Tài liệu Nghiên cứu ảnh hưởng của môi trường không đồng nhất lên quá trình lan truyền soliton trong sợi quang luận văn thạc sỹ vật lý

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHẠM VÌ DÂN NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA MÔI TRƯỜNG KHÔNG ĐỒNG NHẤT LÊN QUÁ TRÌNH LAN TRUYỀN SOLITON TRONG SỢI QUANG LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ VINH, 2012 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHẠM VÌ DÂN NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA MÔI TRƯỜNG KHÔNG ĐỒNG NHẤT LÊN QUÁ TRÌNH LAN TRUYỀN SOLITON TRONG SỢI QUANG LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ Chuyên ngành: QUANG HỌC Mã số: 60.44.01.09 Người hướng dẫn khoa học PGS.TS. VŨ NGỌC SÁU VINH, 2012 3 Lời cảm ơn Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với PGS TS.Vũ Ngọc Sáu đã hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo chuyên ngành Quang học trường Đại học Vinh đã giảng dạy và chỉ dẫn tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đối với gia đình và bạn bè đã động viên, giúp đỡ để tôi hoàn thành luận văn này. Vinh, tháng 8 năm 2012. Tác giả Phạm Vì Dân 4 Mục lục Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục 1 Danh mục các cụm từ viết tắt 3 Danh mục các hình vẽ 4 Mở đầu 6 Chương 1 Sự lan truyền xung ánh sáng trong môi trường phi tuyến 9 1.1 Phương trình lan truyền xung trong môi trường phi tuyến.................... 9 1.1.1 Sự phân cực phi tuyến của môi trường.........................................9 1.1.2 Phương trình lan truyền của các xung ngắn ..............................10 1.2 Soliton quang học.................................................................................13 1.2.1 Cơ sở xuất hiện soliton quang học.............................................13 1.2.2 Nghiệm soliton cơ bản của phương trình NLS...........................15 1.2.3 nhất Sự truyền soliton trong môi trường phi tuyến không đồng 18 Chương 2 Ảnh hưởng của môi trường không đồng nhất lên quá trình lan truyền soliton trong sợi quang....................................................................21 2.1 Mô hình truyền sóng.............................................................................21 2.2 Các phương pháp tính...........................................................................25 2.2.1 Phương pháp biến đổi tán xạ ngược..............................25 2.2.2 Phương pháp tách bước Fourier.................................................27 2.3 Chi tiết tính toán ..................................................................................31 5 Chương 3 Một số kết quả khảo sát ảnh hưởng của môi trường không đồng nhất lên các soliton trong sợi quang........................................................32 3.1 Sự truyền qua vùng không đồng nhất ..................................................32 3.2 Sự phụ thuộc vào độ không đồng nhất ε .............................................34 3.3 Sự phụ thuộc vào chiều dài L của miền không đồng nhất....................39 Kết luận 55 Tài liệu tham khảo 57 6 DANH MỤC CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT FFT Finite Fourier Phép biến đổi Fourier