáng tạo của học sinh trong học tập môn toán 7” các kiến thức cơ bản một cách vững chắc từ các bài toán đại số, biết khai thác nhiều bài toán nâng cao. b. Tiến hành dạy thực nghiệm: 6 Thời gian tiến hành thực nghiệm vẫn tuân theo kế hoạch dạy học của nhà trường và theo thời khóa biểu để đảm bảo tính khách quan. Cụ thể: Bảng 4. Thời gian thực nghiệm Thứ ngày Môn/Lớp Học buổi 2 Tên bài dạy Vận dụng linh hoạt tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào việc giải một số dạng toán Ba 3/11/2016 Toán 7B Chiều nhằm phát huy tư duy sáng tạo của học sinh trong học tập môn toán 7 5. Đo lường: Bài kiểm tra trước tác động là môn toán, tôi làm bài kiểm tra 15 phút ra đề thi chung cho cả hai lớp. Bài kiểm tra sau tác động là bài kiểm tra sau khi học xong các bài có nội dung trong chủ đề “Vận dụng linh hoạt tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào việc giải một số dạng toán nhằm phát huy tư duy sáng tạo của học sinh trong học tập môn toán 7’’ tôi dạy lớp 7B. Bài kiểm tra sau tác động gồm 3 câu hỏi tự luận. * Tiến hành kiểm tra và chấm bài: Sau khi thực hiện dạy xong các bài học trên, tôi tiến hành bài kiểm tra 45 phút (nội dung kiểm tra trình bày ở phần phụ lục). Sau đó tôi tiến hành chấm bài theo đáp án đã xây dựng. IV. PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ KẾT QUẢ: Bảng 5. So sánh điểm trung bình bài kiểm tra sau tác động ĐTB Độ lệch chuẩn Giá trị P của T- test Chênh lệch giá trị TB chuẩn Đối chứng 5,63 1,19 Thực nghiệm 6,69 1,17 0,001 0,89 (SMD) Như trên đã chứng minh rằng kết quả 2 lớp trước tác động là tương đương. Sau tác động kiểm chứng chênh lệch ĐTB bằng T-Test cho kết quả P = 0,001, cho thấy: 7 sự chênh lệch giữa ĐTB lớp thực nghiệm và lớp đối chứng rất có ý nghĩa, tức là chênh lệch kết quả ĐTB lớp thực nghiệm cao hơn ĐTB lớp đối chứng là không ngẫu nhiên mà do kết quả của tác động. Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn SMD = 6,69  5,63 0,89 1,19 Điều đó cho thấy mức độ ảnh hưởng của dạy học có sử dụng “ Vận dụng linh hoạt tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào việc giải một số dạng toán nhằm phát huy tư duy sáng tạo của học sinh trong học tập môn toán 7’’ c¸c bµi to¸n ë sách bài tập toán 7 đến điểm trung bình học tập của nhóm thực nghiệm là lớn. 8 V.BÀN LUẬN Kết quả của bài kiểm tra sau tác động của lớp thực nghiệm là điểm trung bình = 6,69 kết quả bài kiểm tra tương ứng của lớp đối chứng là điểm trung bình = 5,63. Độ chênh lệch điểm số giữa hai lớp là 0,89; Điều đó cho thấy điểm trung bình của hai lớp đối chứng và thực nghiệm đã có sự khác biệt rõ rệt, lớp được tác động có điểm trunh bình cao hơn lớp đối chứng. Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn của hai bài kiểm tra là SMD = 0,89. Điều này có nghĩa mức độ ảnh hưởng của tác động là lớn. p = 0.001< 0.05 Phép kiểm chứng T-test ĐTB sau tác động của hai lớp là p=0,001 < 0.05. Kết quả này khẳng định sự chênh lệch điểm trung bình của hai lớp không phải là do ngẫu nhiên mà là do tác động. * Hạn chế: “ Vận dụng linh hoạt tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào việc giải một số dạng toán nhằm phát huy tư duy sáng tạo của học sinh trong học tập môn toán 7’’ trong giờ học môn toán đại số là một giải pháp rất tốt nhưng để sử dụng có hiệu quả, người giáo viên cần phải biết cách tìm tòi khai thác trên các kênh thông 9 tin, biết hệ thống các dạng bài tập khi đọc một quyễn sách tài liệu hoặc nghiên cứu bài dạy thiết kế kế hoạch bài học hợp lí. VI. KẾT LUẬN VÀ khuyẾn NGHỊ : 1.Kết luận: “ Vận dụng linh hoạt tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào việc giải một số dạng toán nhằm phát huy tư duy sáng tạo của học sinh trong học tập môn toán 7’’ vào giảng dạy môn Toán 7 ở Trường THCS Nam Hồng đã nâng cao hiệu quả học tập của học sinh. 2.Khuyến nghị Để đáp ứng không ngừng việc đổi mới phương pháp dạy học, cũng như sự đổi mới trong cách dạy của thầy và cách học của trò, nhằm đạt hiệu quả dạy học cao nhất thì buộc người thầy phải truyền thụ kiến thức một cách thật sáng tạo, tổ chức các tình huống học tập, các câu hỏi dẫn dắt để khai thác bài toán mới có tác dụng gây sự tập trung chú ý, kích thích hứng thú học tập của học sinh. Hệ thống câu hỏi, nêu ra từ dễ đến khó đã lôi cuốn học sinh vào hoạt động tự lực, đề xuất bài toán mới, mới làm học sinh có niềm vui, sự thích thú khi giải bài tập toán. Vì thế học sinh say mê học tập hơn, khả năng tổng quát hóa, tương tự hóa,… được phát triển. Học sinh biết so sánh các bài toán trong từng dạng, biết xâu chuỗi các bài toán từ dễ đến khó, các em tự tìm tòi, khám phá biết quy lạ thành quen, biến phức tạp thành đơn giản. Đối với giáo viên: không ngừng tự học, tự bồi dưỡng , biết khai thác các kênh thông tin có liên quan đến bộ môn mà bản thân đang trực tiếp giảng dạy nhằm tích lũy kiến thức để phục vụ dạy học ngày một tốt hơn Với kết quả của đề tài này, tôi mong rằng các bạn đồng nghiệp quan tâm, chia sẻ và đặc biệt là đối với giáo viên dạy học bộ môn toán cấp THCS có thể ứng dụng đề tài này vào việc dạy học để tạo hứng thú và nâng cao kết quả học tập cho học sinh. Th«ng qua nghiªn cøu vµ thùc hiÖn ®Ò tµi nµy, t«i rót ra ®îc nhiÒu kiÕn thøc vµ kinh nghiÖm quy b¸u hç trî c«ng t¸c gi¶ng d¹y ngµy mét tèt h¬n 10 Do ®iÒu kiÖn thêi gian cã h¹n, c¸c tµi liÖu tham kh¶o cha ®Çy ®ñ, n¨ng lùc cßn h¹n chÕ nªn ®Ò tµi kh«ng thÓ tr¸nh khái nh÷ng sai sãt. RÊt mong Héi §ång Khoa häc cña trêng vµ Héi §ång Khoa häc nghµnh xem xÐt, ®iÒu chØnh vµ bæ sung ®Ó qua ®ã nh»m rÌn luyÖn tay nghÒ cña t«i ngµy mét v÷ng vµng h¬n. T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n! Nam Hång ngµy 5/10/2016 Ngêi thùc hiÖn Lª ThÞ H¬ng VII.TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Sách giáo khoa toán 7, Sách bài tập bài tập toán 7 - Tập I; II. Nhà xuất bản giáo dục - 2011. Tác giả: Phan Đức Chính - Tôn Thân - Vũ Hữu Bình - Trần LuËn – Ph¹m Gia §øc. 2) Các chuyªn ®ề chän läc to¸n 7 - Tập I; II. Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam 2013. Tác giả: Tôn Thân - §Æng V¨n LuËn - Bùi Văn Tuyên 3) To¸n båi bìng häc sinh 7. Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam - 2013. Tác giả: Tôn Thân - Vũ Hữu Bình - §ç Quang ThiÒu. 