Tài liệu Rèn luyện một số kỹ năng giải hệ phương trình cho học sinh thpt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC BÙI THỊ NHẦN RÈN LUYỆN MỘT SỐ KỸ NĂNG GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC SƠN LA, NĂM 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC BÙI THỊ NHẦN RÈN LUYỆN MỘT SỐ KỸ NĂNG GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học môn Toán KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn: ThS. Nguyễn Hải Lý SƠN LA, NĂM 2014 LỜI CẢM ƠN Khóa luận này của em hoàn thành với sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của thạc sĩ Nguyễn Hải Lý - Giảng viên khoa Toán - Lý - Tin, Trường Đại học Tây Bắc. Đồng thời em cũng nhận được sự giúp đỡ tận tình của các thầy cô giáo, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Lý - Tin. Phòng KH&QHQT, Trung tâm thư viện trường Đại học Tây Bắc, các thầy cô giáo trong trường THPT Đông Thụy Anh (Thái Thụy - Thái Bình), các em học sinh lớp 12A1, 12A2 (Trường THPT Đông Thụy Anh) cùng các bạn sinh viên K51 ĐHSP Toán. Nhân dịp này em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy cô giáo, các em học sinh đã nhiệt tình giúp đỡ em trong quá trình hoàn thành khóa luận. Với khóa luận này em mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện hơn. Em chân thành cảm ơn! Sơn La, tháng 05 năm 2014 Sinh viên Bùi Thị Nhần DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT THPT : Trung học phổ thông GV : Giáo viên HS : Học sinh MỤC LỤC MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 1. Lý do chọn khóa luận ..................................................................................... 1 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................. 1 2.1. Mục đích nghiên cứu ................................................................................... 1 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................... 1 3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu ...................................................................... 2 3.1. Đối tượng nghiên cứu .................................................................................. 2 3.2. Phạm vi nghiên cứu ..................................................................................... 2 4. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................ 2 4.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận ................................................................. 2 4.2. Phương pháp điều tra, quan sát................................................................... 2 4.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm ............................................................ 2 5. Cấu trúc của đề tài .......................................................................................... 2 CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ........................................ 3 1.1. Phương pháp dạy học .................................................................................. 3 1.2. Kỹ năng - kỹ năng giải bài tập toán ............................................................. 3 1.2.1. Đặc điểm của kỹ năng .............................................................................. 3 1.2.2. Các mức độ của kỹ năng ........................................................................... 4 1.2.3. Sự hình thành kỹ năng .............................................................................. 4 1.3. Mục đích, vai trò, ý nghĩa của bài tập toán trong trường phổ thông ............. 5 1.4. Nội dung hệ phương trình trong chương trình toán THPT ........................... 6 1.4.1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn .............................................................. 6 1.4.2. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn .......................................................... 