nhanh GVD Transform Group Velocity Tán sắc vận tốc nhóm IST Dispersion Inverse Scattering Phép biến đổi tán xạ ngược NLSE Transform Nonlinear Schrodinger Phương trình Schrodinger phi SPM SSF Equation. Self Phase Modulation Split Step Fourier tuyến Tự biến điệu pha Phương pháp tách bước SSSF Symmetrized Split Step Fourier Phương pháp tách bước VNLSE Fourier Variable-coefficient Fourier đối xứng Phương trình Schrodinger phi Nonlinear Schrodinger tuyến hệ số biến thiên. Equation. 7 DANH MỤC HÌNH VẼ Stt Tên hình Trang 1 Hình 1.1. Dáng điệu của soliton bậc N ở các thời điểm truyền 20 t = 0, 0.4 và 0.8. 2 Hình 2.1. Phối cảnh của soliton tới trên sợi quang học với 23 vùng bất đồng nhất có chiều dài L 3 Hình 2.2. Giản đồ minh họa của phương pháp SSF bậc nhất. 28 4 Hình 2.3. Giản đồ minh họa của phương pháp SSSF. 28 5 Hình 3.1. Sự tiến triển theo không–thời gian của |u|. 33 6 Hình 3.2. Sự phụ thuộc của biên độ sóng truyền qua u cho bởi 35 phương trình (3.1) theo độ không đồng nhất  7 Hình 3.3. Sự tiến triển của sóng trong vùng III ở các mức độ 37 không đồng nhất   0.85 ,   1.5 và   2.0 8 Hình 3.4. Hai đại lượng bảo toàn E1 và E2 được tính từ 38 phương trình (2.8) và (2.9) độc lập với  9 Hình 3.5. Giá trị E3 của sóng đã truyền qua cho bởi phương 39 trình (2.10) phụ thuộc vào  10 Hình 3.6. Sự phụ thuộc của biên độ sóng truyền qua u theo 40 chiều dài L của miền không đồng nhất 11 Hình 3.7. Giá trị E3 của sóng đã truyền qua cho bởi phương 41 trình (2.10) phụ thuộc vào L 12 Hình 3.8. Sự phụ thuộc của các thông số (j, j) của soliton đã 42 truyền qua vào chiều dài L của miền không đồng nhất 13 Hình 3.9. Sóng truyền qua vùng II (a) và vùng III (b) ở trường hợp L = 2. 44 8 14 Hình 3.10. Sóng truyền qua vùng II (a) và vùng III (b) ở 45 trường hợp L = 10. 15 Hình 3.11. Sóng truyền qua vùng II (a) và vùng III (b) ở 47 trường hợp L = 15. 16 Hình 3.12. Sóng truyền qua vùng II (a) và vùng III (b) ở 48 trường hợp L = 20. 17 Hình 3.13. Dáng điệu của sóng tại các vị trí   L  146 với L 49 = 2, 10, 15, 20. 18 Hình 3.14. Sóng truyền qua vùng III ở trường hợp (a) L = 26, 50 (b) L = 31 và (c) L = 36. 19 Hình 3.15. Sóng truyền qua vùng III ở trường hợp  = 0.5 và 52 (a) L = 26, (b) L = 31 và (c) L = 36. 20 Hình 3.16. Sóng truyền qua vùng III ở trường hợp  = 2.0 và (a) L = 2, (b) L = 26, (c) L = 36 và (d) L = 50. 54 9 Mở đầu Trong các nghiên cứu và ứng dụng truyền tin qua sợi quang học, việc truyền dẫn các soliton được đặc biệt quan tâm bởi nó là một loại tín hiệu ổn định mà được tạo ra từ sự cân bằng giữa các hiệu ứng phi tuyến (SPM) với hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm (GVD) trong môi trường tán sắc dị thường. Trong các ứng dụng thực tế, có thể có những yêu cầu tạo ra một số soliton bất kỳ từ một loại soliton ban đầu hoặc yêu cầu biết được sự ảnh hưởng của các môi trường truyền tin khác nhau lên sự truyền dẫn các soliton. Môi trường bên trong lõi của các sợi quang thường là không đồng nhất do nhiều yếu tố gây ra mà hai yếu tố quan trọng nhất chính là sự thay đổi các thông số mạng khiến cho khoảng cách giữa các nguyên tử không còn đồng đều trong suốt chiều dài sợi quang và sự thay đổi