Tài liệu Đa chập đối với các phép biến đổi tích phân fourier, fourier sine, fourier cosine và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM VĂN HIỆU ĐA CHẬP ĐỐI VỚI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER, FOURIER SINE, FOURIER COSINE VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM VĂN HIỆU ĐA CHẬP ĐỐI VỚI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER, FOURIER SINE, FOURIER COSINE VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN MINH KHOA Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Mở đầu 1 Nội dung 5 1 Đa chập với hàm trong γ(y) = e−αy đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine và Fourier cosine. 5 1.1 Các không gian được xét đến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Định nghĩa đa chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Các tính chất của đa chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Áp dụng giải hệ phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Đa chập với hàm trọng γ(y) = 4e−βy đối với các phép biến đổi Fourier, Fourier sine và Fourier cosine 20 2.1 Các không gian được sử dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Định nghĩa đa chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Các tính chất của đa chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4 Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 36 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thày TS. Nguyễn Minh Khoa. Trưởng khoa học cơ bản - Trưởng bộ môn Toán trường Đại học Điện lực đã hướng dẫn và chỉ bảo tận tình trong suốt quá trình làm luận văn. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Toán - Tin Trường ĐHKH, Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập tại trường. Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên trong lớp cao học toán K4B đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn. Tuy bản thân có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bản thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô cùng toàn thể bạn đọc. Thái Nguyên, tháng 08 năm 2012. Tác giả . Phạm Văn Hiệu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan các kết quả nghiên cứu trong luận văn là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Tác giả . Phạm Văn Hiệu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Mở đầu Tích chập của hai hàm f, g đối với phép biến đổi tích phân Fourier có dạng [7,13]: +∞ R 1 √ ∗ (f g)(x) = f (x − y)g(y)dy ∀x ∈ R 2π F (0.1) −∞ Tích chập này thảo mãn đẳng thức nhân tử hóa sau: F (fF∗ g)(y) = (F f )(y)(F g)(y), ∀y ∈ R (0.2) trong đó phép biến đổi Fouriercó dạng: [7.13] 1 (F f )(y) = √ 2π Z+∞ f (x)e−ixy dx. (0.3) −∞ Tích chập suy rộng của hai hàm f và g đối với các phép biến đổi Fourier sine và Fourier cosine được nghiên cứu trong [7] , [13] 1 (f ∗ g)(x) = √ 1 2π Z+∞ f (y) [g(x − y) − g(x + y)])dy (0.4) 0 Tích chập suy rộng này thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa Fs (f ∗ g)(y) = (Fs f )(y)(Fc g)(y), ∀y > 0 (0.5) 1 Trong đó phép biến đổi Fourier sine có dạng [7] , [13] r Z+∞ 2 f (x)sin(xy)dx, (Fs f )(y) = π 0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (0.6) 2 và phép biến đổi Fourier cosine có dạng [7] , [13] r (Fc f )(y) = 2 π Z+∞ f (x)cos(yx)dx, (0.7) 0 Tích chập suy rộng của hai hàm f và g đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosin và Fourier sine được xác định bởi [10] 1 (f ∗ g)(x) = √ 2 2π Z+∞ f (u) [sign(u − x)g |u + x| + g(u + x)]du, x > 0 (0.8) 0 Và thoả mãn đẳng thức nhân tử hóa: Fc (f ∗ g)(y) = (Fs f )(y)(Fs g)(y), ∀y > 0 2 (0.9) Tích chập suy rộng với hàm trọng: γ1 (x) = sinx của hai hàm f và g đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine và sine có dạng như sau[11]  γ1 f ∗g  3 1 (x) = √ 2 2π Z+∞ f (y)[g |x − y − 1| − g |y − x + 1| 0 +g |y + x − 1| − g |x + y + 1| ]dy, x > 0 (0.10) và có đẳng thức nhân tử hóa sau đây: γ1 Fc (f ∗ g)(y) = sin y(Fs f )(y)(Fc g)(y), ∀y > 0 3 (0.11) Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier và Fourier sine xác định bởi [6] 1 (f ∗ g)(x) = √ 4 2 2π Z+∞ f (y) [sign(y − x)g |y + x| + g(x + y)]dy,∀x ∈ R 0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (0.12) 3 Tích chập này thoả mãn nhân tử hóa sau đây: F (f ∗ g)(y) = (Fs f ) |y| (Fs g) |y| , ∀y ∈ R 4 (0.13) Một tích chập với hàm trọng γ1 (x) = sinx của hàm f và hàm g đối với phép biến đổi Fourier sine được giới thiệu trong [4] +∞ R γ1 1 √ (f ∗ g)(x) = f (y)sign(x + y − 1)g(|x + y − 1|) 2 2π Fs 0 +sign(x − y + 1)g(|x − y + 1|) − g(x + y + 1) −sign(x − y − 1)g(|x − y − 1|)dy, x > 0 (0.14) với tích chập này, đẳng thức nhân tử hóa sau đây thỏa mãn : η Fs (f ∗ g)(y) = sin y(Fs f )(y)(Fs g)(y), ∀y > 0 (0.15) Fs Năm 1997 Kakichev giới thiệu một phương pháp kiến thiết xác định một đa chập với hàm trọng γ của các hàm f1 , f2 , ..., fn đối với các phép biến đổi tích phân K1 , K2 , ..., Kn ký hiệu bởi γ∗ (f1 , f2 , ..., fn )(x) sao cho đẳng thức nhân tử sau đây thỏa mãn [5] n Y  K ∗ (f1 , f2 , ..., fn ) (x) = γ(y) (Ki fi )(y), n ≥ 3 (0.16) γ i=1 Đa chập đối với các phép biến đổi tích phân Hilbert, Stieltjes, Fourier cosine, Fourier sine đã được nghiên cứu trong [9] Trong thời gian gần đây, có nhiều có nhiều công trình nghiên cứu về các tích chập suy rộng. Các tích chập này cho ta một số ứng dụng thú vị xem trong ([8,10,11,12]). Đặc biệt là ứng dụng trong phương trình tích phân với nhân Toeplitz+Hankel[3,14] Z+∞ f (x) + [k1 (x + y) + k2 (x − y))]f(y)dy = g(x), x > 0 (0.17) 0 trong đó k1 , k2 và g là các hàm đã biết và f là ẩn hàm. Nhiều trường hợp rieeng của phương trình này có thể giải cho nghiệm đóng nhờ vào các tích Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 chập suy rộng. Trong luận văn này tác giả sử dụng kết quả bài báo của Tiến sĩ Nguyễn Minh Khoa với hai đa chập với hàm trọng γ(y) đối với các phép biến đổi Fourier sine, Fourier và Fourier cosine. Với các tính chất toán tử và các mối liên hệ giữa đa chập mới với các tích chập và tích chập suy rộng đã biết. Đồng thời, giải được một trường hợp riêng của bài toán mở (0.17). Đáng chú ý là các đa chập sử dụng trong luận văn này cho phép ta giải được một số lớp nghiệm trong số không nhiều các hệ phương trình tích phân có thể giải được dưới dạng đóng. Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Chương 1 Đa chập với hàm trọng γ(y) = e−αy đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine , Fourier và Fourier sine. Chương 2 Đa chập với hàm trọng γ(y) = 4e−βy đối với các phép biến đổi tích phân Fourier sine , Fourier và Fourier cosine. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Chương 1 Đa chập với hàm trong γ(y) = e−αy đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine và Fourier cosine. 1.1 Các không gian được xét đến Các không gian được xét đến trong chương này tác giả dùng đến 2 không gian sau: .   Z+∞p    p α2 + x2 , R = f : α2 + x2 . |f (x)| dx < +∞ L   −∞ với α ≥ 1 và    Z+∞ 
+ L R = f: |f (x)| dx < +∞   0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 1.2 Định nghĩa đa chập Định nghĩa 1. Đa chập với hàm trọng γ(y) = e−αy đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine và Fourier cosine của các hàm f, g, h được xác định bởi 2 ∗(f, h, g)(x) = 2 π γ  Z+∞ f (u)g(v)h(y) −∞ − α + iu (α + iu)2 + (x + v + y)2 + + α + iu (α + iu)2 + (x + v − y)2 α + iu (α + iu)2 + (x − v + y)2 α + iu (α + iu)2 + (x − v − y)2  dudvdy, x > 0 (1.1) Nhận xét 1.2 Đa chập (1.1) là một tích chập suy rộng Triple được mở rộng tới các tích chập suy rộng đối với 3 phép biến đổi Fourier, Fourier sine, Fourier cosine đã biết . Với đa chập này ta có thể giải một số lớp rộng hơn các hệ phương trình tích phân dạng ẩn kiểu đa chập và nhận được nghiệm ở dạng đóng. 1.3 Các tính chất của đa chập Định lý 1.2 √ Giả thiết hàm f ∈ L( α2 + x2 , R) các hàm g, h ∈ L(R+ ). Khi đó đa chập với hàm trọng γ(y) = e−αy đối với các phép biến đổi tích phân Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 Fourier, Fourier sine, Fourier cosine của các hàm f, g, h thuộc L(R+ ). và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau: Fc (γ∗ (f, g, h)(y) = e−αy (F f )(y)(Fs g)(y)(Fs h)(y), ∀y > 0 (1.2) Chứng