Tài liệu Về phép biến đổi fourier phân và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Phạm Thị Thảo VỀ PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Phạm Thị Thảo VỀ PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán học tính toán Mã số: 60 46 30 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. NGUYỄN MINH TUẤN Hà Nội - 2012 Lời cảm ơn Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến thầy tôi, PGS. TS. Nguyễn Minh Tuấn, người thầy kính mến đã hết lòng dạy bảo, hướng dẫn, giúp đỡ và động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn Thạc sỹ và những năm trước đó khi tôi thực hiện khóa luận tốt nghiệp. Tôi xin cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán-Cơ-Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã nhiệt tình dạy bảo và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt những năm học vừa qua. Đồng thời, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô và các anh chị trong Seminar "Giải số phương trình vi phân" thuộc bộ môn Toán học Tính toán và Toán ứng dụng, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội về những trao đổi khoa học quý báu. Nhân dịp này, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các anh chị em đồng nghiệp, bạn bè và các anh chị em trong nhóm Toán học Tính toán, Cao học 2009-2011 về những hỗ trợ, chia sẻ và giúp đỡ trong suốt thời gian tôi học tập và thực hiện luận văn. Cuối cùng, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn vô hạn đến gia đình tôi, những người đã ủng hộ, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt những năm tháng qua để tôi có thể hoàn thành luận văn này. i Lời mở đầu Những kiến thức ban đầu liên quan đến phép biến đổi Fourier phân đã được xây dựng từ những năm 1920-1930. Sau đó, phép biến đổi này nhiều lần được phát triển. Trong suốt thập niên 1980, nó nhận được sự quan tâm của một số nhà toán học [7, 9]. Trong [7, 9], các tác giả V. Namias, A.C. McBride và F.H. Kerr không chỉ đưa ra định nghĩa chuẩn cho phép biến đổi Fourier phân như là sự tổng quát hóa của phép biến đổi Fourier thông thường mà còn phát triển các phép toán tử cho biến đổi này đồng thời ứng dụng nó để giải quyết các vấn đề trong cơ học lượng tử. Tuy nhiên, phép biến đổi Fourier phân chỉ thực sự được quan tâm mạnh mẽ từ sau loạt bài báo về ứng dụng trong quang học, xử lý tín hiệu [2, 3, 8, 10]. Từ đó đến nay, nó đã trở thành một một công cụ rất hiệu quả trong xử lý các tín hiệu có tần số phụ thuộc thời gian và xử lý các tín hiệu quang học. Nhiều nghiên cứu trên phép biến đổi Fourier phân đã được thực hiện nhằm giải quyết các bài toán ứng dụng trong quang học, xử lý tín hiệu, hệ động lực học, quá trình ngẫn nhiên. Trong thời gian gần đây lý thuyết về tích chập của phép biến đổi Fourier phân đã được nhiều tác giả quan tâm [6, 12, 4, 13]. Dựa trên những kết quả đã có về tích chập của phép biến đổi Fourier, các tác giả tập trung xây dựng các tích chập đối với phép biến đổi Fourier phân và ứng dụng các tích chập trong thiết kế bộ lọc. Nội dung của luận văn ngoài phần