cấu trúc hình học của sợi quang (thăng giáng về đường kính lõi chẳng hạn). Những yếu tố không đồng nhất này sẽ có những ảnh hưởng nhất định lên các hiệu ứng khác nhau như hiệu ứng tán sắc, hiệu ứng biến điệu pha… [21]. Do vậy việc nghiên cứu quá trình lan truyền của các sóng phi tuyến trong môi trường không đồng nhất là một vấn đề đang được quan tâm rất nhiều. Một nghiên cứu lý thuyết đầu tiên cho các yêu cầu này được thực hiện bởi Hasegawa [13] và Satsuma [19] bằng việc sử dụng phương pháp biến đổi tán xạ ngược (IST) của Zakharov [23], là một phương pháp đầy đủ và chính xác nhất, để giải phương trình phi tuyến Schrödinger (NLSE). Các tác giả này đã cho một số dạng cụ thể của soliton ban đầu truyền qua một môi trường đồng nhất. Họ nhận thấy rằng có sự xuất hiện thêm m các soliton mới mà chúng luôn liên kết với soliton ban đầu (các soliton có cùng vận tốc) và chúng được gọi chung là soliton liên kết bậc m. Gần đây, chúng tôi quan tâm đặc biệt đến một nghiên cứu lý thuyết của tác giả Kubota [17]. Tác giả đã thực hiện phương pháp số cho phương pháp 10 IST để khảo sát sự truyền soliton qua các môi trường không đồng nhất. Các kết quả cho thấy rằng, sau khi một soliton đơn đi qua môi trường không đồng nhất nhất định, ngoài sự xuất hiện các soliton liên kết bậc hai tĩnh, còn xuất hiện thêm các soliton tán xạ không tham gia liên kết với soliton ban đầu.Thêm vào đó, đại lượng bảo toàn Hamiltonian của NLSE không còn được bảo toàn mà nó phụ thuộc vào mức độ không đồng nhất và kích thước của vùng không đồng nhất. Xuất phát từ các nhu cầu và sự quan tâm nêu trên, chúng tôi đã chọn đề tài: NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA MÔI TRƯỜNG KHÔNG ĐỒNG NHẤT LÊN QUÁ TRÌNH LAN TRUYỀN SOLITON TRONG SỢI QUANG. Ở thời điểm hiện tại, việc thực hiện các tính toán số của phương pháp IST cho môi trường không đồng nhất rất phức tạp về mặt toán học mà chúng tôi chưa có điều kiện thực hiện.Tuy nhiên từ các kết quả của Satsuma [19] và Kubota [17], chúng tôi nhận thấy rằng nếu cho các sóng đã truyền qua vùng không đồng nhất được tiếp tục truyền trong vùng đồng nhất, thì có thể quan sát một cách bán định lượng sự xuất hiện và tiến triển của các soliton mới. Vì vậy, ở nghiên cứu này chúng tôi sẽ sử dụng một phương pháp số đơn giản hơn, phương pháp tách bước Fourier đối xứng (SSSF), để giải NLSE cho cả môi trường sợi quang đồng nhất và không đồng nhất. Một số các kết quả tính toán và nhận định định tính trên các độ lớn của sóng truyền (dáng điệu của sóng) được so sánh phù hợp rất tốt với các kết quả tính toán của Kubota [17]. Ngoài ra, chúng tôi thực hiện thêm một số tính toán để làm rõ vai trò của mức độ không đồng nhất và kích thước của vùng không đồng nhất lên sự truyền sóng. 11 Trên cơ sở đó nội dung chính của đề tài sẽ được trình bày trong ba chương theo bố cục sau. Chương 1: Sự lan truyền xung ánh sáng trong môi trường phi tuyến Trong chương này chúng tôi sẽ dẫn ra phương trình lan truyền của xung quang học trong sợi quang đồng nhất; cơ sở hình thành soliton quang học; nghiệm soliton cơ bản của NLSE đồng thời dẫn ra một số phương pháp khảo sát quá trình truyền soliton trong môi trường