minh Ta thấy rằng:     α + iu    (α + iu)2 + (x + v + y)2  ≤ rh √ α2 + u2 ≤ p α2 + u2 , i (x + v + y)2 − u2 + 1 với α ≥ 1 Tương tự:   p   α + iu 2 2    (α + iu)2 + (x + v − y)2  ≤ α + u ,   p   α + iu 2 2    (α + iu)2 + (x − v + y)2  ≤ α + u  p    α + iu 2 2    (α + iu)2 + (x − v − y)2  ≤ α + u từ các đánh giá nhận được và giả thiết của định lý ta đi đến: γ  ∗ (f, g, h)(x) ≤ 2 π2 Z+∞ Z+∞ Z+∞ p 4 α2 + u2 |f (x)| |g(v)| |h(y)| dudvdy < +∞ −∞ 0 0 Dựa vào (1.1) ta nhận được  Z+∞ Z+∞ Z+∞ Z+∞ Z+∞ γ  |α + iu| ∗ (f, g, h)(x)dx ≤ 2   π2  (α + iu)2 + (x + v − y)2  0 0 −∞ 0 0 |α + iu| |α + iu| +  +   2 2 2 2 (α + iu) + (x + v + y)  (α + iu) + (x − v + y)  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8  |α + iu|   |f (x)| |g(v)| |h(y)| dudvdydx. +  2 2 (α + iu) + (x − v − y)  từ √ α2 + u2 =r  h i2   2 (α + iu)2 + (x + v + y)2  2 2 (x + v + y) + α − u + 4α2 u2 √ α2 + u2 . < rh i |α + iu| 2 (x + v + y)2 − u2 +1 Ta nhận được Z+∞ Z+∞ Z+∞ Z+∞ 0 −∞ 0 0 |α + iu|  |f (u)| |g(v)| |h(y)| dudvdydx   2 2 (α + iu) + (x + v + y)  Z+∞ Z+∞ Z+∞ Z+∞ < 1 h 0 −∞ 0 0 p (x + v + y)2 − u2 i2 α2 + u2 |f (u)| |g(v)| |h(y)| dudvdydx +1 Sử dụng phép thế x+v+y = t ta nhận được : Z+∞ h 0 Vì: q Z+∞ 1 2 (x + v + y) − u2 i2 dx = +1 0 1 (t2 − u2 )2 + 1 dt (t2 + u2 )2 + 1 ≥ (t − u)2 + 1 với t đủ lớn và Z+∞ 0  d(t − u) π    = arctan(t − u) +∞ = + arctan(u − v − y) v+y 2 2 (t − u) + 1 π π < + =π 2 2 Do đó: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 Z+∞ Z+∞ Z+∞ Z+∞ 0 −∞ 0 0 |α + iu|   |f (u)| |g(v)| |h(y)| dxdudvdy  2 2 (α + iu) + (x + v + y)  Z+∞ Z+∞ Z+∞p α2 + u2 |f (u)| |g(v)| |h(y)| dudvdy < +∞ <π −∞ 0 0 √ Vì f ∈ L( α2 + x2 , R) và g, h ∈ L(R+ ) Tương tự ta nhận được đánh giá giống như vậy cho 3 tích phân γ còn lại và đi đến kết luận là đa chập ∗(f, g, h)(x) ∈ L(R+ ) . Mặt khác áp dụng công thức (1.4.1) trong [2] trang 23 tập 1 ta nhận được: Z+∞ cos(xt) sin(yt) sin(tv)e−(α+iu)t dt 0 Z+∞ 1 = [sin(x + y)t + sin(x − y)t] sin tve−(α+iu)t dt 2 = 1 4 0 +∞ Z [cost(x + y − v) − cos(x + y + v) + cos(x − y − v) 0 − cos(x + y + v)]e−(α+iu)t dt Z+∞ α + iu 1 −α + iu = − 4 (α + iu)2 + (x + v − y)2 (α + iu)2 + (x + v + y)2 0  α + iu α + iu + − (α + iu)2 + (x − v + y)2 (α + iu)2 + (x − v − y)2 Điều này dẫn tới sin(yt) sin(tv)e−(α+iu)t  Z+∞ 2 α + iu = cos(tx) π (α + iu)2 + (x + v − y)2 0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 − α + iu 2 2 α + iu + (α + iu) + (x − v + y)2  α + iu − dx. (α + iu)2 + (x − v − y)2 (α + iu) + (x + v + y) 2 Bởi vậy với y > 0 ta có: e−αy (F f )(y)(Fs g)(y)(Fs h)(y) = = + 1 π q 2 π2 2 π +∞ R +∞ R +∞ R −∞ 0 q 2 π 0 +∞ R +∞ R +∞ R −∞ 0 0 α+iu 2 2 (α+iu) +(x−v+y) = Fc sin(yt) sin(yv)e−(α+iu)t f (u)g(v)h(t)dudvdt −  +∞ R cos(ωx) 0 h α+iu