Saùng kieán kinh nghieäm
Tröôøng T H C S Myõ Hoøa
A. ĐẶT VẤN ĐỀ:
Trong báo cáo về nhiệm vụ năm học, Bộ giáo dục & Đào tạo chỉ rõ:
Chỉ đạo mạnh mẽ việc đổi mới phương pháp dạy học và phong trào tự học, tự
đào tạo''. '' Coi trọng giáo dục chính trị, tư tưởng nhân cách, khả năng tư duy sáng
tạo và năng lực thực hành của học sinh''. '' Quyết tâm thực hiện 2 không trong
ngành giáo đục''. Chủ trương đó hoàn toàn phù hợp với những yêu cầu cấp bách
của công cuộc công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước như nước ta hiện nay.
Căn cứ vào nhiệm vụ, mục tiêu của ngành giáo dục, căn cứ vào thức trạng
dạy- học toán hiện nay, hướng đổi mới phương pháp dạy học toán ở trường THCS
là tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, tập trung việc rèn luyện khả năng
tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo.
Để trở thành học sinh giỏi là ao ước của mọi học sinh , đó là điều mọi bậc phụ
huynh điều mong muốn cho con mình được thành đạt và đây cũng là niềm tư hào
của các thầy cô giáo trong mọi miền đất nước .
Trong chương số học của THCS, các bài toán về phân tích một số ra thừa số
nguyên tố và tính chất chia hết của số nguyên hết sức phong phú và đa dạng. Vì
nó vận dụng kiến thức cơ bản vào giải toán và còn phát triển tư duy cho học sinh.
Khi gặp một bài toán chứng minh chia hết, học sinh sẽ gặp khó khăn nếu không
nắm vững kiến thức cơ bản và các dạng bài tập, cách làm các dạng bài tập đó
Vậy làm thế nào để học sinh biết làm các bài toán chia hết và biết cách vận
dụng nó để giải các dạng toán khác và ứng dụng nó trong thực tế? Và làm thế nào
để học sinh cảm thấy có sự say mê, hào hứng khi giải các bài toán nhất là đối với
học sinh giỏi học toán?
Đó là vấn đề tôi luôn quan tâm và luôn tìm phương pháp tối ưu, để đạt được
mục đích đó tôi lựa chọn đề tài "Một số dạng toán áp dụng tính chia
hết của số nguyên''.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I) CƠ SỞ LÝ LUẬN
Đổi mới phương pháp dạy học nhằm mục đích cho học sinh phương pháp suy
nghĩ, chiếm lĩnh các tri thức khoa học và phương pháp nghiên cứu kiến thức một
cách khoa học, nhằm vận dụng kiến thức khoa học một cách tối ưu nhất. Muốn đạt
được diều kiện trên thì trong qu trình dạy học bồi dưỡng học sinh giỏi ta cũng phải
đổi mới phương pháp giảng dạy và thiết kế bài dạy , lên kế hoạch bộ mơn r rng ,
tức l ta phải xc định:
- Cơng việc của thầy giữ vai trị chủ động, sáng tạo, tổ chức cho học sinh
chiếm lĩnh kiến thức.
- Đối với học sinh phải chủ động, sáng tạo, phải được suy nghĩ nhiều, trả lời
nhiều câu hỏi, được thực hành nhiều dưới sự tổ chức hướng dẫn của giáo viên.
II) CƠ SỞ THỰC TIỄN
Thực trạng dạy và học toán hiện nay, mặc dù học sinh đ dược học đầy đủ
các kiến thức cơ bản, có phần mở rộng, nâng cao nhiều. Song khi gặp một bài toán,
học sinh vẫn cịn lúng túng trong việc định hướng phương pháp giải, chưa biết vận
dụng hoặc vận dụng chưa linh hoạt, sáng tạo các kiến thức cơ bản đ học. Nhiều
G V thöïc hieän : Nguyeãn Vaên Minh
1
Saùng kieán kinh nghieäm
Tröôøng T H C S Myõ Hoøa
học sinh chỉ biết vận dụng từng bước giải, từng phần của quy tắc, công thức mà
thầy đ hướng dẫn. Vì thế không phát huy được tính độc lập, sáng tạo của học sinh.
- Đối với thầy công việc chuẩn bị kiến thức, đặt vấn đề, đặt câu hỏi sao cho
học sinh được suy nghĩ nhiều? Được làm việc nhiều? Đối với học sinh đại trà hay
chỉ là học sinh khá, giỏi trong lớp trả lời. Vì vậy người thầy phải chủ động tích cực
hoá các hoạt động của tất cả các đối tượng trong lớp.
