ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------
PHẠM NGỌC MINH CHÂU
GẦN ĐÚNG EIKONAL
TRONG LÝ THUYẾT TRƢỜNG LƢỢNG TỬ
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội – 2016
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------
PHẠM NGỌC MINH CHÂU
GẦN ĐÚNG EIKONAL
TRONG LÝ THUYẾT TRƢỜNG LƢỢNG TỬ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý Toán
Mã số: 60440103
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. CAO VI BA
Hà Nội – 2016
LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới TS.Cao Thị
Vi Ba, là người đã trực tiếp hướng dẫn và chỉ bảo tận tình cho tôi để tôi có thể
hoàn thành khóa luận này, cũng như đã giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học
tập tại Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên, Khoa Vật lý, Bộ môn Vật Lý Lí
Thuyết.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy, cô và toàn thể
cán bộ bộ môn Vật lý Lý thuyết nói riêng cũng như khoa Vật lý nói chung,
những người đã luôn tận tình dạy bảo, giúp đỡ và động viên cho tôi. Tôi cũng
xin gửi lời cảm ơn tới các bạn trong bộ môn đã đóng góp, thảo luận và trao
đổi ý kiến khoa học quý báu để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Do thời gian và kiến thức còn nhiều hạn chế nên không thể tránh khỏi
những thiếu sót,tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý của quý thầy cô và
các bạn.
Một lần nữa, tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 10 tháng 9 năm 2016
Học viên
Phạm Ngọc Minh Châu
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU……………………………………...................................................1
CHƢƠNG 1. BIỂU DIỄN HÀM GREEN HAI HẠT DƢỚI DẠNG TÍCH
PHÂN PHIẾM HÀM………………………………………………..............4
1.1.Hàm Green hai hạt…………………………………………………...........4
1.2.Chuỗi nhiễu loạn thông thường ứng với giản đồ Feynman………….........9
CHƢƠNG 2. BIÊN ĐỘ TÁN XẠ HAI HẠT DƢỚI DẠNG TÍCH PHÂN
PHIẾM HÀM………………………………………………………….........12
2.1.Biên độ tán xạ hai hạt………………………………………………........12
2.2.Tính các tích phân phiếm hàm………………………………………......20
CHƢƠNG 3. BIỂU DIỄN GLAUBER CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ HAI
HẠT Ở VÙNG NĂNG LƢỢNG CAO.........................................................23
3.1.Biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ hai hạt……………………….......23
3.2.Bổ chính cho quá trình tán xạ hai hạt……………………………….......28
KẾT LUẬN…………………………………………………………............30
TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………....31
PHỤ LỤC……………………………………………………………..........34
MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài: Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ góc nhỏ tìm
được đầu tiên vào năm 1959 trong cơ học lượng tử phi tương đối tính [12] và
đã được sử dụng rộng rãi để phân tích các số liệu thực nghiệm cho tán xạ các
hạt với năng lượng lớn. Phép gần đúng eikonal thực tế tương ứng với việc
tuyến tính hóa hàm truyền của các hạt tán xạ, theo xung lượng của các hạt
trao đổi là nhỏ. Phép gần đúng này được sử dụng để nghiên cứu các quá trình
tán xạ hạt năng lượng cao và được gọi là phép gần đúng quỹ đạo thẳng .Vậy
biểu diễn eikonal liệu có thể ứng dụng trong lý thuyết trường lượng tử hay
không? Vấn đề này cũng được các nhà vật lý nghiên cứu trong lý thuyết
nhiễu loạn hiệp biến [5] và phương trình chuẩn thế [13].
Mục đích của Luận văn: Nghiên cứu tính đúng đắn của phép gần đúng
eikonal bằng phương pháp tích phân phiếm hàm qua việc xét quá trình tán xạ
hai hạt trong mô hình tương tác Lint x g 2 x x [7]. Phương pháp tích
phân phiếm hàm trong toán học còn được gọi phương pháp tích phân liên tục,
trong vật lý nó được gọi là phương pháp tích phân quỹ đạo hay tích phân
đường.