α+iu 2 2− 2 2 (α+iu) +(x+v−y) (α+iu) +(x+v+y) α+iu 2 2 (α+iu) +(x−v−y) i o dω f (u)g(v)h(t)dudvdydt δ  (f, g, h) (y). ∗ Ta chứng minh xong định lý. Định lý 1.3 √ Giả thiết f ∈ L( α2 + x2 , R) và g, h, ϕ ∈ L(R+ ) khi đó đa chập γ γ (1.1) thỏa mãn các đẳng thức sau: a)(ϕ ∗(∗ (f, g, h)) = g ∗(∗ (f,ϕ, h)) 1 1 γ γ b)(ϕ ∗(∗ (f, g, h)) = h ∗(∗ (f, g,ϕ)) 1 1 γ γ c)(ϕ ∗ (∗ (f, g, h)) = ∗ (f, (g ∗ ϕ), h) 1 Fc γ γ d)(ϕ ∗ (∗ (f, g, h)) = ∗ (f, g, (h ∗ ϕ)) 1 Fc γ Ở đây đa chập ∗(...) được xác định từ (1.1) các tích chập (... ∗ ...), Fc (... ∗ ...) được xác định trong [7] 1 Chứng minh: Chứng minh a) Thật vậy từ các đẳng thức nhân tử hóa của tích chập (... ∗ ...), (... ∗ ...) và đa chập (1.1) ta có: Fc 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 11 h i hγ γ Fs ϕ ∗ (∗(f, g, h) (y)=(Fs ϕ)(y).Fc ∗(f, g, h )] (y) 1 =(Fs ϕ)(y)e−y (F f )(y)(Fs g)(y)(Fs h)(y) = (Fs g)(y)e−y (F f )(y)(Fs ϕ)(y)(Fs h)(y) = (Fs g)(y)Fc (δ∗ (f, ϕ, h)(y) γ = Fs [g ∗(∗(f, ϕ, h)(y), ∀y > 0. 1     γ γ Từ đây suy ra ϕ ∗(∗(f, g, h) = h ∗(∗(f, ϕ, h) 1 1 Chứng minh b) tương tự như chứng minh a) Bây giờ ta chứng minh c) Từ các đẳng thức nhân tử hóa của tích chập (... ∗ ...) trong [7] và đa chập (1.1) ta nhận được: Fc  Fc   γ  ϕ ∗ (∗ (f, g, h)) (y) = (Fc ϕ)(y) Fc (∗ (f, g, h) (y) γ Fc = (Fc ϕ)(y).e−αy (F f )(y)(Fs g)(y)(Fs h)(y) = e−αy (F f )(y).Fs (g ∗ ϕ)(y)(Fs h)(y) 1 i hγ = Fc ∗(f, (g ∗ ϕ), h) (y),∀y > 0. 1 γ γ Do đó ta nhận được : (ϕ ∗ (∗ (f, g, h)) = ∗ (f, (g ∗ ϕ), h) Fc 1 Chứng minh d) tương tự như chứng minh c) Ta chứng minh xong định lý. Định lý 1.4 √ Giả thiết f ∈ L( α2 + x2 , R) và g, h ∈ L(R+ ) khi đó đa chập (1.1) liên hệ với tích chập đã biết như sau:   Z+∞ Z+∞ γ 1 ∗ (f, g, h)(x) = f (u)h(y) k(u, v) ∗ g(v).signv (x + 1)dydu 2π F −∞ 0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 12   Z+∞ Z+∞ 1 − f (u)h(y) k(u1 , v) ∗ g(|v|).signv (x − 1)dudy, x > 0 2π F −∞ 0 Ở đây k(u, v) = α+iu 2 (α+iu) +v 2 được xác định bởi (1.1) tích chập (... ∗ ...) F được xác định trong [7],[13] Chứng minh : Từ (1.1), khi đó x >0 ta có: Z+∞ Z+∞ Z+∞ 1 α + iu √ 2 2π 2π (α + iu) + (x − 1 − v)2 −∞ 0 0  α + iu − f (u)g(v)h(y)dudvdy 2 2 (α + iu) + (x − 1 + v) Z+∞ Z+∞ Z+∞ α + iu 1 = √ f (u)h(y)g(|v|)dud(−v)dy 2 2π 2π (α + iu) + (x − 1 − v)2 − 1 √ 2π 2π = − −∞ 0 0 Z+∞ Z+∞ Z+∞ (α + iu)2 + (x − 1 − v)2 (α + iu)(−signv)f (u)h(v)g(|v|)dud(v)dy 2π 2π 1 √ 1 √ −∞ 0 −∞ Z+∞ Z+∞ Z+∞ (α + iu)signv (α + iu)2 + (x − 1 − v)2 −∞ 0 0 Z+∞ Z+∞ Z+∞ 2π 2π 1 =− Q 2 f (u)h(y)g(|v|)dudvdy −∞ 0 0 Z+∞ Z+∞ Z+∞ 1 √ 2π 2π =− (α + iu)signv −∞ 0 −∞ f (u)h(y)g(|v|)dudvdy (α + iu)signv (α + iu)2 + (x − 1 − v)2 f (u)h(y)g(|v|)dudvdy   Z+∞ Z+∞ f (u)h(y) k(u, v) ∗ g(|v|)signv (x − 1)dudy, F −∞ 