phi tuyến không đồng nhất. Chương 2: Ảnh hưởng của môi trường không đồng nhất lên quá trình lan truyền soliton trong sợi quang. Trong chương này chúng tôi sẽ giới thiệu mô hình truyền sóng và hai phương pháp – tán xạ ngược và tách bước Fourier đối xứng - để giải phương trình Schrodinger phi tuyến hệ số biến thiên (VNLSE) cũng như đưa ra những nhận định so sánh kết quả nhận được từ hai phương pháp trên. Chương 3: Một số kết quả khảo sát ảnh hưởng của môi trường không đồng nhất lên các soliton trong sợi quang. Các kết quả tính toán và bàn luận sẽ được trình bày trong chương này. Thông qua việc sử dụng phương pháp SSSF, chúng tôi đã tính toán một cách độc lập ảnh hưởng của độ không đồng nhất  và chiều dài L của miền không đồng nhất lên quá trình truyền của một soliton đơn qua miền không đồng nhất trong sợi quang ứng với nhiều trường hợp khác nhau. Chương 1 12 Sự lan truyền xung ánh sáng trong môi trường phi tuyến 1.1 Phương trình lan truyền xung trong môi trường phi tuyến 1.1.1 Sự phân cực phi tuyến của môi trường Khi trường quang học lan truyền qua một môi trường điện môi nào đó thì trong chất điện môi xuất hiện các véctơ phân cực. Sự đáp ứng của bất kì chất điện môi nào với trường quang học có cường độ lớn đều trở nên phi tuyến. Các sợi quang đều được chế tạo từ hỗn hợp ôxít–silic là một chất điện môi. Khi xung quang học có công suất lớn lan truyền trong sợi quang, véctơ phân cực toàn phần P sẽ trở nên phi tuyến và liên hệ với véctơ cường độ điện trường E theo [3, 5, 9]:   P   0  (1) E   ( 2 ) EE   (3) EEE  ... Trong đó  0 là hệ số điện môi trong chân không,  ( j) (1.1) là độ cảm điện môi bậc j.Độ cảm điện môi tuyến tính  (1) biểu diễn phần đóng góp lớn nhất của véctơ phân cực P, và các hiệu ứng của nó thể hiện qua chiết suất phụ thuộc vào tần số n ( ) .  ( 2 ) mô tả các hiệu ứng phi tuyến bậc hai như phát tần số tổng và phát hoà âm bậc hai. Sợi quang chế tạo từ ôxit–silic do có cấu tạo đối xứng tâm của các tinh thể không biểu lộ các hiệu ứng này. Sự đóng góp phi tuyến lớn nhất của phần phi tuyến trong véctơ phân cực P là của  (3) . Nó thể hiện qua các hiệu ứng như hiệu ứng phát hoà âm bậc ba, hiệu ứng trộn bốn sóng, hiệu ứng tự biến điệu pha (SPM). Tính chất phi tuyến bậc ba là kết quả của sự phụ thuộc vào cường độ của chiết suất: [3, 5] ~ n ( , E 2 )  n( )  n2 E 2 (1.2) 13 Trong đó là chiết suất tuyến tính (chiết suất thường): n 2 ( )  1   (1) (1.3) Và n2 là chiết suất phi tuyến cho bởi: n2   3 Re  (3) 8n  (1.4) 1.1.2 Phương trình lan truyền của các xung ngắn Các xung quang học được gọi là xung ngắn khi độ rộng xung của nó cỡ pico–giây. Trong giới hạn cổ điển, sự lan truyền của các xung trong sợi quang có thể mô tả một cách toán học bằng hệ phương trình Maxwell. B t B rot H  j  t divD  ρ rot E   (1.5) divB  0 Trong đó E và H tương ứng là véctơ cường độ điện trường và từ trường, D và B là véctơ cảm ứng điện và cảm ứng từ, j là véctơ mật độ dòng điện dẫn và ρ là mật độ điện tích tự do. Ta sẽ đưa vào một số giả thiết sau nhằm đưa ra phương trình lan truyền xung một cách đơn giản hoá. ° Môi trường không có điện tích tự do (j = 0; ρ = 0), đó là phép gần đúng tốt cho sợi quang. ° Môi