Phƣơng pháp nghiên cứu: Dựa vào biểu thức của hàm Green một hạt ở
trường ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm, chúng tôi tìm hàm Green hai
hạt [7-19]. Tách bốn cực liên quan đến hàm Green hai hạt, thu được biên độ
tán xạ của hạt ở trường ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm. Vấn đề đặt ra
là việc tính toán tích phân phiếm hàm bằng cách sử dụng gần đúng quỹ đạo
-1-
thẳng ở vùng năng lượng cao và góc tán xạ nhỏ liệu trong lý thuyết trường
lượng tử có thu được biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ giữa hai hạt?
Nội dung nghiên cứu chính được trình bày trong ba chương, kèm theo
tài liệu tham khảo và năm phụ lục.
Chương 1. Biểu diễn hàm Green một hạt ở trường ngoài dưới dạng tích
phân phiếm hàm. Trong mục §1.1, bằng cách sử dụng biểu thức chính xác cho
hàm Green một hạt ở trường ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm, chúng tôi
thu được biểu thức cho hàm Green hai hạt. Việc phân tích ý nghĩa của biểu
thức cho hàm Green liên quan đến các thừa số được bàn luận tại mục §1.2.
Chương 2. Tính biên độ tán xạ dưới dạng tích phân phiếm hàm. Bằng
cách chuyển tới mặt khối lượng các hàm Green nêu trên, chúng tôi thu được
biên độ tán xạ hai hạt với nhau dưới dạng tích phân phiếm hàm tương ứng.
Mục §2.1 dành cho việc tìm biên độ tán xạ cho hai hạt dưới dạng tích phân
phiếm hàm. Việc tính các tích phân phiếm hàm trong gần đúng quỹ đạo thẳng
được trình bày tại mục §2.2.
Chương 3. Xác định dáng điệu tiệm cận biên độ tán xạ tại vùng năng
lượng cao. Việc đánh giá các tích phân phiếm hàm sử dụng gần đúng quỹ đạo
thẳng dựa trên ý tưởng các quỹ đạo của hạt ở vùng tiệm cận năng lượng cao
và xung aâlượng truyền nhỏ là thẳng. Kết quả chúng tôi tìm được các biểu
diễn Glauber cho tán xạ năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ ở mục
§3.1. Việc tái chuẩn hóa khối lượng các hạt tán xạ được tiến hành ở mục §3.2.
-2-
Kết luận. Chúng tôi tóm tắt lại các kết quả thu được trong Luận văn và
thảo luận cách tổng quát hóa phương pháp này cho những trường hợp tương
tác các hạt phức tạp hơn.
Trong Luận văn chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử c 1 và
metric Feynman .
Các véctơ phản biến: x x0 t , x1 x, x2 y, x3 z .
Các véctơ hiệp biến: x g x x0 t , x1 x, x2 y, x3 z .
Tenxơ metric:
g
g
1 0 0 0
0 1 0 0
.
0 0 1 0
0 0 0 1
Các chỉ số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ 0 đến 3.
-3-
CHƢƠNG 1
BIỂU DIỄN HÀM GREEN HAI HẠT
DƢỚI DẠNG TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM
§1.1 Hàm Green hai hạt
Muốn tìm biên độ tán xạ chúng ta sử dụng công thức rút gọn mà nó liên hệ
yếu tố S-ma trận với trung bình chân không của tích các toán tử trường [11].
Đối với biên độ tán xạ của hai hạt, công thức này có dạng
4
2 4 p1 p2 q1 q2 T p1 , p2 ; q1 , q2
2
i 4 dxk dyk K xm1 K xm2 0 | T x1 x2 y1 y2 | 0 K ym1 K ym1 ,
(1.1)
k 1
trong đó p1 , p2 và q1 , q2 là các xung lượng tương ứng của các hạt thuộc
trường
trước
và
sau
tán
xạ,
K xmi i 2 2 , xi m2 , i 1, 2 ,
và
K ymi i 2 2 , yi m2 , i 1, 2 , còn thừa số chứa T-tích ở vế phải của công thức
(1.1) chính là hàm Green hai hạt G x1 , x 2 ; y1 , y2 của trường x
G x1, x2 ; y1, y2 0 | T x1 x2 y1 y2 | 0 .
(1.2)
Hàm Green cho hai hạt theo công thức [6]
i
2
G x1 , x2 ; y1 , y2 exp D 2
2
G x1 , y1 | G x2 , y2 | G x1 , y2 | G x2 , y1 | S0 .
(1.3)
Lưu ý S0 là giá trị trung bình của S-ma trận trên các thăng giáng chân
không của trường “nucleon” x dưới ảnh hưởng của trường ngoài meson
x và đặt bằng
S0 1
-4-
i 2G x1, x2 ; y1, y2 | G x1, y1 | G x2 , y2 | G x1, y2 | G x2 , y1 |
(1.4)
trong đó (xem Phụ lục A.5):
G x, y | i dse
im02 s
0
s
s
v
exp
ig
x
2
d
0 0 d
4
s
s
x y 2 ( )d .
0
4
(1.5)
Bỏ qua giao hoán hai hạt, tức là loại bỏ thành phần G x1, y2 | và
G x2 , y1 | , ta thu được biểu thức sau:
i G x1 , x2 ; y1 , y2 | G x1 , y1 | G x2 , y2 |
2
i
2
2
ds e
n 1 0
n
sn
sn
v
exp
ig
x
2
d
n 0 0 n n dn
n
(1.6)
sn
4
xn yn 2 vn d .
0
im02 sn
4
sn
Kết quả ta có hàm Green hai hạt trong biểu diễn tọa độ:
i
G x1 , y1; x2 , y2 C exp z1 D 1 z1 z2 z2 dz1dz2
2
s
sn
n
dsn exp ig xn 2 n d d n
n 1 0
n
0
2
sn
xn yn 2 vn d ,
0
4
-5-
(1.7)
ở đây m0 là khối lượng trần của “nucleon”. Để cho thuận tiện, ta viết lại biểu
thức sau dưới dạng:
s
sn
n
exp
ig
x
2
d
d n
n
n
n 1
n
0
2
s
sn
n
4
exp ig d n dz z z xn 2 n d
n 1
n
0
2
2
(1.8)
2
exp ig dz z jn z expigjn expig j1 j2 ,
n 1
n 1
với
sn
jn z d n z xn 2 n d .
0
n
sn
4
(1.9)
Trong mô hình của hạt vô hướng jn z mô tả mật độ không gian của
“nucleon” khi nó chuyển động theo quỹ đạo cổ điển. Song trong trường hợp ở
đây jn z được gọi là mật độ dòng. Sử dụng công thức tích phân Gauss dưới
dạng phiếm hàm [12] ta có:
D
C
A
i
i
exp A1 j exp jAj ,
2
2
trong đó
D d x
x
A dz dz z A z
j dzj z z .
1
1
1
2
Ta nhận được:
-6-
1
1
z2 z2
(1.10)
sn
sn
i
2
1
C exp z1 D z1 z2 z2 dz1dz2 exp ig xn 2 n d d n .
2
n1
n
0
i
C exp z1 D 1 z1 z2 z2 dz1dz2 ig j1 j2
2
i
exp ig j1 j2 D ig j1 j2
2
ig 2
exp
jn Djn expig 2 j1Dj2 .
n 1
2
2
(1.11)
Từ (1.8) và (1.11) ta thu được:
sn
ig 2
im02 sn
4
vn exp
G x1 , y1; x2 , y2 dsne
jn Djn
0
n 1 0
2
2
sn
xn yn 2 vn d exp ig 2 j1Dj2 ,
0
4
(1.12)
chú ý rằng: jn Djm dz1dz2 jn z1 D z1 z2 j
m
z2
Xét biến đổi Fourier cho hàm Green hai hạt:
2
G p1 , p2 ; q1 , q2 d 4 xn d 4 yn expi p n xn qn yn G x1 , x2 ; y1, y2 .