0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.3) 13 Mặt khác ta có: Z+∞ Z+∞ Z+∞ 1 √ 2π 2π 1 √ = + −∞ 0  α + iu 2π 2π −∞ 0 −∞ 2π 2π α + iu (α + iu)2 + (x + 1 − v)2 −∞ 0 f (u)h(y)g(|v|)dvdudy (α + iu)signv (α + iu)2 + (x + 1 − v)2 f (u)g(|v|)h(y)dvdudy 0 Z+∞ Z+∞ Z+∞ 2π 2π f (u)h(y)g(|v|)dudyd(−v) 0 Z+∞ Z+∞ Z+∞ 1 √ f (u)g(v)h(y)dudvdy (α + iu)2 + (x + 1 − v)2 Z+∞ Z+∞ Z+∞ 1 √ 1 √ 0 (α + iu)2 + (x + 1 + v)2 Z+∞ Z+∞ Z+∞ α + iu 2π 2π − (α + iu)2 + (x + 1 − v)2 −∞ 0 − = α + iu −∞ 0 −∞ (α + iu)signv (α + iu)2 + (x + 1 − v)2 f (u)g(|v|)h(y)dudvdy Z+∞ Z+∞ 1 f (u)h(y) [k(u, v)∗F g(|v|)signv] (x + 1)dudy, = 2π (1.4) −∞ 0 Từ (1.3) và (1.4) ta nhận được : 1 ∗ (f, g, h)(x) = Q 2 γ   Z+∞ Z+∞ f (u)h(y) k(u, v) ∗ g(v).signv (x + 1)dydu F −∞ 0 Z+∞ Z+∞ 1 − Q f (u)h(y) [k(u1 , v)∗F g(|v|).signv] (x − 1)dudy, x > 0 2 −∞ 0 Định lý được chứng minh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 Định lý 1.5 (Định lý kiểu Titchmarch) Giả sử f ∈ L(eδ|x| , R) với δ > 0 và g, h ∈ L(R+ ) γ Nên ∗(f, g, h)(x) ≡ 0 với mọi x >0 thì hoặc f(x) = 0 hoặc h(x) = 0 hoặc g(x) =0 với mọi x>0 Chứng minh: γ hγ i Từ giả thiết ∗(f, g, h)(x)= 0 ∀x > 0 dẫn tới Fc ∗(f, g, h) (y)= 0, ∀y > 0 Do định lí (2.1) ta có: e−αy (F f )(y)(Fs g)(y)(Fs h)(y) = 0, ∀y > 0 Do đó : (F f )(y)(Fs g)(y)(Fs h)(y) = 0, ∀y > 0 Vì (F f )(y), (Fs g)(y)(Fs h)(y) là giải tích với mọi y>0 nên từ (2.5) ta có (F f )(y) = 0, ∀y > 0 hoặc (Fs g)(y) = 0, ∀y > 0 hoặc (Fs h)(y) = 0, ∀y > 0 Điều đó dẫn tới f(x)=0 với mọi x>0 hoặc g(x)=0 với mọi x>0 hoặc h(x)=0 với mọi x>0. Ta chứng minh xong định lý. Định nghĩa 1.6 √ i) Chuẩn trong không gian L( α2 + x2 , R) được xác định bởi: kf kL(√α2 +x2 ,R) Z+∞p =π α2 + x2 |f (x)|dx (1.5) −∞ ii) Chuẩn trong không gian L(R+ ) được xác định bởi kf kL(R+ ) Z+∞ =π |f (x)|dx 0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.6) 15 √ Hệ quả 1.7 : Giả thiết f ∈ L( α2 + x2 , R) và g, h ∈ L(R+ ) khi đó bất đẳng thức sau được thỏa mãn: γ ∗(f, g, h) √ 2 2 ≤ kf kL(√α2 +x2 ,R) .kgkL(R+ ) .khkL(R+ ) L( α +x ,R) Chứng minh: Từ chứng minh định lý 1.1 , 1.5 và 1.6 ta có:  +∞ +∞ +∞ +∞ R  γ R √ R R  2 2 α + x f (u)du. |g(v)|dv. |h(y)|dy ∗(f, g, h)(x)dx ≤ π −∞ 0 0 0 Do đó γ ∗(f, g, h) 1.4 L(R+ ) ≤ kf kL(√α2 +x2 ,R) kgkL(R+ ) khkL(R+ ) Áp dụng giải hệ phương trình tích phân Không nhiều hệ phương trình tích phân loại 2 có thể giải được nghiệm ở dạng đóng . Đa chập (1.1) được xây dưng ở đây cho phép ta nhận được nghiệm ở dạng đóng cho một lớp hệ phương trình tích phân. Bổ đề 1.7. Tích chập suy rông được giới hạn bởi Sneddon năm 1951 trong [7] có thể biểu diễn ở dạng sau : 1 (f ∗ g)(x) = √ 1 2π Z+∞ g(y) [f (x + y) + sign(x − y)f (|x − y|)] dy, x > 0 0 (1.7) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn