Tài liệu Hiệu ứng radio điện trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn với cơ chế tán xạ điện tử phonon âm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------------------ PHẠM VĂN NGHĨA HIỆU ỨNG RADIO- ĐIỆN TRONG DÂY LƢỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT HỐ THẾ CAO VÔ HẠN VỚI CƠ CHẾ TÁN XẠ ĐIỆN TỬPHONON ÂM LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------------------ Phạm Văn Nghĩa HIỆU ỨNG RADIO- ĐIỆN TRONG DÂY LƢỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT HỐ THẾ CAO VÔ HẠN VỚI CƠ CHẾ TÁN XẠ ĐIỆN TỬPHONON ÂM Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán Mã số: 60440103 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: T.S. ĐỖ MẠNH HÙNG Hà Nội – 2014 LỜI CẢM ƠN Em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến T.S Đỗ Mạnh Hùng – Người đã hướng dẫn và chỉ bảo tận tình cho em trong suốt quá trình thực hiện luận văn này. Thứ đến, em xin chân thành cảm ơn GS. TS. Nguyễn Quang Báu, người đã hỗ trợ, giúp đỡ em rất nhiều trong quá trình làm luận văn. Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ và dạy bảo tận tình của các thầy cô giáo trong bộ môn vật lý lý thuyết - Khoa Vật lý – Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội trong suốt thời gian vừa qua, để em có thể học tập và hoàn thành luận văn này một cách tốt nhất. Em cũng xin được chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện của ban chủ nhiệm khoa Vật lý, phòng sau đại học trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội. Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, đồng nghiệp và bạn bè đã luôn bên cạnh động viên em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luân văn. Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn luận văn còn nhiều thiếu sót. Em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của thầy cô và các bạn. Em xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội, 12- 2014 Học viên Phạm Văn Nghĩa DANH MỤC BẢNG BIỂU Trang Bảng 3.1……………………………………………………………………………45 DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 3.1 ...................................................................................................................45 Hình 3.2 ...................................................................................................................46 MỤC LỤC MỤC LỤC ........................................................................................................ 1 MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1 1. Lí do chọn đề tài. ........................................................................................... 1 2. Phương pháp nghiên cứu............................................................................... 1 3. Cấu trúc của luận văn. ................................................................................... 2 4. Các kết quả thu được của luận văn. .............................................................. 3 CHƢƠNG 1 - DÂY LƢỢNG TỬ VÀ LÝ THUYẾT LƢỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG RADIO - ĐIỆN TRONG BÁN DẪN KHỐI ............................ 4 1.1. Dây lượng tử. ............................................................................................. 4 1.1.1. Tổng quan về dây lượng tử. ............................................................ 