trường không có từ tính (M = 0), sợi quang là một môi trường như vậy. ° Bước sóng của trường quang học lan truyền trong sợi quang là xa miền cộng hưởng của môi trường (0,5 – 2μm). ° Phép xấp xỉ lưỡng cực là hợp lệ, do đó các quá trình thông số bậc hai như trộn ba sóng và phát hoà âm bậc hai được bỏ qua. Trong thực nghiệm chúng vẫn xẩy ra vì các hiệu ứng tứ cực và lưỡng cực từ, tuy nhiên chúng là rất nhỏ. 14 ° Môi trường đáp ứng với trường quang học một cách cục bộ (địa phương), điều đó là hợp lệ cho phép xấp xỉ của phép chiếu. ° Véctơ phân cực phi tuyến PNL có thể xem như là một nhiễu loạn nhỏ so với véctơ phân cực toàn phần P . ° Chỉ có hiệu ứng phi tuyến bậc ba là cần thiết phải đặt vào phần mô tả hiệu ứng phi tuyến. Điều đó hợp lệ vì các hiệu ứng bậc hai và bậc bốn (bậc chẵn) là không có do cấu tạo đối xứng tâm của tinh thể ôxit–silic. Còn các hiệu ứng bậc năm (bậc lẻ) và cao hơn nữa là rất nhỏ so với hiệu ứng bậc ba và có thể bỏ qua. ° Phần ảo của hệ số điện môi  ( ) (phần ảo của hệ số điện môi biểu diễn sự hấp thụ năng lượng của môi trường) là nhỏ so với phần thực. Nghĩa là sự hao phí trên sợi quang là nhỏ, điều đó là một phép xấp xỉ tốt khi bước sóng của xung quang học là xa miền bước sóng cộng hưởng của sợi quang. ° Bước sóng của trường quang học phải lớn hơn bước sóng giới hạn của sợi quang sao cho điều kiện truyền đơn mode được thoả mãn. ° Sự đáp ứng phi tuyến của môi trường được coi là tức thời. Phép xấp xỉ này là hợp lệ cho các xung có độ rộng lớn hơn cỡ 70ps. ° Trường quang học là phân cực phẳng (thẳng) và giữ nguyên dọc theo chiều dài của sợi quang. Chẳng hạn véctơ cường độ điện trường E dao dộng theo phương xác định là trục x (phương phân cực của trường quang học) và phương lan truyền là trục z trùng với trục sợi quang. Do đó ta có thể đưa bài toán ba chiều về bài toán một chiều. ° Trường quang học thoả mãn điều kiện chuẩn đơn sắc, nghĩa là trường là tập hợp các sóng phẳng đơn sắc với tần số trung tâm là 0 và độ rộng phổ  thoả mãn   0  1 . Điều đó cho phép áp dụng phép xấp xỉ hàm bao biến đổi chậm. Ta có thể biểu diễn xung dưới dạng trường có đường bao biến đổi chậm như sau: [3, 5] 15 E( r , t )  e x E ( z , t )  A( z , t ) 1 e x  A( z , t ) exp  i  0 t   z    cc 2 (1.6) là hàm bao phức biến thiên chậm theo thời gian (trong một chu kì dao động của sóng mang hàm bao biến thiên không đáng kể). cc là liên hợp phức của A( z , t ) exp  i  0t   z  . A( z , t ) và A( z , t ) 2 tương ứng là độ lớn và cường độ của xung – đại lượng trong thực tế ta có thể đo được. Sự lan truyền của hàm bao biến thiên chậm A( z , t ) của xung quang học được mô tả bởi phương trình vi phân đạo hàm riêng sau: [3, 5] A A i 2  2 A 2  1   i A A z t 2 t 2 Trong đó 1  2       0 và 2  2   0 n20 cAeff vg  1 1 (1.7) là vận tốc nhóm của xung. là độ tán sắc vận tốc nhóm. là hệ số phi tuyến, Aeff là tiết diện hiệu dụng của sợi quang, 0 là tần số góc trung tâm của xung. Để đơn giản ta xét trong hệ toạ độ chuyển động cùng với xung (chuyển động với vận tốc bằng vận tốc nhóm vg ) bằng cách đưa vào biến: T t  z vg bằng cách đổi biến này phương trình (1.7) được đưa về phương trình gọi là phương trình Schrödinger phi tuyến (NLSE): A i 2  2 A 2   i A A 2 z 2 T (1.8) Phương trình trên mô tả quá trình lan truyền của các xung ngắn trong sợi quang, số hạng thứ hai ở vế trái mô tả hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm (GVD), còn số hạng ở vế phải mô tả hiệu ứng tự biến điệu pha (SPM). Trong sự cân 16 bằng giữa hiệu ứng GVD và hiệu ứng SPM phương trình (1.8) sẽ cho nghiệm soliton. 