8 1.4.3. Hệ phương trình đối xứng loại 1 ............................................................. 10 1.4.4. Hệ phương trình đối xứng loại 2 ............................................................. 10 1.4.5. Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai ......................................................... 11 1.4.6. Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai ........... 11 1.4.7. Hệ phương trình mũ, lôgarit, và hệ phương trình chứa căn thức .....................11 1.5. Thực trạng việc dạy và học hệ phương trình ở một số trường THPT ..................12 1.5.1. Điều tra đối với giáo viên ....................................................................... 12 1.5.2. Điều tra đối với học sinh ........................................................................ 13 CHƢƠNG 2: RÈN LUYỆN MỘT SỐ KỸ NĂNG GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH THPT .................................................................. 14 2.1. Giải pháp rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình ..................................... 14 2.2. Rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình cơ bản ......................................... 14 2.2.1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ............................................................ 14 2.2.2. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn ........................................................ 19 2.2.3. Hệ phương trình đối xứng loại 1 : .......................................................... 22 2.2.4. Hệ phương trình đối xứng loại 2 ............................................................. 26 2.2.5. Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai ......................................................... 30 2.2.6. Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai ........... 34 2.2.7. Hệ phương trình mũ ............................................................................... 37 2.2.8. Hệ phương trình lôgarit .......................................................................... 40 2.2.9. Hệ phương trình mũ và lôgarit ............................................................... 42 2.2.10. Hệ phương trình chứa căn thức ............................................................ 45 CHƢƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM .................................................. 48 3.1. Mục đích thực nghiệm ............................................................................... 48 3.2. Phương pháp thực nghiệm ......................................................................... 48 3.3. Nội dung thực nghiệm ............................................................................... 48 3.4. Đối tượng thực nghiệm .............................................................................. 48 3.5. Tổ chức thực nghiệm ................................................................................. 48 3.6. Kết quả thực nghiệm ................................................................................. 48 3.7. Kết quả rút ra từ thực nghiệm .................................................................... 49 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................. 51 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn khóa luận Trong giai đoạn hiện nay khi khoa học công nghệ có những bước tiến nhảy vọt, việc đào tạo con người không chỉ nắm vững kiến thức mà còn có năng lực sáng tạo, có ý nghĩa quan trọng đối với tiềm lực khoa học kỹ thuật của đất nước. Toán học - một khoa học có nhiều ứng dụng trong thực tiễn cũng như đối với các ngành khoa học khác. Nó ra đời và ngày càng phát triển thâm nhập vào hầu hết các lĩnh vực khoa học và đời sống. Hệ phương trình là một trong những nội dung của chương trình toán phổ thông, nó rất đa dạng và phong phú, để giải được chúng đòi hỏi học sinh phải nắm được các dạng, các hệ phương trình cơ bản và điều quan trọng nhất là phải có kỹ năng giải hệ phương trình. Rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình vừa là mục đích, vừa là phương tiện cho học sinh nắm được kiến thức cơ bản và có kỹ năng giải tốt các dạng toán liên quan đến hệ phương trình đồng thời rèn luyện kỹ năng phán đoán, lập luận, suy luận toán học và rèn luyện các phẩm chất: Tư duy linh hoạt, độc lập sáng tạo, tính cẩn thận, chính xác góp phần phát triển năng lực toán cho học sinh. Từ những lý do trên tôi lựa chọn nghiên cứu khóa luận: “Rèn luyện một số kỹ năng giải hệ phƣơng trình cho học sinh THPT”. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu việc rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình cho học sinh THPT góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học giải hệ phương trình. 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu cơ sở lí luận và thực tiễn liên quan đến khóa luận. - Tìm hiểu về thực trạng việc dạy học rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình cho học sinh THPT. - Đề xuất giải pháp sư phạm góp phần rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình cho học sinh THPT. 1 - Thực nghiệm sư phạm nhằm bước đầu đánh giá tính khả thi của biện pháp đã đề xuất. 3. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu 3.1. Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu việc rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình trong chương trình toán THPT. 3.2. Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu kỹ năng giải hệ phương trình cho học sinh lớp 10, lớp 12 THPT. 4. Phƣơng pháp nghiên cứu 4.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận Nghiên cứu, tìm hiểu và phân tích tài liệu có liên quan. 4.2. Phương pháp điều tra, quan sát Nghiên cứu, tìm hiểu việc rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình cho học sinh ở một số trường THPT. 4.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm Đánh giá tính khả thi của biện pháp đã đề xuất. 5. Cấu trúc của đề tài Ngoài phần mở đầu, mục lục, danh mục các tài liệu tham khảo, kết luận thì khóa luận gồm có ba chương: Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn. Chương 2: Rèn luyện một số kỹ năng giải hệ phương trình cho học sinh THPT. Chương 3: Thực nghiệm sư phạm. 2 CHƢƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Phƣơng pháp dạy học Phương pháp là con đường, là cách thức để chủ thể thực hiện một hoạt động nào đó nhằm đạt được mục tiêu nhất định. Phương pháp dạy học là cách thức hoạt động của thầy và trò trong mối liên hệ qua lại, thầy giữ vai trò chủ đạo, điều khiển, chỉ đạo, hướng dẫn, tổ chức các hoạt động học tập của trò một cách tự giác, tích cực, độc lập, chủ động, sáng tạo nhằm đạt các mục tiêu dạy học đề ra. 1.2. Kỹ năng - kỹ năng giải bài tập toán Kỹ năng là khả năng của chủ thể thực hiện thuần thục một hay một chuỗi hành động trên cơ sở hiểu biết (kiến thức hoặc kinh nghiệm) nhằm tạo ra kết quả mong đợi. Trong toán học: “Kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được”. Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng các tri thức toán học để giải các bài tập toán (bằng suy luận, chứng minh). 1.2.1. Đặc điểm của kỹ năng Khái niệm kỹ năng trình bày ở trên chứa đựng những đặc điểm sau: - Bất cứ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết đó là kiến thức. Bởi vì, cấu trúc của kỹ năng là: Hiểu mục đích - biết cách đi đến kết quả - hiểu những điều kiện để triển khai kiến thức đó. - Kiến thức là cơ sở của kỹ năng, khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các thuộc tính bản chất của đối tượng, được thực nghiệm trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức với tư cách là công cụ của hành động. Vì vậy, cần hướng vào việc vận dụng những tri thức và rèn luyện kỹ năng, vì kỹ năng chỉ có thể được hình thành và phát triển trong hoạt động. - Kỹ năng giải toán phải dựa trên