4 1.1.2 Hàm sóng và phổ năng lượng của dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn....................................................................................... 4 1.2. Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng radio điện trong bán dẫn khối ................. 5 CHƢƠNG 2 - HIỆU ỨNG RADIO – ĐIỆN TRONG DÂY LƢỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT VỚI HỐ THẾ CAO VÔ HẠN VỚI CƠ CHẾ TÁN XẠ ĐIỆN TỬ-PHONON ÂM....................................................................... 12 2.1. Hamiltonian của hệ điện tử – phonon trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn. ..................................................................................... 12 2.2. Phương trình động lượng tử cho điện tử. ................................................ 13 2.3. Biểu thức mật độ dòng toàn phần ............................................................ 28 2.4. Biểu thức giải tích cho cường độ điện trường. ....................................... 41 Chƣơng 3 - TÍNH TOÁN SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ. ......................................... 45 3.1.Sự phụ thuộc của cường độ điện trường vào tần số  của sóng điện từ phân cực thẳng. ............................................................................................... 45 3.2. Sự phụ thuộc của cường độ điện trường vào tần số  của bức xạ laser....... 46 KẾT LUẬN .................................................................................................... 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 48 PHỤ LỤC ....................................................................................................... 50 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài. Ngay từ những thập niên 60 của thế kỷ trước, sự tiến bộ của vật lý chất rắn cả lý thuyết và thực nghiệm được đặc trưng bởi sự chuyển hướng đối tượng nghiên cứu chính từ các khối tinh thể sang các cấu trúc thấp chiều. Những cấu trúc thấp chiều như các hố lượng tử (quantum wells), các siêu mạng (superlattices), các dây lượng tử (quantum wires) và các chấm lượng tử (quantum dots) … đã được tạo nên nhờ sự phát triển của công nghệ vật liệu mới với những phương pháp như kết tủa hơi kim loại hóa hữu cơ (MOCDV), epytaxi chùm phân tử (MBE)… Trong các cấu trúc nano như vậy, chuyển động của hạt dẫn bị giới hạn nghiêm ngặt dọc theo một hướng tọa độ với một vùng có kích thước đặc trưng vào cỡ bậc của bước sóng De Broglie, các tính chất vật lý của điện tử thay đổi đáng kể, xuất hiện một số tính chất vật lý mới khác, gọi là hiệu ứng kích thước. Ở đây, các quy luật của cơ học lượng tử bắt đầu có hiệu lực, khi đó đặc trưng cơ bản nhất của hệ điện tử là phổ năng lượng bị biến đổi. Phổ năng lượng bị gián đoạn dọc theo hướng tọa độ giới hạn. Do các tính chất quang, điện của hệ thấp chiều biến đổi, đã mở ra khả năng ứng dụng của các linh kiện điện tử, ra đời nhiều công nghệ hiện đại có tính chất cách mạng trong lĩnh vực khoa học, kỹ thuật. Ví dụ như: các đi-ốt huỳnh quang điện, pin mặt trời, các loại vi mạch… Trong các cấu trúc thấp chiều đó, cấu trúc dây lượng tử thu hút được rất nhiều sự quan tâm của các nhà vật lý lý thuyết và thực nghiệm. Khi nghiên cứu các tính chất vật lý các nhà khoa học chú ý nhiều đến sự ảnh hưởng của sóng âm đến các tính chất của vật liệu, hay còn gọi là sự tương tác