(1.13)
n 1
Thay công thức (1.12) vào (1.13) ta có:
G p1, p2 ; q1, q2
sn
4 4 i p n xn qn yn
ig 2
im02 sn
4
vn exp
d xn d yne
dsne
jn Djn
0
n 1
2
0
2
sn
xn yn 2 vn d expig 2 j1Dj2
0
4
-7-
sn
4
2
ig 2
i p x q y
d xn dsne im0 sn 4vn exp
jn Djn d 4 yne n n n n
0
n 1
2
0
2
sn
4
xn yn 2 vn d exp ig 2 j1Dj2 .
0
(1.14)
sn
Tính tích phân theo d yn , lưu ý hàm Delta Dirac xn yn 2 vn d ,
0
4
4
ta có:
sn
d
y
exp
i
p
x
q
y
x
y
2
v
d
n n
n n
n
n
0 n
n
4
4
sn
exp i pn xx qn xn 2 vn d
0
sn
exp i pn qn xn 2iqn vn d .
0
(1.15)
Ta thu được hàm Green hai hạt trong biểu diễn xung lượng:
G p1 , p2 ; q1 , q2
sn
4
2
d xn dsn exp im0 sn i pn qn xn 2iqn vn d
n 1
0
0
2
ig 2
vn exp
jn Djn exp ig 2 j1 Dj2 ,
0
2
4
sn
(1.16)
ở đây chúng tôi sử dụng ký hiệu
j Dj dz dz j z D z
n
k
1
2 n
1
1
z2 jk z2 .
(1.17)
Biểu thức (1.16) là biểu thức tổng quát cho hàm Green hai hạt dưới dạng
tích phân phiếm hàm. Nếu chúng ta khai triển biểu thức (1.16) theo hằng số
tương tác g 2 và lấy tích phân phiếm hàm đối với , nó sẽ đưa đến tích phân
-8-
dạng Gauss, chúng ta sẽ nhận được chuỗi nhiễu loạn thông thường cho hàm
Green hai hạt G p1 , p2 ; q1 , q2 .
§1.2.Chuỗi nhiễu loạn thông thƣờng cho hàm Green hai hạt
tƣơng ứng với giản đồ Feynman
Dựa vào hàm Green một hạt ở trường ngoài dưới dạng tích phân phiếm
hàm, thực hiện phép lấy trung bình theo trường ngoài , ta thu được biểu
thức (1.16) chính xác cho hàm Green hai hạt G p1 , p2 ;q1 , q2 dưới dạng tích
phân phiếm hàm ở mục trên. Viết lại biểu thức (1.16) ở đây
G p1 , p2 ; q1 , q2
sn
4
2
d xn dsn exp im0 sn i pn qn xn 2iqn vn d
n 1
0
0
2
ig 2
vn exp
jn Djn exp ig 2 j1 Dj2 .
0
2
4
sn
(1.16)
Phân tích biểu thức (1.16) cho hàm Green hai hạt thành chuỗi nhiễu loạn
thông thường theo hằng số tương tác g 2 và lấy các tích phân phiếm hàm, ta
thu được kết quả tương ứng với chuỗi các giản đồ Feynman quen thuộc cho
hàm Green hai hạt (1.16) biểu diễn ở hình 1 . Các thừa số trong (1.16) có thể
giải thich như sau:
ig 2
i/ Thừa số exp
j1Dj2 trong công thức (1.16) mô tả tương tác hai hạt
2
qua việc trao đổi các meson ảo.
-9-
t
p1
q1
p2
p1
q1
s
q2
p2
q2
Hình 1. Mô tả tương tác giữa hai hạt bằng việc trao đổi các meson ảo
với nhau
ig 2
ii/ Thừa số exp
jn Djn trong công thức (1.16) tương ứng với các bổ
2
chính cho các hạt tán xạ, và nó là các biểu thức phân kỳ dạng
n m2 A , n 1, 2 . Để khử phần phân kỳ này ta tiến hành tái chuẩn hóa
khối lượng của các hạt tán xạ. Điều này có nghĩa ta phải tách từ thừa số
ig 2
exp
jn Djn này các số hạng n m2 A , n 1.2
2
và tiến hành tái
chuẩn hóa lại khối lượng của hạt tán xạ. Việc này được thực hiện ở chương
sau, kết quả khối lượng của hạt tán xạ sẽ được tái chuẩn hóa bằng khối lượng
đo trên thực nghiệm mR , cụ thể mn, R mn, 0 n m2 , trong đó m0 là khối lượng
“trần” của hạt tán xạ, tức là khối lượng khi chúng chưa tham gia tương tác và
khối lượng cần được tái chuẩn hóa
p1
p2
q1
q2
Hình 2. Mô tả các hạt tán xạ tương tác với chân không vật lý
của trường boson qua các bổ chính cho các hạt tham gia quá
trình tán xạ nhưng không tương tác giữa các hạt với nhau.