cơ sở tri thức toán học, bao gồm: Kiến thức, kỹ năng, phương pháp. 3 1.2.2. Các mức độ của kỹ năng Trong toán học có thể chia làm hai nhóm kỹ năng giải bài tập toán: - Kỹ năng giải bài tập toán học cơ bản. - Kỹ năng giải bài tập toán học tổng hợp. Trong mỗi nhóm lại có ba mức độ khác nhau: + Mức độ biết làm: Nắm được quy trình giải một loại bài tập toán cơ bản nào đó tương tự như bài tập mẫu nhưng chưa nhanh. + Mức độ thành thạo: Giải nhanh, thành thạo, chính xác theo cách giải như bài tập mẫu. + Mức độ mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo: Đưa ra được cách giải ngắn gọn, độc đáo khác lời giải mẫu do biết vận dụng vốn kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo không chỉ với những bài toán cơ bản mà với cả bài toán mới. 1.2.3. Sự hình thành kỹ năng Sự hình thành kỹ năng là làm cho học sinh nắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm biến đổi và làm sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong các bài tập. Việc truyền thụ tri thức, rèn luyện kỹ năng là nhiệm vụ quan trọng hàng đầu của bộ môn toán trong nhà trường phổ thông. Rèn luyện kỹ năng toán học và kỹ năng vận dụng toán học vào thực tiễn mà trước tiên là kỹ năng giải toán cần đạt được các yêu cầu sau: 1) Giúp học sinh hình thành nắm vững những mạch kiến thức cơ bản xuyên suốt chương trình phổ thông. 2) Giúp học sinh phát triển các kỹ năng trí tuệ, cụ thể là: - Tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác, trong đó có tư duy thuật toán. - Khả năng suy đoán, tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng không gian. - Những thao tác tư duy như: Phân tích, tổng hợp, khái quát hóa. - Các phẩm chất trí tuệ như tư duy độc lập, tư duy linh hoạt và sáng tạo. 3) Coi trọng việc rèn luyện kỹ năng tính toán trong tất cả giờ học toán, gắn với việc rèn luyện các kỹ năng thực hành như: Tính toán, biến đổi, vẽ hình, vẽ đồ thị. 4 4) Giúp học sinh rèn luyện phẩm chất của người lao động mới như: Tính cẩn thận, chính xác, kiên trì, thói quen tự kiểm tra những sai lầm có thể gặp. 1.2.3.1. Hình thành kỹ năng cơ bản qua hướng dẫn giải bài tập mẫu Để có được những kỹ năng, điều quan trọng là thực hiện các thao tác, đã là thao tác phải tập dượt theo một mẫu nào đó. Do vậy việc hướng dẫn học sinh làm một dạng bài tập nào đó theo mẫu ban đầu là rất cần thiết. Việc luyện tập theo mẫu giúp học sinh rèn luyện một số kỹ năng cơ bản để giải được một số loại bài tập cơ bản, từ bài tập mẫu này làm cơ sở để học sinh phát triển khả năng sáng tạo của mình. Sau khi học sinh đã được giáo viên hướng dẫn giải bài tập mẫu, giáo viên cho học sinh một vài bài tập khác tương tự như bài tập mẫu. Lúc này học sinh sẽ dựa vào bài tập mẫu để giải bài tập mà giáo viên đưa ra. Trong bước này giáo viên cần phải hệ thống lại một cách rõ ràng các bước giải cơ bản của mỗi loại bài tập để trên cơ sở đó học sinh có định hướng giải cho từng loại. 1.2.3.2. Phát triển kỹ năng qua luyện tập theo mẫu có biến đổi Khi học sinh đã nắm được các bước giải một dạng bài tập nào đó, giáo viên sẽ cho học sinh làm dạng bài tập khác dạng bài tập mẫu ở một vài điều kiện nào đó. Mức độ sai khác bài tập mẫu phải từ dễ đến khó để đa số học sinh có thể giải được. Không nên cho bài tập khó ngay, sẽ dẫn đến tình trạng học sinh vướng mắc không làm được, từ đó tạo nên tâm lý chán nản, không còn hứng thú để suy nghĩ và làm bài tập. 1.2.3.3. Phát triển kỹ năng qua luyện tập để phối hợp các kỹ năng đã có Ở bước này giáo viên đưa ra dạng bài tập tổng hợp, để giải được bài tập này yêu cầu học sinh phải phối hợp nhiều kỹ năng đơn lẻ. Vì vậy việc thành thạo các kỹ năng cơ bản sẽ giúp học sinh hình thành được các kỹ năng tổng hợp, trên cơ sở nắm vững các kỹ năng cơ bản. 1.3. Mục đích, vai trò, ý nghĩa của bài tập toán trong trƣờng phổ thông a. Mục đích Một trong những mục đích dạy toán ở trường phổ thông là: 5 - Rèn luyện ở học sinh những năng lực và phẩm chất trí tuệ - Làm cho học sinh nắm được một cách chính xác, vững chắc và có hệ thống những kiến thức và kỹ năng toán học phổ thông cơ bản, hiện đại phù hợp với thực tiễn và có năng lực vận dụng tri thức đó vào những tình huống cụ thể, vào đời sống, vào lao động sản xuất, vào việc học tập các bộ môn khoa học khác. b. Vai trò Toán học có vai trò lớn trong đời sống, trong khoa học và công nghệ hiện đại, kiến thức toán học là công cụ để học sinh học tốt các môn học khác, giúp học sinh hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực. Các - Mác nói: “Một khoa học chỉ thực sự phát triển nếu nó có thể sử dụng được phương pháp của toán học”. Môn toán có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuệ như: Phân tích, tổng hợp, so sánh, đặc biệt hóa, khái quát hóa... Rèn luyện những phẩm chất, đức tính của người lao động mới như: Tính cẩn thận, chính xác, tính kỷ luật, khoa học, sáng tạo... c. Ý nghĩa Ở trường phổ thông giải bài tập toán là hình thức tốt nhất để củng cố, hệ thống hóa kiến thức và rèn luyện kỹ năng. Là một hình thức vận dụng kiến thức đã học vào những vấn đề cụ thể, vào thực tế, vào những vấn đề mới. Là hình thức tốt nhất để giáo viên kiểm tra về năng lực, về mức độ tiếp thu và khả năng vận dụng kiến thức đã học. Việc giải bài tập toán có tác dụng lớn trong việc gây hứng thú học tập cho học sinh nhằm phát triển trí tuệ và góp phần giáo dục, rèn luyện con người học sinh về nhiều mặt. 1.4. Nội dung hệ phƣơng trình trong chƣơng trình toán THPT 1.4.1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ax  by  c a. Dạng tổng quát:   a1x  b1y  c1 a 2  b 2  0 trong đó:  2 2 a1  b1  0 6 b. Cách giải: Cách 1: Sử dụng phƣơng pháp thế + Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho ta biểu diễn x theo y, hoặc y theo x rồi thế vào phương trình còn lại để được phương trình bậc nhất một ẩn. + Bước 2: Giải phương trình bậc nhất một ẩn vừa có. + Bước 3: Kết luận nghiệm của hệ đã cho. Cách 2: Sử dụng phƣơng pháp cộng đại số + Bước 1: Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn x hoặc y trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau. + Bước 2: Cộng hoặc trừ từng vế hai phương trình của hệ đã cho để được một phương trình bậc nhất một ẩn. + Bước 3: Giải phương trình bậc nhất một ẩn vừa thu được. + Bước 4: Kết luận nghiệm của hệ đã cho. Cách 3: Sử dụng phƣơng pháp tính định thức + Bước 1: Tính D a b a1 b1 Dx  Dy  c  ab1  a1b b c1 b1 a c a1 c1  cb1  c1b  ac1  a1c + Bước 2: Xét các trường hợp: Dx  x   D  Nếu D  0 thì hệ đã cho có nghiệm (x,y) duy nhất với:  y  Dy  D  Nếu D  0 thì ta xét các trường hợp của Dx , D y Dx  0 + Nếu  thì hệ đã cho vô nghiệm. D  0 y  7 + Nếu Dx  Dy  0 thì hệ đã cho có vô số nghiệm (x,y) với: x    c  ax  y  b y   c  by  x  a hoặc Cách 4: Sử dụng máy tính CASIO fx - 500 MS Ta ấn liên tiếp các phím: MODE a1 = MODE 1 b1 = 2 = a c1 b = c = = Thì trên màn hình hiện ra: x  ... Ấn tiếp phím “=” ta thấy màn hình hiện ra: y  ... Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai ta được nghiệm gần đúng  x  ... của hệ phương trình là:   y  ... 1.4.2. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn  a1x  b1y  c1z  d1  a. Dạng tổng quát: a 2 x  b 2 y  c2 z  d 2 trong đó: a x  b y  c z  d 3 3 3  3  a12  b12  c12  0  2 2 2 a 2  b 2  c 2  0 a 2  b 2  c 2  0 3 3  3 b. Cách giải: Cách 1: Sử dụng phƣơng pháp Gau - Xơ Dùng phương pháp Gau - Xơ khử dần số ẩn của hệ phương trình đưa hệ a1x  b1y  c1z  d1  phương trình về dạng tam giác: b 2 y  c2 z  d 2 (II) c z  d 3  3 Từ đó giải hệ (II) tìm nghiệm  x; y;z  là nghiệm của hệ đã cho. Để đưa hệ đã cho về hệ tam giác ta có thể thực hiện theo các bước sau: + Bước 1: Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với một số khác 0, sao cho sau khi nhân thì một trong ba hệ số của phương trình thứ nhất phải bằng 8 hoặc đối với các hệ số của phương trình thứ hai. + Bước 2: Cộng hoặc trừ từng vế của phương