1.2 Soliton quang học 1.2.1 Cơ sở xuất hiện soliton quang học Khi xung quang học lan truyền trong môi trường tán sắc thì dạng của nó liên tục thay đổi do các thành phần tần số khác nhau lan truyền với các vận tốc nhóm khác nhau. Khi môi trường là phi tuyến thì quá trình SPM sẽ làm pha cũng như tần số của xung thay đổi. Quan hệ giữa hiệu ứng GVD và hiệu ứng SPM sẽ làm cho xung dãn ra hoặc co lại phụ thuộc vào độ lớn và chiều của hai hiệu ứng trên. Trong một điều kiện nhất định thì dạng ban đầu của xung sẽ giữ nguyên không đổi trong quá trình lan truyền. Điều này xảy ra khi hiệu ứng SPM và hiệu ứng GVD bù trừ cho nhau. Các xung ổn định như vậy gọi là các sóng cô đơn hay còn gọi là soliton. Các soliton quang học là các sóng cô đơn đặc biệt. Chúng là các sóng trực giao theo nghĩa khi hai sóng lan truyền qua nhau trong môi trường thì đường bao biên độ không đổi mà chỉ có sự dịch pha do quá trình tương tác. Do vậy nó vẫn tiếp tục lan truyền như thực tại độc lập [1]. Xét xung Gauss đưa vào sợi quang với tần số trung tâm của xung là 0 và tần số này được giữ nguyên là hằng số trên toàn bộ xung (xung Gauss không chirp). Nếu xung này lan truyền qua sợi quang với hệ số tán sắc vận tốc nhóm  2  0 nó sẽ bị ảnh hưởng bởi hiệu ứng GVD. Do đó tần số ở phần đầu xung sẽ lớn hơn tần số ở phần đuôi xung. Các thành phần tần số lớn hơn sẽ lan truyền nhanh hơn một ít so với các thành phần tần số nhỏ hơn 17 do đó chúng sẽ đến cuối sợi quang trước. Kết quả là tín hiệu ta nhận được sẽ rộng hơn tín hiệu ban đầu và trên xung bị dịch tần. Bây giờ nếu giả thiết xung lan truyền trong môi trường phi tuyến không tán sắc. Khi đó xung sẽ bị ảnh hưởng của hiệu ứng GVD. Độ dịch tần của xung cho bởi  (T )    T2  2T Lhd exp  2   T  T02 LNL 0   (1.9) Độ dịch tần có giá trị âm ở phần đầu xung và có giá trị dương ở phần cuối của xung. Do đó tần số ở phần đầu xung sẽ bé hơn ở phần cuối xung. Xung lan truyền bị ảnh hưởng của mỗi hiệu ứng trên được mô tả bởi hình sau 0.75 0.5 0.25 0 -0.25 1 -0.5 GV ĐD SPM -0.75 0.5 0 1 -0.5 -3 -2 -1 0 1 2 3 0.5 -1 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 -0.5 -1 Trên thực tế xung lan truyền trong sợi quang chịu tác dụng đồng thời của -2 -1 0 1 2 cả hai hiệu ứng sẽ dẫn tới sự dịch chuyển tần số theo cả hai hướng đối diện nhau. Điều đó có thể tạo ra một xung sao cho hai hiệu ứng SPM và GVD cân bằng với nhau. Xét các thành phần tần số cao thì hiệu ứng GVD làm cho chúng lan truyền nhanh hơn trong khi hiệu ứng SPM làm giảm tốc độ lan truyền của chúng. Như vậy tổng hợp cả hai hiệu ứng sẽ là cho xung không thay đổi trong quá trình lan truyền. Xung có tính chất đặc biệt như vậy gọi là soliton thời gian. 18 1.2.2 Nghiệm soliton cơ bản của phương trình NLS Ta sẽ phi thứ nguyên hoá NLSE bằng cách