- 10 -
ig 2
iii/ Các thành phần exp
ji Dji trong công thức (1.16) tương ứng với
2
các bổ chính vòng cho quá trình tán xạ hai hạt, còn biểu thức liên quan tới
trao đổi một meson ảo giữa hai hạt tán xạ là expig 2 j1Dj2 có kể thêm các
bổ chính cho các hạt tham gia quá trình tán xạ. Các giản đồ Feynman mô tả
quá trình tán xạ tương ứng được mô tả bằng hình 3.
p1
q1
p2
q2
Hình 3. Tán xạ hai hạt và các giản đồ Feynman theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp
biến
- 11 -
CHƢƠNG 2
BIÊN ĐỘ TÁN XẠ HAI HẠT DƢỚI DẠNG TÍCH PHÂN
PHIẾM HÀM
Trong chương này chúng tôi nghiên cứu việc tách các điểm cực từ hàm
Green hai hạt để thu được biên độ tán xạ hai hạt tương ứng dưới dạng tích
phân phiếm hàm trong mục §2.1 và thảo luận các cách tính gần đúng – gần
đúng quỹ đạo thẳng hay còn gọi là gần đúng eikonal ở vùng năng lượng cao
và xung lượng truyền nhỏ ở mục §2.2.
§2.1. Biên độ tán xạ hai hạt
Từ công thức (1.1) ở chương 1, ta có công thức tính biên độ tán xạ cho hai hạt
trong biểu diễn xung lượng như sau:
4
2 4 p1 p2 q1 q2 iT p1, p2 ; q1, q2
2 lim
2
pn ,qn m
2
p
n 1,2
2
n
m2 qn2 m2 G p1, p2 | q1, q2
sn
2
2
2
2
2
pn m qn m dxn dsn exp im0 sn 2iqn vn d i pn qn xn .
n 1
0
0
2
- 12 -
sn
ig 2
. 4vn exp
jn Djn exp ig 2 j1Dj2 .
0
2
(2.1)
Để lấy giới hạn p12 , p22 , q12 , q22 m2 , ta tách các cực từ hàm Green hai hạt bằng
hàng loạt những phép biến đổi để rút ra từ hàm Green hai hạt các thừa số có
2
2 1
2
2 1
dạng ( pn m ) ,(qn m ) ,
n 1,2 . Trong lý thuyết nhiễu loạn sự triệt
tiêu các cực điểm này là rõ, vì biên độ được xây dựng bằng các biểu thức của
hàm truyền tự do, song việc sử dụng hàm Green bằng các phương pháp khác
với lý thuyết nhiễu loạn thì việc tách cực khỏi hàm Green chứa một số khó
khăn nhất định. Ở đây chúng ta quan tâm tới cấu trúc của biên độ tán xạ một
cách tổng thể, khi đó việc tiến hành cách tiếp cận đúng trên mặt khối lượng có
một vai trò quan trọng. Nhiều phương pháp gần đúng khi chuyển sang mặt
khối lượng trước đây, chúng có thể là hợp lý nếu xuất phát từ góc độ vật lý,
song làm dịch chuyển các vị trí của các cực của hàm Green và như vậy cách
tìm biên độ tán xạ về mặt toán học là không chuẩn, không đúng. Trong luận
này chúng ta sẽ sử dụng việc tách các cực của hàm Green bằng việc tổng quát
hóa phương pháp được đề xuất trong [7,8] để tìm biên độ tán xạ trong mô
hình Lint g 2 x x , trong đó đóng góp của các vòng kín của trường
“nucleon” x được bỏ qua.