4) Nâng cao và phát triển Toán 7. Tập I; II. Nhà xuất bản giáo dục. Tác giả: Vũ Hữu Bình. 5) Thực hành giải toán. Nhà xuất bản giáo dục - 2001 Tác giả: Vũ Dương Thụy- Phạm Gia Đức- Hoàng Ngọc Hưng - Đặng Đình Lăng. 6) Bµi tËp n©ng cao vµ mét sè chuyªn ®Ò to¸n 7. Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam - 2010. Tác giả: Bïi V¨n Tuyªn. 7) Khai thác và phát triển một số bài toán trung học cơ sỡ- Tập I; II. Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam - 2013. Tác giả:NGƯT. Nguyễn Tam Sơn . - Đặc biệt trong đó có sự đóng góp của các đồng nghiệp giáo viên Trường THCS Nam Hồng 11 VIII. PHỤ LỤC CỦA ĐỀ TÀI A. KẾ HOẠCH BÀI HỌC: LÝ THUYẾT KIẾN THỨC CƠ BẢN: I. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau 1) Tính chất 1: Từ tỉ lệ thức a c a c a c a  c  suy ra    (b ≠ ± d) b d b d bd b d 2) Tính chất mở rộng. Nếu có n tỉ số bằng nhau ( n 2 ): a1 a 2 a 3 a    n b1 b 2 b3 bn ta suy ra: a1 a1  a 2  a 3  a n a1  a 2  a 3   a n    b1 b1  b 2  b3 b n b1  b 2  b3   b n ( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa). II. Nhận xét Nếu đặt trước dấu“ - ” trước số hạng trên của tỉ số nào đó thì cũng đặt dấu “ - ” trước số hạng dưới của tỉ số đó. Tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho ta một khả năng rộng rãi để từ một số tỉ số bằng nhau cho trước, ta lập được những tỉ số mới bằng các tỉ số đã cho, trong đó số 12 hạng trên hoặc số hạng dưới của nó có dạng thuận lợi nhằm sử dụng các dữ kiện của bài toán. III. Các dạng toán và phương pháp giải Trong chuyên đề này ngoài việc đề xuất được một số dạng toán vận dụng linh hoạt tính chất dãy tỉ số bằng nhau, tôi còn đề xuất được một số bài toán mới từ một số bài toán gốc bằng cách thay đổi giả thiết bài toán hoặc biến đổi tương đương. Dạng 1. Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm thành phần chưa biết. a. Một số bài toán Bài toán 1. Tìm các số x, y, z biết rằng : x y z   và x + y +z = 360 2 5 3 Định hướng : Để sử dụng giả thiết x y z   ta đưa về vận dụng tính chất dãy tỉ 2 5 3 số bằng nhau làm xuất hiện tổng x + y + z = 360 từ đó đi tìm giá trị của x; y; z Giải Cách 1. Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:  x 72 x y z x  y  z 360      36   y 180 2 5 3 2  5  3 10 z 108  Nhận xét: Ngoài cách giải trên ta có thể giải bài toán bằng phương pháp đặt giá trị chung: Cách 2. Đặt giá trị chung. x y z Đặt:   k  2 5 3  x 2k   y 5k  z 3k  Vì x + y +z = 360 nên 2k + 5k + 3k = 360 suy ra 10k = 360 hay k = 36. Ta có: 13  x 72    y 180  z 108  Vậy x = 72; y = 180; z = 108. Nhận xét: Từ giả thiết x y z   ta có thể giải bài toán trên bằng phương pháp 2 5 3 thế Cách 3. Phương pháp thế. Từ: x z 2z   x 2 3 3 y z 5z   y 5 3 3 Mặt khác: x + y +z = 360  2z 5z   z 360  z 108 và x = 72 và y= 180. 3 3 Vậy x = 72; y = 180; z = 108. Nhận xét. Một cách tương đương có thể xem tỉ số x y z   thành x: y :z = 2 : 2 5 3 5 : 3 đề xuất được một bài toán mới sau: Bài toán 1.1. Cho x : y : z = 2 : 5 : 3 và x + y + z = 360. Tìm x; y; z? Hướng dẫn. Từ x : y : z = 2 : 5 : 3  x y z   và x + y + z = 360. 