của sóng âm với các cấu trúc thấp chiều nói chung và dây lượng tử nói riêng. Dưới ảnh hưởng của từ trường điện từ mạnh cao tần, cùng sự tương tác của điện tử và phonon, trong bán dẫn khối cũng như các hệ thấp chiều xuất hiện các hiệu ứng vật lý thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học [3]. Một trong các hiệu ứng vật lý được nghiên cứu, ta không thể không kể tới hiệu ứng radio – điện của vật liệu bán dẫn. Những đặc tính của hiệu ứng radio – điện trong hệ một 1 chiều, đặc biệt là với sự có mặt của trường laser đã được nghiên cứu [4]. Tuy nhiên, bài toán nghiên cứu về hiệu ứng radio – điện trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn với cơ chế tán xạ điện tử- phonon âm chưa được nghiên cứu. Do đó, trong luận văn này tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu: “Hiệu ứng radio – điện trong dây lƣợng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn với cơ chế tán xạ điện tử phonon âm”. 2. Phƣơng pháp nghiên cứu. Để giải những bài toán thuộc loại này, ta có thể áp dụng nhiều phương pháp lý thuyết khác nhau như lý thuyết nhiễu loạn, lý thuyết hàm Green, phương pháp tích phân phiến hàm, phương trình động lượng tử… Mỗi phương pháp đều có những ưu nhược điểm của nó, nên việc sử dụng phương pháp nào tốt hơn chỉ có thể được đánh giá tùy vào từng bài toán cụ thể. Trong luận văn này, tôi sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử để xây dựng biểu thức giải tích của trường điện từ trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn với cơ chế tán xạ điện tử - phonon âm. Đây là phương pháp được sử dụng nhiều và có những ưu việt khi nghiên cứu các vật liệu bán dẫn và bán dẫn thấp chiều [5]. Ngoài ra chúng tôi còn sử dụng chương trình Matlab để tính toán số và đồ thị sự phụ thuộc của cường độ điện trường vào tần số của bức xạ laser và tần số của sóng điện từ phân cực phẳng để minh họa về sự phụ thuộc phi tuyến của trường điện từ vào các đại lượng này như đã tính toán lý thuyết ở chương 2. 3. Cấu trúc của luận văn. Luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn gồm có 3 chương, cụ thể: Chương 1: Dây lượng tử và và lý thuyết lượng tử về hiệu ứng radio – điện trong bán dẫn khối. Chương 2: Phương trình động lượng tử và hiệu ứng radio – điện trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn với cơ chế tán xạ điện tử - phonon âm. Chương 3: Tính toán số và vẽ đồ thị. 2 4. Các kết quả thu đƣợc của luận văn. - Thiết lập được phương trình động lượng tử cho điện tử trong dây lượng tử với hố thế cao vô hạn. - Tìm được biểu thức giải tích của cường độ điện trường trong dây lượng tử (cơ chế tán xạ điện tử – phonon âm) với hố thế cao vô hạn. - Áp dụng tính toán số và vẽ đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của cường độ điện trường vào các thông số đối với dây lượng tử hình chữ nhật GaAs/GaAsAl. 3 CHƢƠNG 1: DÂY LƢỢNG TỬ VÀ LÝ THUYẾT LƢỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG RADIO - ĐIỆN TRONG BÁN DẪN KHỐI 1.1. Dây lƣợng tử. 1.1.1. Tổng quan về dây lƣợng tử. Dây lượng tử (quantum wires) là cấu trúc vật liệu thấp chiều. Trong đó, chuyển động của điện tử bị giới hạn theo hai chiều (kích thước cỡ 100 nm), chỉ có một chiều được chuyển động tự do (trong một số bài toán chiều này thường được gọi là vô hạn); vì thế hệ điện tử còn được gọi là khí điện tử chuẩn một chiều. Trên thực tế chúng ta đã chế tạo được khá nhiều dây lượng tử có các tính chất vật lý khá tốt. Dây lượng tử có thể được chế tạo nhờ phương pháp eptaxy MBE, hoặc kết tủa hóa hữu cơ kim loại MOCVD. Một cách chế tạo khác là sử dụng các cổng (gates) trên một transistor hiệu ứng trường, bằng cách này, có thể tạo ra các kênh thấp chiều hơn trên hệ khí điện tử hai chiều. 1.1.2 Hàm sóng và phổ năng lƣợng của dây lƣợng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn. Do yêu cầu thực nghiệm, mô hình dây lượng tử hình chữ nhật cũng hay được đề cập đến trong các công trình mang tính lý thuyết. Để tìm phổ năng lượng và hàm sóng điện tử trong dây lượng tử có thể tìm được kết quả nhờ việc giải phương trình Schrodinger một điện tử cho hệ một chiều. r r   h2 2 H      V(r)  U(r)    E  2m *  (1.1) Trong đó: U(r) là thế năng tương tác giữa các điện tử,  : Hàm sóng; E: Năng lượng;  2 : Toán tử laplace; V(r) là thế năng giam giữ điện tử do sự giảm kích thước của dây lượng tử hình chữ nhật. Với mô hình dây lượng tử hình chữ nhật có kích thước ba trục được giả thiết lần lượt là Lx , Ly , Lz ; Lz >> Lx , Ly . Ta luôn giả thiết z là chiều không bị lượng tử hóa (điện tử có thể chuyển động tự do theo chiều này), điện tử bị giới hạn trong hai chiều còn lại (x và y trong hệ tọa độ Descarte); khối lượng hiệu dụng của điện tử là m*. 4  0 khi 0  x  Lx ;0  y  Ly V    khi x  0  x  Lx ; y  0  y  Ly (1.2) Khi đó hàm sóng có thể viết là:  n,N x , y , z   1 ikzr 2  N y   n x  2 e sin  sin     Ly    Lz Lx  Lx  Ly    0 khi 0  x  Lx ;0  y  Ly khi x  0  x  Lx ; y  0  y  Ly Và phổ năng lượng của điện tử: En,l r h2 k 2  2 h2  n2 l2  k      2m* 2m*  Lx 2 Ly 2    (1.3) Trong đó: n,l : là các số lượng tử của hai phương bị lượng tử hóa x và y. n  0, 1, 2... là các số lượng tử phương vị. là các số lượng tử xuyên tâm. l  1, 2,3... r k   0,0, kz  là vecto sóng của điện tử. Lx ; Ly là kích thước của dây theo 2 phương ox, oy. 1.2. Lý thuyết lƣợng tử về hiệu ứng radio điện trong bán dẫn khối Hiệu ứng radio- điện liên quan đến việc các hạt tải tự do của sóng điện từ mang theo cả năng lượng và xung lượng lan truyền trong vật liệu. Do đó các electron được sinh ra với sự chuyển động có định hướng và hướng này xuất hiện một hiệu điện thế trong điều kiện mạch hở. - Ta khảo sát hệ hạt tải của bán dẫn khối đặt trong: +) Một trường sóng điện từ phân cực thẳng với vecto: ur ur E (t )  E (eit  eit ) uur r ur H (t )  [n, E (t )] Với tần số ℏω ≪  (với  là năng lượng trung bình của hạt tải) trong điện ur ur trường không đổi E 0 (có tác dụng định hướng chuyển động của hạt tải theo E 0 ) 5 ur ur Một trường bức xạ laser : F (t )  F sin t được xem như một trường sóng điện từ cao tần phân cực tuyến tính với Ωτ ≫1 (τ: thời gian hồi phục đặc trưng). Dưới sự xuất hiện của 2 trường bức xạ có tần số ω và Ω sẽ làm cho chuyển động định hướng của hạt tải theo E0 sẽ bị bất đẳng hướng. Kết quả là xuất hiện các cường độ điện trường E0x, E0y, E0z là các thành phần của vecto cường độ điện trường ur không đổi E 0 theo các trục trong điều kiện phụ thuộc vào tham số của dây lượng tử: ur phổ năng lượng và các giá trị: ω, Ω, E . Đó chính là các hiệu ứng radio điện. Bây giờ ta thành lập biểu thức giải tích về cường độ điện trường E0x, E0y, E0z. ur Phương trình động lượng tử cho hàm phân bố hạt tải f ( p, t ) trong bán dẫn khối: ur ur ur ur r f ( p, t )  ur f ( p, t )  ur    eE 0  eE (t )  H [ p, h(t )], t p    r r ur r (1.4) ur M (q)  J l2 (a, q)[f ( p  q, t)  f ( p, t )] ( upr  qr   upr  l ) = 2  r l  q + Trong đó : uur ur ur 2 eH r H (t ) r e.F ur p H  ; h(t )  ;a  ;  mc H m2 p 2m (1.5) ur + Với p : xung lượng chính tắc của hạt Jl (x) : hàm Bessel của đối số thực m : Khối lượng hiệu dụng của điện tử M(q) :được xác định bởi cơ chế tán xạ của hạt tải Chúng ta chỉ xét sóng laser ở mức xấp xỉ tuyển tính theo cường độ của nó nên ta chỉ   r r 2 lấy các số hạng với l  0; 1 trong (1) và chỉ tính đến các số hạng tỉ lệ với a, q trong  a, q   r r gần đúng khai triển hàm Besel. Tức là : J 02  1; J 2 6 4 2 (1.6) Hàm phân bố hạt tải được tìm dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các phần đối ur xứng và phản đối xứng: f upr (t )  f0  f1 ( p, t ) (1.7) +) f 0 là hàm số phân bố cân bằng của hạt tải xét trong trường hợp khí điện tử không suy biến thì ta có phân bố Boltzman    upr   f 0  f 0  upr  n0* exp     k B     (1.8) ur ur uur +) Phần phản đối xứng : f1 ( p, t )   P X (t ) f 0  upr (1.9) Ta viết dạng khai triển theo thời gian ur ur ur ur f1 ( p, t )  f10 ( p)  f1 ( p) eit  f1* ( p) eit (1.10) ur ur uur f f ( p )   PX 0 1 Với :  upr (1.11) ur ur uur f f10 ( p)   P X 0 0  upr (1.12) Từ (1.9) và (1.10) ta có : uur uur uur uur X (t )  X 0  Xeit  X * eit - Theo định nghĩa: mật độ dòng bằng tích tenxo độ dẫn và cường độ điện trường: J i (t )   jk Ek (t ) Ở thời điểm t=0 thì :  u ur r ur * ur ur * J (t  0)   ( R  R )d   J 1  J 1 (1.13) 0  ur  ur J 1   ( R( )d    0 ur ur  ( ) (Q( )  S ( ))d  1  iH ( ) 0 Trong đó : 7 (1.14) ur ( R( )  ur ur  ( ) (Q( )  S ( )) 1  iH ( ) (1.15) ur e2 n ur Q E (   F ) m (1.16) ur S  en[ij (   F )  Aij (   F )]X j ( F ) X j ( F )   ur e  ( ) E m [1  iH ( )] (1.17) Trong đó : n: Mật độ hạt tải ε: Năng lượng hạt tải εF : Năng lượng Fecmi τ: Thời gian hồi phục khi không có mặt trường bức xạ laser i;j=1,2,3 λ,A: Các ma trận phụ thuộc vào từng cơ chế tán xạ. ij  2  ( ij  ai0 a0j ); Aij   ij  () 3 () 1    2 e2 F 2  ( )   ( F )   ;   m3  F  Suy ra: ur    e  ( )  e2 n ur  ( ) E  (    )  en [   (    )  A  (    )]  E  d   F ij F ij F  1  i ( )  m  m [1  i ( )]   0 ur  J1    ( F )  ur e2 n  ( F )   () A 1   E m 1  i ( F )  1  i () 1  i ( F )  (1.18) ur * e2 n  ( )   ( F )  ur  () F J1 A 1   E m 1  i ( F )  1  i () 1  i ( F )  (1.19)  8 Vậy ta được: ur ur ur * J (t  0)  J 1  J 1  () 1  i 2 () ( F )   ( F ) 1  i 2 () ( F )   ur  ( F )  e2 n  A 1    2E m 1   2 2 ( F )  1   2 2 ( F ) 1   2 2 ( F )   Mặt khác ta có : ur ur ur J (t  0)   E (t  0)   .2E Suy ra:  ij ( )   () 1  i 2 () ( F )   ( F ) 1  i 2 () ( F )   e2 n  ( F )  1    A   m 1   2 2 ( F )  1   2 2 ( F ) 1   2 2 ( F )   Lấy trung bình theo thời gian biểu thức mật độ dòng toàn phần: ur ur ur ur  J tot t  J 0 t   J (t )  J 0 Và xét trường hợp mạch hở theo tất cả các hướng, ta được: ur ur J tot  0  J 0  0 ur ur J R0 ( )d  0   Trong đó: ur r ur r 2        (  ) Q (  ), h S , h    uu r uu r H     2     d   ( )((Q0 ( )  S0 ( ))   H ( ) Re 2 2   1    (  ) 1  i  (  )    uur 1   ()  A  ( F )  E0  2  en uuur  2 2 2   ( F )    Ew  [1  i   (  )  (  )]  (  )[1  i   (  )  (  )] 2 F F F m A   ( F )1   ()   2 2 2 2 1    ( F ) 1    ( F )   ( F )   ur J0  0  uur [1   ()  A  ( F )]E0 uuur  [1  i 2 () ( F )]  2 ( F )[1  i 2 () ( F )]  Ew 2    ( F )1   () A  1   2 2 ( F ) 1   2 2 ( F )    ( F ) Suy ra: 9 ur uur E 0    ()  A  ( F )  E0  uuur  [1  i 2 () ( F )]  2 ( F )[1  i 2 () ( F )]  Ew 2   ( F )1   () A  1   2 2 ( F ) 1   2 2 ( F )    ( F ) Giải phương trình trên bằng phương pháp lặp và gần đúng tuyến tính theo β với A,λ~β  ( F ) 1   ()  A  ( F )    uuur ur   Ew E0    2 [1  i 2 () ( F )]  2 ( F )[1  i 2 () ( F )]   () 1   2 2 ( )  A   ( F ) 1   2 2 ( F )  F  1   ()  A  ( F )     2  uuur     () [1  i 2 () ( F )]  ( F )[1  i 2 () ( F )]  Ew   ( ) 1   2 2 ( )  A  1   2 2 ( F )  F F  Với: uuur   W ur EW   enc Trong đó: ∝: là hệ số hấp thụ  : chỉ số khúc xạ W:Năng thông trung bình của sóng điện từ c:Vận tốc ánh sáng trong chân không ur  : Vecto sóng của phonon - Để đơn giản ta chọn trục: r ur uur Oz // n; Ox // E; Oy / / H 10 (1.20) Khi đó các vecto thành phần của vecto cường độ điện trường không đổi theo các trục Ox, Oy, Oz được cho bởi :  2 ()[1   2 () ( F )]  ( F )[1   2 ( F )]  E0 x  Ew    Azx  zx 2 2 1   2 2 ( F )   ( F )[1    ( F )]  (1.21) E0 y  Ew  ()zy   ( F ) Azy  (1.22) 1   ()zz   ( F ) Azz     E0 z   Ew  1  2 ()[1   2 () ( F )]  2 ( F )[1   2 ( F )]   (1.23) Axx   2 2  ( )   ( )[1   2 2 ( )] xx  1    (  ) F  F F F   Như vậy biểu thức (1.21), (1.22) và (1.23) cho thấy cường độ điện trường phụ thuộc vào các thông số của dây trong bán dẫn khối dưới tác của trường điện từ và sóng laser. - (1.21) và (1.22) xác định hiệu ứng radio điện ngang. - (1.23) xác định hiệu ứng radio điện dọc. 11 CHƢƠNG 2: HIỆU ỨNG RADIO – ĐIỆN TRONG DÂY LƢỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT VỚI HỐ THẾ CAO VÔ HẠN VỚI CƠ CHẾ TÁN XẠ ĐIỆN TỬPHONON ÂM 2.1. Hamiltonian của hệ điện tử – phonon trong dây lƣợng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn. Hamiltonian của hệ điện tử -phonon trong dây lượng tử khi có mặt sóng điện từ có dạng: H  H0  U H   ur , n, ,l , p z    n ,l , I ur , r n, ,l , p z , n1, ,l1, , q ur , , pz (2.1) e ur  ur ,   r br br p  A(t )  a , , ur , a , , ur ,     z q q q r c   n , l p z n ,l p z q ur , n, ,l , p z , n1, ,l1, Cqr a , ur , r n ,l , p z  q a ur , n1, ,l1, p z  bqr  bqr (2.2)  Trong đó: a , ur , n ,l p z , a, ur , : toán tử sinh, hủy điện tử ở trạng thái n, , l , p z ur , n ,l p z , a uur n ,l , p z a  n ,l ; a , ur , n ,l , p z   a ur , n, ,l , p z ; a , ur , n ,l , p z  ur , n ,l ,n, ,l , p z  ur ur , pz , p z    a ur ; a uur   0 ,   n,l , p z n ',l , p 'z  r bqr , bqr : toán tử sinh, hủy phonon ở trạng thái q uur , pz ; a , ur , n ,l , p z br ; buur   buur ; br    r uur  q q '   q ' q  q ,q ' b r ; buur   br ; buur   0  q q'   q q'  + Thừa số dạng cho điện tử trong dây lượng tử (trong trường hợp dây lượng tử hình chữ nhật): 12 I n ,l ,n' ,l ' 32 4  qx Lx nn ' 1  (1) n n ' cos(qx Lx )  2  r q  (qx Lx ) 4  2 2 (qx Lx ) 2 (n 2  n '2 )   4 (n 2  n '2 )  2  32 4  q y Lyll ' 1  (1)l l ' cos(q y Ly )  2  (q y Ly ) 4  2 2 (q y Ly ) 2 (l 2  l '2 )   4 (l 2  l '2 )  (2.3) 2 ur + A(t ) : thế vecto của trường sóng điện từ mạnh +  uur n ',l , , p ' z : năng lượng của điện tử trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn. + Hệ số tương tác điện tử- phonon âm có dạng: 2 Cqr   .q  C0 .q 2  vs .V (2.4) V: Thể tích chuẩn hóa (thường chọn V= 1) vs : vận tốc sóng âm.  : mật độ tinh thể. 2.2. Phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử.  Gọi nn,,l uupr (t )  an,l ,uupr an,l ,uupr z z z là số điện tử trung bình tại thời điểm t. t  Phương trình động lượng tử cho điện tử trong dây lượng tử ih Hay: ih nn,l ,uupr  t  z t nn,l ,uupr  t  z t   an,l ,uupr an,l ,uupr , H  z z   [6] t   an,l ,uupr an,l ,uupr , H 0  U  z z   (2.5) t  Ta lần lượt tính các số hạng trong biểu thức (2.5) 13    uur' e ur   uuur uuur   Số hạng thứ nhất: sh1 t   an,l ,uupr an,l ,uupr ,   p  A t a a    n ',l ', p' n ',l ', p' uuuuur n ',l '  z z z z z  hc '    n ', l ', p z   t Ta có:   uur e ur  an,l ,uupr an,l ',uupr ,   n ',l '  p 'z  A  t  a  uuu'r a uuu'r   uuur z z hc    n ',l ', p z n ',l ', p z  n ',l ', p'z   uur' e ur    uur uur  uuur  uuur  n ',l '  pz  A  t   an,l , p an,l , p , a ' a uur'  n ',l ', p z n ',l ', pz  z z  hc    n ',l ', p 'z n ',l ', pz'   uur  z uur  n ',l '  p'    uur  uuur  n ',l '  pz'  n ',l ', p 'z e ur    uur A  t   an,l , p a uuu'r  n,n' ,l ,l ' uur uuu'r  a  uuu'r an,l ,upr  n,n' ,l ,l ' uur uuu'r  pz , p z n ',l ', p z pz , p z  z n ',l ', p z z  hc    uur  e ur    uur A  t   an,l , p a uuu'r  a  uuu'r an,l ,upr  n,n ',l ,l ' uur uur' n ',l ', p z pz , pz z n ',l ', p  z  z hc    uur  z e ur    uur A  t    an,l , p , a uur'  n,n' ,l ,l ' uur uuu'r n ',l ' pz  pz , p z z hc  uuur  n ',l '  pz'   n ',l ', p 'z  uuur  n ',l '  p'  n ',l ', p 'z e ur    uur uur  uuur A  t   an,l , p an,l , p a ' a uuu'r  a  uuu'r a uur' an,l , uupr an,l uupr  n ',l ', p z n ',l ', p z n ',l ', p z z z n ',l ', p z z  z  hc   0 Vậy: sh1 t 0  Số hạng thứ hai: sh2 (2.6) t    r, r br br   an,l ,uupr an,l ,uuu h    p q q q r z z q   0 (2.7) t  Số hạng thứ ba:  sh3 t   an,l ,uupr an,l ,uupr ,  uur  Cqr I n1n21l2 a  uuu'r r a uuuu'ur bqr  bqr r z z n2 , l2 , p z  q n1 ,l1 pz  n1 , n2 ,l1 ,l2 , pz' q  Ta có: 14    t      uu r uu r r r r  an,l , p an,l , p ,   Cq I n1n21l2 a uuuur r a uuuuur bq  b q   uuur r n2 , l2 , p ' z  q z z n1 ,l1 , pz'   n1 , n2 ,l1 ,l2 , p 'z q     uuur  Cqr I n1n2l1l2  an,l ,uupr an,l ,uupr , a n ,l , upuu'ur  qr a uuuu'ur  bqr  bqr r z z 2 2 z n1 ,l1 , pz   n1 ,n2 ,l1 ,l2 , p ' q    z  CI r q n1n2l1l2 r n1 ,l1 ,q   CI an,l ,uupr a n ,l ,uupuuuruqur bqr  bqr  z 1 1 z r q n1n2l1l2 r n2 ,l2 ,q   a n ,l , upuur  qr an,l ,uupr bqr  bqr 2 2 z z  Chuyển n2  n1; l2  l1; n1  n '; l1  l ' ta suy ra:  CI sh3 t  r n ',l ', q  an,l ,uupr a n ',l ',uupuuuruqur bqr  bqr n ,n ',l ,l ' z z    r Cqr I n,n ',l ,l ' a n',l ', uuup r  quur an,l ,uupr bqr  bqr   a  uur a br  n,l , pz n ',l ',uupuuzuruqur q C I r q n , n ',l ,l ' r n ',l ', q  a n',l ', uuup r  quur an,l ,uupr bqr z z  z z n ',l ',q t z z t  an,l ,uupr a n ',l ',uupuuuruqur bqr z  a z z an,l ,uupr b qr r uuur n ', l ', pz  q t  a n,l , uuup r a n ',l ', uuup r  qr bqr t   t  a n',l ', uuup r  quur an,l ,uupr bqr  z z t   r Cqr I n,n ',l ,l '  an,l ,uuprz an ',l ',uupuuzuruquuurbqr n ',l ', q   a n',l ', uuup r  qr an,l ,uupr bqr t  t z *  t   t * z (2.8) Thay (2.6), (2.7), (2.8) vào (2.5) ta được: ih nn,l ,uupr (t ) z t  C I r n ',l ', q r q n , n ',l ,l '  a n',l ', uuup r  quur an,l ,uupr bqr z z  C I r n ',l ', q r q n ,n ' l ,l '    an,l ,uuprz a n ',l ',uupuuzuruqur bqr  t  a t  a n,l , uuup r a n ',l ', uuup r  quur bqr z z  uuur r n ',l ', p z  q * a b uur r n ,l , pz  q   t * * F r uur r r t  F r t  r r r  n,l , pz ,n ',l ', pz q ,q   n ',l ', pz q ,n,l , pz , q   15 t 