đưa vào các biến không thứ nguyên: U A z T ;  ;  LD T0 P0 (1.10) Trong đó P0 là công suất đỉnh của xung, T0 là độ rộng xung, LD là chiều dài tán sắc. Sử dụng các biến trong (1.18) thì NLSE dễ dàng đưa về NLSE phi thứ nguyên sau: i U 1  2U 2  sgn(  2 )  N2U U  2  2 (1.11) Thông số N cho bởi: N LD P0T02  LNL 2 (1.12) Ta có thể khử được thông số N bằng cách đưa vào biến: u  NU  LD (1.13) Phương trình (1.19) có thể đưa về dạng NLSE chính tắc không thứ nguyên: i u 1  2u 2   u u0 2  2  (1.14) Trong (1.14) ta đã chọn sgn(  2 )  1 (xung lan truyền trong chế độ tán sắc dị thường). Giả thiết rằng NLSE có tồn tại nghiệm soliton và có dạng [1] u ( , )  V ( ) exp[i ( , )] (1.15) Trong đó V không phụ thuộc vào biến  để cho (1.15) biểu diễn soliton cơ bản (để thoả mãn dạng của nó giữ nguyên trong quá trình lan truyền). Pha  có thể phụ thuộc vào cả hai biến  và  . Thay (1.15) vào (1.14) rồi tách phần thực và phần ảo ta nhận được hai phương trình cho  và V 19 2  1  2V 1     i  V   2  3 V   V  V V  2 V 2   0  2  2 2     2        Phương trình trên tương đương với hệ hai phương trình sau 2 V   2 V 0    2 (1.16) 2  2V      V    2V  2V 3  0 2      (1.17) Từ phương trình (1.17) ta có 2  2V      V    2V 3  2V   2    Vế trái của phương trình trên chỉ phụ thuộc vào biến  nên để cân bằng  /   K hai vế thì   K   ( ) . . Trong đó K là một hằng số. Từ đó dễ dàng suy ra Nếu giả thiết rằng không có sự dịch chuyển tần số của xung trong quá trình lan truyền thì  /  0 hay   K do đó (1.17) có thể viết lại d 2V  2 KV  2V 3  0 2 d (1.18) Phương trình (1.18) có thể biến đổi về dạng d d  1  dV  2  2 1 4     KV  V   0 2   2  d    2  dV  2 4    KV  V  C  d  Sử dụng V ( 0)  1 , C  0 được các tìm được điều K 1 2 kiện (1.19) biên  lim V ( )  0 ;  lim  dV / d   0 và     và C  0 . Tích phân phương trình (1.19) với K 1 2 , 20   Sử dụng tích phân cơ bản  tìm được V ( )  sech( ) . dV V ( ) 1 (1.20) V 1V 2 dV V 1V 2   ln | V |  ln 1  1V 2  từ đó ta Kết quả cuối cùng ta tìm lại được dạng soliton cơ bản có dạng  1 i  2 u ( , )  V ( ) exp[i ( , )]  sec h( )exp (1.21) Trong phạm vi sợi quang học, (1.21) chỉ ra rằng nếu xung quang học có dạng secant – hyperbol, với độ rộng xung T0 và đỉnh công suất P0 được chọn sao cho N  1 (thoả mãn 1.12) được đưa vào sợi quang lí tưởng không có hao phí thì xung sẽ lan truyền mà không bị méo. Dạng của nó sẽ không thay đổi trên một độ dài tùy ý. Đặc tính này của soliton cơ bản dã làm cho chúng được ứng dụng rộng rãi trong các hệ thống thông tin quang. 1.2.3 Sự truyền soliton trong môi trường phi tuyến không đồng nhất Một cách tổng quát về mặt lý thuyết, việc khảo sát sự truyền soliton trong một môi trường phi tuyến, tán sắc dị thường và không tiêu hao tương ứng với việc tìm lời giải của VNLSE sau: i A 1 A 1 2 A 2 i  2  z   A A0 2 z vg t 2 t Các hệ số này có thể là một hàm phụ thuộc vào vị trí trên sợi quang. Đã có nhiều phương pháp giải tích được xây dựng để giải VNLSE, ví dụ như phương pháp IST [4], phương pháp song tuyến Hirota [14], biến đổi Bäcklund [8], biến đổi Darboux [7], khai triển Painlevé [20], vân vân …. Tuy nhiên, vẫn chưa có một phương pháp nào cung cấp lời giải tổng quát chính xác cho