2 5 3 (Bài toán trở về bài toán 1, giải tiếp tương tự bài toán 1). Nhận xét: Biến đổi tương đương từ tỉ số 5x 2y x y z   thành  tiếp tục đề 2 5 3 3y  5z  xuất bài toán mới Bài toán 1. 2. 5x 2y và x + y + z = 360 . Tìm x; y; z? 3y  5z  Cho  5x 2y 3y 5z Hướng dẫn. Từ  suy ra : 14 x y  2 5  x y z    y z 2 5 3 3y 5z   5 3  5x 2y  và x + y + z = 360. (Bài toán trở về bài toán 1, giải tiếp tương tự bài toán 1). Nhận xét. Từ x y z x y z   có BCNN (2; 5; 3) = 30 nên   ta suy ra 15x = 6y = 10z 2 5 3 2 5 3 chúng ta đề xuất được một số bài toán mới. Bài toán 1.3. Cho 15x = 6y = 10z và x + y + z = 360. Tìm x ; y; z? x y z Hướng dẫn: Từ 15x = 6y = 10z  30  30  30   2 5 3 x y z   . 2 5 3 (Bài toán trở về bài toán 1, giải tiếp tương tự bài toán 1). Nhận xét. Nếu thay đổi một trong các giả thiết của bài toán x + y + z = 360 bởi 2x + 3y - z = 576), ta có bài toán mới: Bài toán 1.4. Cho 5x = 2y ; 3y = 5z và 2x + 3y - z = 576 . Tìm x; y; z? Định hướng: Từ giả thiết của bài toán 5x = 2y ; 3y = 5z vận dụng tính chất tỉ lệ thức đưa về dạng 5x = 2y  x y y z  và 3y = 5z   , từ đó tìm mối quan 2 5 5 3 hệ giữa x; y; z để vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau tìm ra các giá trị của x; y; z Giải: Theo bài ra ta có: x y 5x 2y  Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta ừ có:  x y z 2x 3y z  2 5       y z  2 5 3 4 15 3 3y 5z   5 3  x y z 2x 3y z 2x  3y  z 576        36 2 5 3 4 15 3 4  15  3 16 15 Suy ra: x = 72 ; y = 180; z = 108. Nhận xét: Chuyển bài toán 1 sang ngôn ngữ bằng lời văn ta tiếp tục đề xuất bài toán mới Bài toán 1. 5: Tìm x; y; z biết ba số đó tỷ lệ với các số 2; 5; 3 và tổng của ba số đó là 360. Hướng dẫn. Theo giả thiết bài toán: x; y; z tỷ lệ với các số 2; 5; 3 nên x y z   2 5 3 và tổng của ba số đó là: x + y + z = 360. (Bài toán trở về bài toán 1, giải tiếp tương tự bài toán 1). Nhận xét: Thay đổi dự kiện tổng của ba số x + y + z = 360 thành tích xyz = 1399680 ta lại có một bài toán mới Bài toán 1. 6: Cho x y z   và xyz = 1399680. Tìm x; y; z? 2 5 3 Hướng dẫn: Từ tỉ lệ thức: 3 3 3 3 x y z xyz 1399680 3  x  y  z  x   suy ra            46656  36  2 5 3 2 5 3 30  2   5   3  2 Vậy: x = 72 ; y = 180; z = 108. Bài toán 2:. Tìm x; y; z biết: x  2 y 1 z 1   x  y  z y z x (Đề thi Giáo viên giỏi Thị xã Hồng Lĩnh năm học 2014- 2015) Giải. Điều kiện x; y; z  0 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: x  2 y 1 z 1 (x  2)  (y  1)  (z  1) x  y  z   x  y  z   y z x yzx xyz Do đó: xyz x  y  z xyz Suy ra:  x  y  z 0   x  y  z 1 16 Trường hợp 1: x + y +z = 0   x  2 0    y  1 0  z  1 0  x  2 y  1 z 1   0 y z x  x 2   y  1 z  1  Vậy: x = 2; y = - 1; z = - 1 x yz Trường hợp 1: x + y +z  0  x  y  z x  y  z  x  y  z 1 nên x 2 1  x  2 y y y 1 1  y  1 z z z 1 1  z  1 x  z x  1 x Thay y = x - 2; z = x - 1 vào x + y + z = 0 ta có : x + (x - 2) + (x - 1) = 1 4 3 Vậy: x  ; y  2 1 ;z  và 3 3 x = 2; y = - 1; z = - 1 Bài toán 3. Cho bài toán: Tìm x; y biết 2x  4 3y  6 2x  3y  2 2x  3y  2    7 11 18 6x Một học sinh đã giải như sau: “ ĐKXĐ x 0 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 2x  4 3y  6 2x  3y  2 2x  3y  2  20     6x 18  x 3; y  ” 7 11 18 6x 21 a) Em hãy chỉ ra sai lầm trong cách giải của của bạn học sinh đó. b) Em hãy giải bài toán trên Giải a) Lời giải cần xét thêm khả năng : 2x + 3y + 2 = 0 ( với x 0) từ đó có thêm giá trị của x = 2; y = - 2 b) Lời giải bài toán Trường hợp 1: 2x + 3y + 2 = 0( với x 0) thì : 17 2x  4 3y  6 2x  3y  2 0    7 11 18 6x 2x  4  0  2x  4 0  x 2 7 3y  6 0  y  2 Trường hợp 2: 2x + 3y +2 0 ta có 2x  4 3y  6 2x  3y  2 2x  3y  2  20     6x 18  x 3; y  7 11 18 6x 21 Vậy: x = 3; y   20 và x = 2; y = - 2. 21 b. Bài tập vận dụng Bài tập 1. Tìm x, y, z biết: a. 6 9 18 x y z 11 2 5 b. x 1 y2 z 5   2 4 6 c. 4 3 2   3x  2 y 2 z  4 x 4 y  3z và – x + z = -196. và 5z – 3x – 4y = 50. và x + y – z = - 10. Bài tập 2. Tìm x, y biết: a. 1 2 y 1 4 y 1 6 y   18 24 6x b. 1  3y 1  5 y 1  7 y   12 5x 4x . Dạng2 : Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tính giá trị biểu thức. a. Một số bài toán Bài toán 1: Cho: a b c   . Tính giá trị biểu thức: 2 3 5 F= Định hướng : Từ giả thiết 9 2  a  b   b  c    c  a   2016 2 a b c   để tính được giá trị biểu thức F ta phải tìm 2 3 5 các hiệu a - b; b - c; c - a thông qua tính chất dãy tỉ số bằng nhau Giải. 18 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: a b c a b b c c a a b b c c a         2 3 5 2 3 3 5 5 2 1 2 3 Suy ra:   c  a  2  2 c  a  3    a  b  b  c  9  2 c  a   b c  3 a b Nên: F= = 9 2  a  b   b  c    c  a   2016 2 9 2 2 2   c  a    c  a   2016 = 2016 2 9 Nhận xét. Từ bài toán 1 ta đề xuất bài toán mới. Bài toán 1.1: Cho: a b c   2015 2016 2017 Tính giá trị biểu thức: K = (c – a)2 - 4(a - b)(b - c). Giải. Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: a b c a b b c c a a b b c c a         2015 2016 2017 2015  2016 2016  2017 2017  2015 1 1 2  2 a  b  2  b  c c  a    2 2 2 Suy ra:  2  a  b   c  a   2   4  a  b   b  c   c  a   2  b  c   c  a   Nên: K = (c – a)2 - 4(a - b)(b - c) = (c – a)2 - (c – a)2 = 0 . Bài toán 2 : Cho: a b b c c  a   (với a, b, c  0) c a b Tính giá trị của biểu thức : c  a  b  B  1    1    1    b  c  a  (Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm 2015 - 2016 của Thị xã Hồng Lĩnh). 19 Giải Cách 1: Ta có:  a  b  c   b a  c b  a c  B  1    1    1        b  c  a   b  c  a  Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: a  b b  c c  a (a  b)  (b  c )  (c  a ) 2(a  b  c )     c a b c a b c  a b Trường hợp 1. Nếu a + b + c = 0 thì a + b = - c; b + c = - a; c + a = - b .   c   a    b B =        1 .  b   c   a  Trường hợp 2 . a + b + c 0 ta có a  b b  c c  a (a  b)  (b  c)  (c  a) 2(a  b  c)     =2 c a b c  a b c  a b Suy ra: Cách 2. Từ: B = 2.2.2 = 8. a b b c c a a b b c ca    1  1  1 c a b c a b  a b c a b c a b c   (*) c a b +) Xét: a  b  c 0  a  b  c; a  c  b; b  c  a B a  b b  c a  c  c  a  b  abc        1 b c a b c a abc +) Xét: a  b  c 0 . Từ (*) ta có : a b c  B 8 . Nhận xét. Nếu đặt a b b c c a   k chúng ta có bài toán mới. c a b Bài toán 2.1: Cho: a b bc c  a   k (với a; b; c  0) c a b Tính giá trị biểu thức: P (k 2  k  1) 2 Giải 20