Ta loại bỏ trong biểu thức (2.1) đóng góp của giản đồ Feynman mô tả sự lan
truyền của các hạt không tương tác giữa các “nucleon”, vì chúng không cho
đóng góp vào biên độ tán xạ. Để làm được việc này trong công thức (2.1) ta
thay thừa số expig 2 j1Dj2 bằng hiệu
exp ig
2
j Dj 1 ig
1
2
1
2
j1Dj2 d exp i g 2 j1Dj2 .
0
- 13 -
(2.2)
Ta có:
4
2 4 p1 p2 q1 q2 iT p1 , p2 ; q1 , q2
lim pn2 m02 qn2 m02 G ' p1, p2 ; q1 , q2 ,
p , q m
2
n
2
n
(2.3)
2
với:
G ' p1, p2 ; q1, q2
2
d x ds e
4
n
n 1
im02 sn 2iqn
sn
vn d i pn qn xn
0
n
0
1
ig 2
vn exp
jn Djn j1Dj2 d exp ig 2 j1Dj2 .
0
2
0
sn
4
(2.4)
Tiếp tục tính công thức (2.2)
exp ig
2
j Dj 1 ig
1
2
1
2
j1Dj2 d exp i g 2 j1Dj2
0
s1
s2
s1 s2
ig 2 d1 d 2 dz1dz2 4 z1 x1 2 v1 d D z1 z2 4 z2 x2 2 v2 d
0
1
2
0
1
d exp i g 2 j1Dj2
0
s
s2
s1
s2
1
1
ig d1 d 2 D x1 2 v1 d x2 2 v2 d d exp i g 2 j1Dj2 .
0
0
1
2
0
2
(2.5)
Thay biểu thức (2.5) vào (2.4), thu được biểu thức cho hàm Green hai hạt
trong biểu diễn xung lượng G ' p1, p2 ;q1,q 2 :
G ' p1, p2 ; q1, q2
- 14 -
n
sn
im02 sn 2 iqn vn d i pn qn xn
sn
ig 2
2
4
4
0
ig d xn dsn d n vn e
exp
jn Djn
0
n 1
2
0
0
s
2
s1
s2
1
D x1 2 v1 d x2 2 v2 d d exp i g 2 j1Dj2 .
0
1
2
(2.6)
Sử dụng đồng nhất thức sau
2
2
sk
ds d d ds ,
n 1 0
n
n
0
n 1 0
n
k
(2.7)
n
và thay thế các biến phiếm hàm và các biến số thông thường sau
si si' i
si
'
xi xi 2 vi d
i
v v q p
i i
i
i
i
x1' y x 2
,
'
x
y
x
2
2
(2.8)
(2.9)
và lưu ý
y
d 4 x1' d 4 x2' d 4 xd 4 .
2
(2.10)
Áp dụng (2.8), (2.9), (2.10) ta có các công thức (xem (B.1) và (B.6) ở phụ
lục B):
- 15 -
sn
2
d
v
exp
i
v
q
p
d
n
n
n
n
sn
n
0
4
vn
0
sn
2
4
d
v
exp
i
v
q
p
d
n
n
n
n
n
0
4
sn
0
4
vn exp 2ipn vn d 2iqn vn d ipn2 sn' iqn2 n ,
n
0
n
'
sn'
(2.12)
và
sn
i qn pn xn 2iqn vn d
0
sn'
i qn pn x 2ip s 2iq 2ipn vn d 2iqn
'
n
2 '
n n
2
n n
0
0
v d ,
n
(2.13)
n
và:
i qn pn xn' i q1 p1 x1' i q2 p2 x2'
(2.14)
y
i q1 q2 p1 p2 i q1 p1 x.
2
Thay (2.12), (2.13) và (2.14) vào (2.6) ta được:
iy
y
G ' p1, p2 ; q1, q2 ig 2 d 4 xd 4 exp i q1 p1 x p1 p2 q1 q2
2
2
sn'
ig 2
'
4
D x d n dsn vn exp
jn Djn .exp im02 sn' n 2ipn2 sn'
n
n 1 0
2
0
2
- 16 -
- Xem thêm -