mở đầu và kết luận, gồm hai chương: i Chương 1 trình bày các kiến thức nền tảng về phép biến đổi Fourier phân bao gồm định nghĩa, biểu diễn tích phân, các tính chất và phép toán toán tử. Trong chương này, luận văn cũng giới thiệu một vài ứng dụng của phép biến đổi Fourier phân trong cơ học lượng tử và xử lý tín hiệu. Chương 2 xây dựng các tích chập có trọng, tích chập suy rộng của phép biến đổi Fourier phân và ngược của nó đồng thời áp dụng các chập này để giải phương trình tích phân dạng chập. Mặc dù đã rất cố gắng nhưng do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự đóng góp của các thầy cô và các bạn để nội dung luận văn được hoàn thiện hơn. Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, năm 2012 Học viên Phạm Thị Thảo ii Bảng ký hiệu DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU FT Phép biến đổi Fourier F RF T Phép biến đổi Fourier phân Hn (x) Đa thức Hermite bậc n: Hn (x) = (−1) ex n 2 dn −x2 e dxn x2 với n ∈ N. Hàm Hermite bậc n: φn (x) = e− 2 Hn (x).   R 1 • Không gian L (R) := f : R → C : |f (x)| dx < +∞ φn (x) R • Với f ∈ L1 (R) và kí hiệu Nn := √ 1 2π|sin α| 1 kf k0 := p 2π |sin α| kf k1 := p Nn 2π |sin α| iii Z R R |φn (x)| dx, |f (x)| dx, R Z R |f (x)| dx. Mục lục Lời cảm ơn i Lời mở đầu i Danh mục các ký hiệu iii 1 Phép biến đổi Fourier phân 1 1.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier phân . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Biển diễn tích phân của phép biến đổi Fourier phân . . . . . 3 1.3 Phép tính toán tử tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Phép biến đổi Fourier phân của một số hàm thường dùng . . 11 1.5 Ứng dụng của phép biến đổi Fourier phân . . . . . . . . . . 14 1.5.1 Ứng dụng trong cơ học lượng tử . . . . . . . . . . . . 14 1.5.2 Ứng dụng trong xử lý tín hiệu . . . . . . . . . . . . . 19 2 Tích chập của phép biến đổi Fourier phân 29 2.1 Về tích chập của biến đổi Fourier phân . . . . . . . . . . . . 29 2.2 Một số tích chập có trọng của biến đổi Fourier phân . . . . . 31 2.3 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Kết luận 45 iv Chương 1 Phép biến đổi Fourier phân 1.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier phân Phép biến đổi Fourier và phép biến đổi Fourier ngược trong không gian L2 (R) được định nghĩa như sau 1 g(u) = √ 2π Z∞ f (x)e−iux dx, (1.1.1) −∞ 1 f (x) = √ 2π Z∞ g(u)eiux du, (1.1.2) −∞ trong đó Phương trình (1.1.1) thường được xem là Fourier và Phương trình (1.1.2) là Fourier ngược. Chuyển sang dạng toán tử, phép biến đổi này được cho bởi công thức sau 1 F π2 [f (x)] = √ 2π F− π2 Z∞ f (x)e−iuxdx, (1.1.3) −∞ 1 [f (x)] = √ 2π Z∞ f (x)eiux dx. (1.1.4) −∞ Toán tử F π2 và F− π2 là các liên hợp phức của nhau, thỏa mãn hệ thức F π2 F− π2 = F− π2 F π2 = 1. Chúng ta chú ý rằng nếu F π2 [f (x)] = g(u) thì F π2 [g(u)] = f (−x), 1 (1.1.5) 2 1.1. Định nghĩa phép biến đổi Fourier phân và nếu F π2 [f (−x)] = g(−u) thì F π2 [g(−u)] = f (x). (1.1.6) Có thể chỉ ra rằng hàm riêng của phép biến đổi Fourier là các hàm Hermite e−x 2 /2 Hn (x) với giá trị riêng e−in 2 , trong đó Hn (x) là đa thức Hermite cấp π n. Điều này được biểu diễn dưới dạng toán tử i 2 π Hn (x) = e−in 2 e−x /2 Hn (x). (1.1.7) h 2 i 2 Fα e−x /2 Hn (x) = e−inα e−x /2 Hn (x). (1.1.8) F π 2 h e −x2 /2 Bây giờ, chúng ta mở rộng phương trình giá trị riêng này với tham số liên tục α Toán tử tổng quát Fα có thể được biểu diễn dưới dạng e−iαA . Từ dạng này, toán tử A được xác định bằng một vài kỹ thuật biến đổi đại số A=− 1 2 1 1 d2 + x − . 2 dx2 2 2 (1.1.9) Biến đổi Fourier và Fourier ngược lần lượt ứng với các giá trị α = π 2 và α = − π2 . α = 0 ứng với toán tử đồng nhất còn α = π ứng với toán tử chẵn lẻ. Nếu chúng ta xác định cấp a của phép biến đổi Fourier phân bằng công thức a = α/(π/2) thì phép biến đổi Fourier thông thường có cấp 1. Cấp của phép biến đổi được giới hạn trong đoạn −2 ≤ a ≤ 2. Các tính chất dưới đây được  suy ra trực tiếp từ biển diễn toán tử. P P bk Fα [fk (u)]. bk fk (u) = Tuyến tính. Fα k Biến đổi ngược. (Fα ) Unitary. (Fα ) −1 −1 = F−α . k = (Fα ) . ∗ Cộng chỉ số. Fα+β = Fα Fβ . Giao hoán. Fβ Fα = Fα Fβ . Kết hợp. Fγ (Fβ Fα ) = (Fγ Fβ )Fα . Hàm riêng. Fα [φn (x)] = e−inα φn (x). 3 1.2. Biển diễn tích phân của phép biến đổi Fourier phân Dạng toán tử mặc dù khá hữu dụng trong nghiên cứu lý thuyết nhưng rất khó để sử dụng vào tính toán. Để khai thác triệt để phép biến đổi mới, toán tử được biểu diễn lại dưới dạng tích phân. Biển diễn tích phân được tác giả V. Namias xây dựng lần đầu tiên trong bài báo [9] và sau đó được hai tác giả A. McBride và F. Kerr [7] điều chỉnh nhằm khắc phục những điểm chưa chặt chẽ. 1.2 Biển diễn tích phân của phép biến đổi Fourier phân Phương trình hàm riêng Fα [φn ](x) = e−inα φn (x) chỉ ra rằng đa thức Hermite là hàm riêng của toán tử Fα với giá trị riêng e−inα . Mọi hàm bình phương khả tích f đều khai triển được thông qua các P∞ hàm riêng này n=0 an φn (x) với 1 an = n √ 2 n! π Z+∞ x2 Hn (x)e− 2 f (x)dx. −∞ Tác động toán tử Fα lên hàm f ta được "∞ # ∞ ∞ X X X fα := Fα [f ] = Fα an φn = an Fα [φn ] = an e−inα φn . n=0 n=0 n=0 Đến đây, chúng ta có định nghĩa của biến đổi Fourier phân dưới dạng chuỗi, tuy nhiên dạng này không thuận tiện cho mục đích tính toán. Tiếp tục thay an trong chuỗi bởi biểu diễn tích phân ta thu được   +∞ Z ∞ X  1√ fα (p) = φn (x)f (x)dx e−inα φn (p) n 2 n! π n=0 −∞ 4 1.2. Biển diễn tích phân của phép biến đổi Fourier phân = Z+∞X e−inα Hn (p)Hn (x) −(x2 +p2)/2 √ e f (x)dx n=0 2n n! π ∞ −∞ 1 =√ √ π 1 − e−2iα Z∞ −∞  2xpe−iα − e−2iα (x2 + p2 ) exp 1 − e−2iα   2  x + p2 exp − f (x)dx, 2 trong đó bước biến đổi cuối sử dụng công thức Mehler [5]   2xpe−iα −e−2iα (x2 +p2 ) 1−e−2iα X∞ e−inα Hn (p)Hn (x) exp √ √ = . √ n=0 2n n! π π 1 − e−2iα Để đơn giản biểu diễn, chúng ta sử dụng các đẳng thức sau 2xpe−iα = −ixp csc α, 1 − e−2iα i π e− 2 ( 2 αb−α) 1 =p , √ √ π 1 − e−2iα 2π |sin α| e−2iα 1 i + = − cot α, −2iα 1−e 2 2 trong đó α b = sgn(sin α). Rõ ràng là các đẳng thức này chỉ đúng trong trường hợp sin α 6= 0, tức là α ∈ / πZ. Biểu diễn tích phân thu được là e− 2 ( 2 αb−α) e 2 p cot α p fα (p) = (Fα f ) (p) = 2π |sin α| i π i 2 Z∞ −∞   i 2 xp + x cot α f (x)dx, exp −i sin α 2 trong đó α b = sgn(sin α) và 0 < |α| < π. Trong dạng toán tử, biến đổi Fourier phân được định nghĩa (Fα f ) (p) = f (p) nếu α = 0 và (Fα f ) (p) = f (−p) nếu α = ±π. Điều này vẫn đúng với biểu diễn tích phân vừa tìm được vì tại các giá trị này, lim fα+ε = fα . Do ε→0 đó, với tính chất giới hạn này, ta có thể giả thiết rằng biểu diễn tích phân đúng trên toàn đoạn |α| ≤ π. Rõ ràng, trường hợp |α| > π có thể lấy modul và đưa về trường hợp trong khoảng [−π, π]. Định lý dưới đây được chứng minh cụ thể trong [7]. 5 1.2. Biển diễn tích phân của phép biến đổi Fourier phân Định lý 1.2.1. Giả sử rằng α = a π2 thì biến đổi Fourier phân có biểu diễn tích phân (Fα f ) (p) = Z∞ Kα (p, x)f (x)dx, −∞ trong đó nhân của biến đổi được xác định là r   i π ixp i(x2 + p2 ) 1 − i cot α e− 2 ( 2 αb−α) Kα (p, x) = cα exp − + , cα = p = sin α 2 2π 2π |sin α| với a ∈ / 2Z; Kα (p, x) = δ (p − x) với a ∈ 4Z; và Kα (p, x) = δ (p + x) với a ∈ 2 + 4Z. Sử dụng công thức nhân q n  ixp  1−i cot α  exp − sin +  2π α   Kα (p, x) = δ (p − x) ,      δ (p + x) , i(x2 +p2 ) cot α 2 o , nếu α 6= kπ nếu α = 2kπ nếu α = (2k + 1)π (1.2.1) biến đổi Fourier phân được định nghĩa dưới dạng tích phân như sau (Fα f ) (p) = Z∞ Kα (p, x)f (x)dx −∞ = q n R∞  ixp 1−i cot α 2i p2 cot α  exp − sin e +  2π α   −∞  f (p),      f (−p), ix2 cot α 2 o f (x)dx, nếu α 6= kπ nếu α = 2kπ nếu α = (2k + 1)π. Vấn đề điều kiện tồn tại của biến đổi Fourier phân đã được nghiên cứu trong [11]. Tác giả chỉ ra rằng biến đổi Fourier phân tồn tại trong cùng điều kiện phép biến đổi Fourier tồn tại. Một số các tính chất sau của nhân phép biến đổi được suy ra trực tiếp từ định nghĩa. 6 1.2. Biển diễn tích phân của phép biến đổi Fourier phân Định lý 1.2.2. Nếu Kα (p, x) là nhân của phép biến đổi Fourier phân thì 1. Kα (p, x) = Kα (x, p) (đối xứng chéo). 2. K−α (p, x) = Kα (p, x) (liên hợp phức). 3. Kα (−p, x) = Kα (p, −x) (đối xứng điểm). 4. R∞ Kα (p, t)Kβ (t, x)dt = Kα+β (p, x) (tính cộng tính). −∞ 5. R∞ −∞ Kα (p, x)Kα (t, x)dx = δ(p − t) (tính trực giao). Mặc dù phép biến đổi Fourier phân được định nghĩa với mọi α thực nhưng do tính tuần hoàn của các hàm lượng giác liên quan nên biến đổi này thường được xét trên đoạn [−π, π]. Lúc này, dạng tích phân được cho bởi công thức Fα [f ] (p) = Z∞ (1.2.2) f (x)Kα (x, p)dx, −∞ trong đó Kα (x, p) = q  i cot α 2  1−i cot α 2  exp (x + p − 2xp sec α) , nếu α 6= 0, π2 , π  2π 2      δ (x − p) nếu α = 0   δ (x + p)        √1 e−ixp 2π nếu α = π nếu α = π 2 là phép biến đổi Fourier phân (FRFT), và F−α [g] (x) = Z∞ −∞ g(p)K−α (x, p)dp, (1.2.3) 7 1.3. Phép tính toán tử tổng quát trong đó K−α (x, p) = q  i cot α 2  1+i cot α 2  exp − (x + p − 2xp sec α) , nếu α 6= 0, π2 , π  2π 2      δ (p − x) nếu α = 0   δ (x + p)        √1 eixp nếu α = π nếu α = 2π π 2 là phép biến đổi Fourier phân ngược (IFRFT). Định lý Parseval quen thuộc đối với phép biến đổi Fourier cũng được mở rộng đến phép biến đổi Fourier phân. Z+∞ Z+∞ x(t)y ∗ (t)dt = Xα (u)Yα∗ (u)du. −∞ −∞ Bằng việc áp dụng Định lý Parseval, tính chất bảo toàn năng lượng (bảo toàn chuẩn) dưới đây đã được chứng minh Z+∞ Z+∞ 2 2 |x(t)| dt = |Xα (u)| du. −∞ −∞ Như vậy, nếu hàm f (x) ∈ L2 (R) thì ảnh của nó qua phép biến đổi Fourier phân cũng là một hàm thuộc không gian L2 (R). 1.3 Phép tính toán tử tổng quát Cũng như trong trường hợp phép biến đổi Fourier và phép biến đổi Laplace, phép tính toán tử có thể xây dựng dựa trên phép biến đổi Fourier phân. Phép biến đổi của tích Cho f (x) là một hàm bất kỳ thuộc lớp hàm L2 (R), ta cần chỉ ra phép biến đổi Fourier phân của xm f (x). Sử dụng công thức truy hồi Hn+1 (x) + 2nHn−1 (x) − 2xHn (x) = 0, 8 1.3. Phép tính toán tử tổng quát ta suy ra h i p2 p2 x2 Fα xe− 2 Hn (x) (p) = pe− 2 e−i(n+1)α Hn (p)+ne− 2 (e−i(n−1)α (1.3.1) − e−i(n+1)α )Hn−1 (p). Mặt khác, Hn (p) = 2Hn−1 (p) nên i h p2 p2 x2 d Fα xe− 2 Hn (x) = −pe−inα e− 2 Hn (p) + 2ne−inα e− 2 Hn−1 (p). (1.3.2) dp ′ p2 Rút gọn ne−inα e− 2 Hn−1 (p) giữa phương trình (1.3.1) và (1.3.2) ta thu được  h h x2 i  i 2 d − x2 − 2 Fα xe Hn (x) = p cos α + i sin α Fα e Hn (x) . dp Suy ra   d Fα [xf ] = p cos α + i sin α Fα [f ]. dp Dạng toán tử của phương trình này là   d Fα . Fα x = p cos α + i sin α dp Lặp lại công thức (1.3.4) ta có kết quả  m d m Fα x = p cos α + i sin α Fα . dp (1.3.3) (1.3.4) (1.3.5) Từ phương trình (1.3.5) ta có ngay Fα [x2 f ] = 1 d d2 sin 2α(i + p2 cot α)Fα[f ] + ip sin 2α Fα [f ] − sin2 α 2 Fα [f ]. 2 dp dp (1.3.6) Bây giờ ta xét hàm g(x) với giả thiết khai triển được thành chuỗi Taylor P g(x) = bm xm . Sử dụng phương trình (1.3.5), ta tìm được phương trình toán tử tổng quát hơn   d Fα . Fα [g(x)] = g p cos α + i sin α dp Tác động toán tử này lên hàm f ta được   d Fα [f ]. Fα [gf ] = g p cos α + i sin α dp (1.3.7) (1.3.8) 1.3. Phép tính toán tử tổng quát Đổi thứ tự của f và g ta cũng tìm được   d Fα [gf ] = f p cos α + i sin α Fα [g]. dp 9 (1.3.9) Vậy biến đổi Fourier phân của xm f (x) trong đó f (x) thuộc lớp hàm Lebesgue L2 trong khoảng (−∞, +∞) được cho bởi công thức m  d m Fα [f (x)] . Fα [x f (x)] = p cos α + i sin α dp (1.3.10) Đặc biệt, trong trường hợp m = 2:   1 Fα x2 f (x) = sin 2α(i + p2 cot α)Fα [f (x)] + 2 1 d d2 ip sin 2α Fα [f (x)] − sin2 α 2 Fα [f (x)] . 2 dp dp (1.3.11) Phép biến đổi của vi phân Quy tắc chỉ ra phép biến đổi Fourier phân của đạo hàm một hàm số. Bằng cách sử dụng biểu diễn tích phân (1.2.2) và phương pháp tích phân từng phần với giả thiết hàm f (x) → 0 khi x → ±∞, ta tìm được   df ip Fα Fα [f ]. = −i cot αFα [xf ] + dx sin α Sử dụng phương trình (1.3.3), ta được     df d Fα = ip sin α + cos α Fα [f ] . dx dp Dạng toán tử của phương trình (1.3.12) là     d d = ip sin α + cos α Fα , Fα dx dp và có thể mở rộng đến đạo hàm cấp cao  m   m d d Fα = ip sin α + cos α Fα . dxm dp (1.3.12) (1.3.13) (1.3.14) Trong trường hợp đạo hàm cấp 2, ta có công thức  2  d d2 df 2 2 = (−p sin α+i cos α) sin αF [f ]+ip sin 2α F [f ]+cos α Fα [f ] Fα α α dx2 dp dp2 (1.3.15) 10 1.3. Phép tính toán tử tổng quát Với hàm g(x) khai triển được thành chuỗi Taylor, ta có       df d Fα g f = g ip sin α + cos α Fα [f ] . dx dp (1.3.16) Phép biến đổi của tích hỗn tạp Bằng cách sử dụng công thức (1.3.10) và (1.3.14) trong trường hợp m = 1 ta tìm được công thức phép biến đổi của tích hỗn tạp  
df = − sin α + ip2 cos α sin αFα (f ) + Fα x dx d i d2 p cos 2α Fα (f ) + sin 2α 2 Fα (f ) . dp 2 dp (1.3.17) Phép biến đổi của thương
Để tìm Fα fx , ta bắt đầu từ công thức (1.2.3) bằng cách thay f bởi fx . Công thức phép biến đổi của thương được cho dưới đây.   Zp 2 f i ip22 cot α − ip2 cot α Fα Fα (f ) dp. =− e e x sin α (1.3.18) −∞ Phép biến đổi của tích phân Rx Xét hàm g(x) = f (x)dx, ta suy ra f (x) = (1.3.12), ta có a Fα [f ] = Fα  d dx g(x). Áp dụng công thức  d d g(x) = (ip sin α + cos α) Fα [g] . dx dp (1.3.19) Đặt gα := Fα [g] và fα := Fα [f ], ta thu được phương trình vi phân ′ ip sin α gα (p) + cos αgα (p) = fα (p). Giải phương trình này ta thu được công thức  x  Z Zp ip2 ip2 Fα  f (x)dx = sec α.e 2 tan α e− 2 tan α Fα (f ) dp. a (1.3.20) a Phép tịnh tiến Bằng cách thay biến x trong công thức (1.2.2) biểu diễn tích phân của phép 1.4. Phép biến đổi Fourier phân của một số hàm thường dùng 11 biến đổi Fourier phân bởi x = x + b ta thu được ′ 1 Fα [f (x + b)] = eib sin α(p+ 2 b cos α) Fα [f (x)] (p + b cos α). (1.3.21) Phép mũ   1 Fα eibx f (x) = eib cos α(p+ 2 b sin α) F α [f (x)] (p + b sin α) . 1.4 (1.3.22) Phép biến đổi Fourier phân của một số hàm thường dùng Dưới đây, chúng ta liệt kê các biến đổi Fourier phân của một số hàm thông dụng (chứng minh chi tiết có thể tham khảo tại [1]). Hàm đơn vị. Biến đổi Fourier phân của hàm f (x) = 1 là r 1 + i tan α −i p22 tan α Fα [1] = e 2π khi α 6= π 2 + kπ. Biến đổi là δ(p) khi α = π 2 + kπ. Hàm delta. Biến đổi Fourier phân của hàm f (x) = δ(x − x0 ) là r 1 − i cot α 2i (p2 cot α−2px0 csc α+x20 cot α) Fα [δ(x − x0 )] = e 2π khi α 6= kπ. Biến đổi là δ(p − p0 ) khi α = π + 2kπ và α = 2kπ. Hàm Hermite. Biến đổi Fourier phân của hàm Hermite φn (x) là Fα [φn (x)] = e−inα φn (x). Hàm chirp tổng quát. Hàm f (x) = e 2 (χx i là h i 2 i (χx +2γx) 2 Fα e = khi α 6= arctan χ + π 2 + kπ. s 2 +2γx) có biến đổi Fourier phân α)+2pγ sec α−γ 2 tan α 1 + i tan α i p2 (χ−tan 2(1+χ tan α) e 1 + χ tan α 12 1.4. Phép biến đổi Fourier phân của một số hàm thường dùng Hàm Gaussian tổng quát. Hàm f (x) = e− 2 (χx 1 phân là h Fα e − 21 (χx2 +2γx) i = s 2 +2γx) có biến đổi Fourier 2 2 sec α+γ 2 1 − i cot α 2i cot α p (χ −1χ)2+2pχγ 2 +cot α e χ − i cot α ×e 2 χ+2pγ cos α−χγ 2 sin2 α χ2 +cot2 α − 21 csc2 α p . Trong đó χ > 0 được yêu cầu cho sự hội tụ. Hình 1.1: Các tín hiệu và FRFT của nó (α = π/4): (a) Biển diễn miền thời gian của hàm Dirac; (b) FRFT của hàm Dirac; (c) Biển diễn miền thời gian của hàm đơn vị; (d) FRFT của hàm đơn vị; (e) Biển diễn miền thời gian của hàm mũ; (f) FRFT của hàm mũ. Đường nét liền: phần thực. Đường nét đứt: phần ảo. 1.4. Phép biến đổi Fourier phân của một số hàm thường dùng 13 Hình 1.2: FRFT của hàm chữ nhật được tính toán với các góc khác nhau. Đường nét liền: phần thực. Đường nét đứt: phần ảo.