trình thứ nhất và phương trình thứ hai ta được một phương trình mới chỉ còn hai ẩn hoặc một ẩn: y, z hoặc y hoặc z. + Bước 3: Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với một số khác 0, sao cho sau khi nhân thì một trong ba hệ số của phương trình thứ nhất phải bằng hoặc đối với các hệ số của phương trình thứ ba. + Bước 4: Cộng hoặc trừ từng vế của phương trình thứ nhất và phương trình thứ ba ta được một phương trình mới chỉ còn hai ẩn hoặc một ẩn: y, z hoặc y hoặc z. + Bước 5: Khi đó ta được một hệ phương trình mới dạng tam giác, chẳng hạn: a1x  b1y  c1z  d1  b 2 y  c2 z  d 2 c z  d 3  3 + Bước 6: Giải hệ tam giác vừa tìm được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho. Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx - 500 MS Ta ấn liên tiếp các phím: MODE MODE 1 2 a1 d1 = a2 = b2 d2 = a3 = b3 d3 = = b1 = = Thì trên màn hình hiện ra: x  ... Ấn tiếp phím “=” ta thấy màn hình hiện ra: y  ... Ấn tiếp phím “=” ta thấy màn hình hiện ra: z  ... 9 = c2 c3 c1 = = = Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai ta được nghiệm gần đúng  x  ...  của hệ phương trình là:  y  ...  z  ...  1.4.3. Hệ phương trình đối xứng loại 1 Hệ phương trình đối xứng loại 1 với x và y là hệ mà khi ta thay x bởi y và thay y bởi x thì từng phương trình của hệ không thay đổi. f (x, y)  0 a. Dạng tổng quát:  (I) trong đó: g(x, y)  0  f (x, y)  f (y, x)  g(x, y)  g(y, x) b. Cách giải: S  x  y Đặt:  khi đó ta đưa hệ (I) về hệ ẩn (S,P) tức là:  P  xy  f (S,P)  0 (II)  g(S,P)  0 Giải hệ (II) tìm được S, P từ đó ta tìm được x, y với x, y là nghiệm của phương trình: X2  SX  P  0 (1). Phương trình (1) có nghiệm nếu: S2  4P  0 c. Chú ý: + Hệ (I) có nghiệm (x, y) khi và chỉ khi hệ (II) có nghiệm (S, P) thỏa mãn điều kiện: S2  4P  0 + Nếu  x 0 , y0  là nghiệm của hệ thì  y0 , x 0  cũng là nghiệm của hệ đã cho. 1.4.4. Hệ phương trình đối xứng loại 2 Hệ phương trình gọi là đối xứng loại 2 đối với x, y nếu khi ta thay x bởi y và thay y bởi x thì phương trình thứ nhất trở thành phương trình thứ hai và ngược lại. f (x, y)  0 a. Dạng tổng quát:  f (y, x)  0 b. Cách giải: + Bước 1: Cộng hoặc trừ từng vế tương ứng hai phương trình của hệ cho nhau ta được một phương trình bậc nhất một ẩn. + Bước 2: Giải phương trình bậc nhất một ẩn vừa có. 10 + Bước 3: Kết luận nghiệm của hệ đã cho. 1.4.5. Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai  a1x 2  b1xy  c1y 2  d1 a. Dạng tổng quát:  2 2 a 2 x  b 2 xy  c2 y  d 2 b. Cách giải: + Bước 1: Thay x  0 hoặc y  0 vào hệ phương trình đã cho xem có thỏa mãn không. + Bước 2: Với x  0 đặt y  tx (hoặc x  ty ) ta được hệ phương trình:  x 2  a1  b1t  c1t 2   d1 1  a1x 2  b1tx 2  c1t 2 x 2  d1    2  2 2 2 2 2 a 2 x  b2 tx  c2 t x  d2  x  a 2  b2 t  c2 t   d 2  2  Khử x bằng cách chia tương ứng từng vế của phương trình (1) cho phương trình (2) ta được một phương trình mới chỉ còn ẩn t, giải phương trình tìm t từ đó tìm được x và y. + Bước 3: Kết luận nghiệm của hệ đã cho. c. Chú ý: Đối với hệ mà vế trái là các biểu thức đồng bậc đối với x và y, vế phải cũng là các biểu thức đồng bậc đối với x và y mà bậc của vế trái và vế phải khác nhau thì ta vẫn giải theo các bước trên. 1.4.6. Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai  ax  by  c a.Dạng tổng quát:  2 2 a1x  b1xy  c1y  d1 b.Cách giải: Dùng phƣơng pháp thế + Bước 1: Từ phương trình bậc nhất rút x theo y hoặc y theo x rồi thế vào phương trình bậc hai khi đó phương trình bậc hai chỉ còn một ẩn. + Bước 2: Giải phương trình bậc hai một ẩn. + Bước 3: Kết luận nghiệm của hệ đã cho. 1.4.7. Hệ phương trình mũ, lôgarit, và hệ phương trình chứa căn thức. Đối với các hệ phương trình này thường không có dạng tổng quát mà nó có rất nhiều dạng nên đòi hỏi người học phải làm nhiều bài tập để có kỹ năng lựa chọn phương pháp giải cho từng bài toán cụ thể sao cho phù hợp. 11 Sau đây là một số phương pháp: + Phương pháp biến đổi tương đương + Phương pháp đặt ẩn phụ + Phương pháp lôgarit hóa + Phương pháp hàm số + Phương pháp đồ thị + Phương pháp đánh giá 1.5. Thực trạng việc dạy và học hệ phƣơng trình ở một số trƣờng THPT Tìm hiểu thực trạng việc dạy và học hệ phương trình ở một số trường THPT, tôi đã tiến hành điều tra hai đối tượng giáo viên và học sinh của trường THPT Đông Thụy Anh như sau: - Giáo viên: Trường THPT Đông Thụy Anh - Học sinh: Hai lớp 12 A1 và 12 A 2 1.5.1. Điều tra đối với giáo viên - Mục đích điều tra: Bước đầu tìm hiểu việc rèn luyện kỹ năng cho học sinh thông qua việc dạy học các bài toán về hệ phương trình. - Đối tƣợng điều tra: Giáo viên đang trực tiếp giảng dạy môn toán ở trường THPT Đông Thụy Anh gồm 12 giáo viên. Tuổi nghề Hệ đào tạo Tên Số Dưới Từ 5 Trên trường lượng 14 đến 10 20 GV năm năm năm 12 5 5 2 Đại Cao học đẳng 12 0 Trình độ chuyên môn Giỏi khá 6 6 Trung bình THPT Đông Thụy 0 Anh Nhận xét: Qua bảng điều tra trên, nhìn chung tuổi nghề của các thầy cô còn trẻ, thiếu nhiều kinh nghiệm giảng dạy mặc dù có trình độ đào tạo cao và chất lượng giảng dạy đa số đạt loại khá giỏi, có những giáo viên đạt chất lượng loại giỏi và danh hiệu giáo viên dạy giỏi các cấp. Tuy nhiên do phần lớn giáo 12 viên mới ra trường tuổi nghề còn rất trẻ nên việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh còn gặp nhiều hạn chế mặc dù những giáo viên trẻ đã tích cực giới thiệu, khuyến khích học sinh giải hệ phương trình theo mức độ mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo. 1.5.2. Điều tra đối với học sinh - Mục đích điều tra: Bước đầu tìm hiểu thực trạng việc rèn luyện kỹ năng giải toán của học sinh thông qua một số bài toán về hệ phương trình ở trường THPT. - Đối tƣợng điều tra: Học sinh lớp 12 ở hai lớp 12 A1 (33 HS), 12 A 2 (35HS) thuộc trường THPT Đông Thụy Anh. - Nội dung điều tra: Lớp Mức độ 12 A1 12A 2 Biết làm 18 20 thành thạo 10 9 Mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo 5 6 Qua bảng điều tra trên ta thấy đa số các em học sinh của trường có phương pháp học tập truyền thống ít mang lại hứng thú học tập cho học sinh, phần lớn các em đều biết làm và cũng có kỹ năng mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo. Do đó giáo viên cần nắm bắt tình hình học sinh để có thể hướng dẫn kỹ hơn một số kỹ năng giải hệ phương trình cho học sinh THPT để các em biết và vận dụng giải các bài toán cụ thể. 13 CHƢƠNG 2 RÈN LUYỆN MỘT SỐ KỸ NĂNG GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH THPT 2.1. Giải pháp rèn luyện kỹ năng giải hệ phƣơng trình Để rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình cần dựa vào mức độ và trình độ kỹ năng giải bài tập toán học. Cụ thể là: - Cần rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình ở các nội dung: Hệ phương trình cơ bản, hệ phương trình tổng hợp có thuật giải và các cách biến đổi hệ phương trình để đưa về các hệ phương trình quen thuộc có thuật giải. - Mỗi loại trên cần rèn luyện ở ba mức độ: + Mức độ biết làm: Nắm được quy trình giải hệ phương trình cơ bản nào đó tương tự như bài tập mẫu nhưng chưa nhanh. + Mức độ thành thạo: Giải nhanh, ngắn gọn, chính xác theo cách giải như bài tập mẫu. + Mức độ mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo: Đưa ra được cách giải ngắn gọn, độc đáo, khác lời giải mẫu do biết vận dụng vốn kiến thức kỹ năng, kỹ xảo không chỉ với những bài toán cơ bản mà với cả bài toán mới. 2.2. Rèn luyện kỹ năng giải hệ phƣơng trình cơ bản 2.2.1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn a. Mức độ biết làm: x  y  3 Ví dụ: Giải hệ phương trình sau:  3x  4y  2 (1) (2) Hướng dẫn giải: Đây là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nên có thể sử dụng phương pháp thế, phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp tính định thức để giải. Giải Cách 1: Dùng phương pháp thế Từ phương trình (1) rút x  3  y thế vào phương trình (2) ta được: 3(3  y)  4y  2 14