- Trong thức tiễn vấn đề học không đi đôi với hành đ lm cho học sinh khơng
cĩ cơ sở thực hiện các thao tác tư duy để tiếp nhận, củng cố tri thức cũ, làm nền
tảng lĩnh hội tri thức mới. Do đó, học sinh ít được làm việc dộc lập, năng lực cá
nhân không được phát huy thoả đáng.
- Trong nhiều năm giảng dạy toán của bậc THCS tôi thấy phân tích một số
ra thừa số nguyên tố , tính chia hết đối với số nguyên, học sinh được học ở lớp 6,
nhưng khi gặp một bài toán về phân tích một số ra thừa số nguyên tố , tính chia hết
của số nguyên, học sinh vẫn cịn lng tng trong việc tìm ra cách giải , bởi vì các kiến
thức liên quan để hỗ trợ còn hạn chế. Lên lớp 8 nhờ các hằng đẳng thức đáng nhớ
và phân tích đa thức thành nhân tử , học sinh có thể giải được các bài toán nhanh
hơn và phức tạp hơn ở lớp dưới
Dựa trên cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn trên tối thấy cần có một số giải
pháp đổi mới phương pháp giảng dạy cho phù hợp với thực tiễn hiện nay.
III CÁC GIẢI PHÁP
Để đáp ứng mục tiêu giáo dục và khắc phục những tồn tại trên, để học sinh có
thể làm được các bài tập liên quan đến phân tích một số ra thừa số nguyên tố và sự
chia hết của số nguyên, một cách chủ động hơn giáo viên cần phải:
- Chuẩn bị tốt tiến trình bi soạn v tổ chức dạy học.
- Chuẩn bị tốt cc tình huống cĩ vấn đề để có thể giúp học sinh tư duy suy
nghĩ, định hình cch lm
- Cung cấp học sinh một số dạng toán thường gặp về phân tích một số ra
thừa số nguyên tố và tính chia hết của số nguyên , áp dụng vào giải các bài toán có
vận dụng một số kiến thức nâng cao của phân tích một số ra thừa số nguyên tố mà
học sinh có thể ứng dụng được.
- Qua các bài toán học sinh biết áp dụng những kiến thức đ học vo lm bi tập
một cch linh hoạt,cĩ sng tạo.
- Thông qua nội dung lý thuyết cần lưu ý v cc bi tập cĩ tính hệ thống,nâng
cao phát triển cho học sinh tư duy toán: lôgic, sáng tạo, phát triển khả năng khái
quát,tổng quát hoá
Để tạo cho học sinh có sự phấn khích khi gặp cc bi tốn : Phn tích một số ra
thừa số nguyn tố hay tính chia hết của số nguyn, tôi xin trình bày một số ví dụ về
các dạng tóan để minh hoạ cho chuyên đề '' Một số dạng tóan áp dụng tính
chia hết của số nguyn''
SƠ ĐỒ QUAN HỆ GIỮA CC KIẾN THỨC SỐ HỌC 6
G V thöïc hieän : Nguyeãn Vaên Minh
2
Saùng kieán kinh nghieäm
Tröôøng T H C S Myõ Hoøa
Cấu tạo số
Chia hết cho 2
Chia hết cho 3
Chia hết cho 5
Chia hết cho 7
Chia hết cho 11
Cc dấu hiệu chia hết
Phn tích một số ra thừa số nguyn tố
Bội và ước
BCNN
ƯCLN
Tìm BC thông qua tìm BCNN
Tìm ƯC thông qua tìm ƯCLN
Các bài toán về BC và ƯC
Tính chất chia hết của số nguyên
Chia hết
Bội và ước
Số nguyên tố
Chia có dư
Chứng minh chia hết cho
Hợp số
Tìm số dư trong php chia
Số chính phương
Giải phương trình nghiệm nguyên
..........
IV. NỘI DUNG
G V thöïc hieän : Nguyeãn Vaên Minh
3
Nguyên lý Drich le
Saùng kieán kinh nghieäm
Tröôøng T H C S Myõ Hoøa
1/Ta phân tích sự quan hệ về tính chia hết của số nguyên được học ở lớp 6 , ảnh
hưởng đến các kiến thức vận dụng của lớp 6 vào học các lớp 8 , 9 của bậc
THCS . Tôi có thể lấy các bài toán đơn giản khi dạy về tính chia hết của số
nguyên ở lớp 6 ảnh hưởng lớn đến các bài toán chia hết của số nguyên sau này :
Ví dụ 1 : Chứng tỏ rằng trong n +1 số nguyên liên tiếp thì có một hiệu của hai
số chia hết cho n . (với n thuộc N)
Giải :
Gọi a1 , a2 , a3 , . . . lần lượt là các số chia cho n có số dư lần lượt là 1 . 2 ,
3 , . . . thi an chia cho n dư 0 , an+1 chia cho n có số dư là1.
Do đó : an+1 – a1 = (n.k +1) – (n.l +1)
= n.k – n.l = n(k – l )
= n.q
....Tương tự ta xét bất kỳ số dư khác ta vẫn chứng minh được . Hiệu hai số chia
hết cho n
Đây chính là nguyên lý Dirich- le .
Ví dụ 2 : Tìm hai số nguyên biết tích của chúng bằng 21.
Giải :
Gọi hai số nguyên cần tìm : là x , y
Ta có : x.y = 21
Vì : 21 = 21. 1 = 3 . 7 = 7 . 3 = 1 . 21 = (-1)(-21) =
=(-3)(-7)= (-7)(-3)= (-21)(-1)
Nên ta giải ra tìm được nhiều nghiệm của các cặp giá trị của x và y .
Đây chính là phân tích một số ra thừa số ra thừa số nguyên tố và tính ước của
số nguyên .
Ví dụ 3 : Tìm hai số x và y . Biết BCNN của chúng bằng 48 và ƯCLN của
chúng bằng 8 .
Giải :
+ Nếu x chia hết cho y thì : x = 48 , y = 8 (hoặc ngược lại)
+Nếu x không chia hết cho y thì : (x> y hoặc y>x)
x = 8d1 , y = 8d2 ; (d1,d2)=1
Suy ra : d1.d2 = 48 : 8 = 6
Nên : d1 = 3 ; d2 = 2 (hoặc ngược lại)
Do đó : x = 8.3 = 24
y = 8.2 = 16.
(Hoặc kết quả ngược lại )
Ta có thể xét sự quan hệ của các bài toán này ảnh hưởng đến các bài toán ở
chương trình bồi dưỡng sau này ở các lớp 8 , 9 như :
DẠNG 1.Chứng minh quan hệ chia hết
Ví dụ1.Chứng minh rằng
A = n3(n2 -7)2 - 36n chia hết cho 5040 với mọi số tự nhiên n.
Hướng phân tích
+ Trước hết cho hs nhận xét về các hạng tử của biểu thức A
+ Từ đó phân tích A thành nhân tử
G V thöïc hieän : Nguyeãn Vaên Minh
4
Saùng kieán kinh nghieäm
Tröôøng T H C S Myõ Hoøa
Giải: Ta có
A =n[n2(n2 -7)2 -36]= n[(n3 -7n2)-36]
= n(n3 -7n2 -6)( n3 -7n2 +6)
Mà n3 -7n2 -6 = (n+1) (n+2) (n-3)
n3 -7n2 +6 = (n-1)(n-2)(n+3)
Do đó
A= (n-3)(n-2)(n-1)(n+1)(n+2)(n+3)
Đây là tích của 7 số nguyên liên tiếp.Trong 7 số nguyên liên tiếp
+Tồn tại một bội của 5 A chia hết cho 5
+Tồn tại một bội của 7 A chia hết cho 7
+Tồn tại hai bội của 3 A chia hết cho 9
+Tồn tại ba bội số của 2,trong đó có một bội số của 4 A chia hết cho 16
A chia hết cho các số 5,7,9,16 đôi một nguyên tố cùng nhau nên A chia hết
cho
5.7.9.16 =5040.
+ Qua ví dụ 1 rút ra cách làm như sau:
Gọi A(n) là một biểu thức phụ thuộc vào n (n N hoặc n Z).
Chú ý 1:
+Để chứng minh biểu thức A(n) chia hết cho một số, ta thường phân tích A(n)
thành thừa số, trong đó có một thừa số là m.Nếu m là hợp số, ta phân tích nó thành
môt tích các thừa số đôi một nguyên tố cùng nhau, rồi chứng minh A(n)chia hết
cho tất cả các số đó.
+Trong quá trình chứng minh bài toán trên ta đã sử dụng các kiến thức của lớp 6 :
-Phân tích một số ra thừa số nguyên tố .
-Tính chất chia hết của một tích (thừa số là số nguyên tố )
-Nguyên lý Dirich- le
Lưu ý: Trong k số nguyên liên tiếp, bao giờ cũng tồn tại một bội số của k.
Ví dụ 2.Chứng minh rằng với moi số nguyên a thì
a) a2 -a chia hết cho 2.
b) a3 -a chia hết cho 3.
c) a5 -a chia hết cho 5.
d) a7 -a chia hết cho 7.
Giải:
a) a2 - a =a(a-1), chia hết cho 2.
b)a3 -a = a( a2 - 1) = a(a-1)(a+1), tích này chia hết cho 3 vì tồn tại một bội của
3.
+ Ở phần a, b hs dễ dàng làm được nhờ các bài toán đã quen thuộc
+ Để chứng minh a(a -1 ) chia hết cho 2, ta đã xét số dư của a khi chia cho 2
(hoặc dụng nguyên lý Dirich- le )
c) Cách 1
A = a5 -1= a(a2+1)(a2 -1)
Xét các trường hợp a = 5k, a= 5k 1, a=5k 2
+Ta vận dụng vào tính chia hết của số nguyên về xét số dư
suy ra A chia hết cho 5
G V thöïc hieän : Nguyeãn Vaên Minh
5
Saùng kieán kinh nghieäm
Tröôøng T H C S Myõ Hoøa
Cách 2.
A = a5 -1= a(a2+1)(a2 -1)
= a(a2+1)(a2 -4+5)
= a(a2+1)(a2 -4)+ 5a( a2 -1)
= (a -2) (a-1)a(a+1)(a+2) + 5a(a2 -1)
Số hạng thứ nhất là tích của năm số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5,số
hạng thứ hai cũng chia hết cho 5.
Do đó A = a5 -1 chia hết cho 5.
+Ta vận dụng tính chia hết của một tổng vào giải .
+ Qua ví dụ 2 để chứng minh chia hết ta đã làm như sau:
Chú ý 2: Khi chứng minh A(n) chia hết cho m, ta có thể xét mọi trường hợp về
số dư khi chia n cho m.
Ví dụ 3.
a)Chứng minh rằng một số chính phương chia hết cho 3 chỉ có thể có số dư
bằng 0 hoặc 1.
b) Chứng minh rằng mọt số chính phương chia cho 4 chỉ có thể có số dư bằng
0 hoặc 1.
c)Các số sau có là số chính phương không?
M = 19922 + 19932 +19942
N = 19922 + 19932 +19942 +19952
P = 1+ 9100+ 94100 +1994100.
d)Trong dãy sau có tồn tại số nào là số chính phương không?
11, 111,1111,11111,.......
Giải: Gọi A là số chính phương A = n2 (n N)
a)Xét các trường hợp:
n= 3k (k N) A = 9k2 chia hết cho 3
n= 3k 1 (k N) A = 9k2 6k +1 chia cho 3 dư 1
Vậy số chính phương chia cho 3 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1.
+Ta đã sử tính chia hết cho 3 và số dư trong phép chia cho 3 .
b)Xét các trường hợp
n =2k (k N) A= 4k2, chia hết cho 4.
n= 2k+1(k N) A = 4k2 +4k +1
= 4k(k+1)+1,
chia cho 4 dư 1(chia cho 8 cũng dư 1)
vậy số chính phương chia cho 4 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1.
+Ta đã sử tính chia hết cho 4 và số dư trong phép chia cho 4 .
Chú ý: Từ bài toán trên ta thấy:
-Số chính phương chẵn chia hết cho 4
-Số chính phương lẻ chia cho 4 dư 1( chia cho 8 cũng dư 1).
c) Các số 19932,19942 là số chính phương không chia hết cho 3 nên chia cho 3
dư 1,còn 19922 chia hết cho 3.
Vậy M chia cho 3 dư 2,không là số chính phương.
Các số 19922,19942 là số chính phương chẵn nên chia hết cho 4.
Các số 19932,19952 là số chính phương lẻ nên chia cho 4 dư 1.
G V thöïc hieän : Nguyeãn Vaên Minh
6
Saùng kieán kinh nghieäm
Tröôøng T H C S Myõ Hoøa
Vậy số N chia cho 4 dư 2,không là số chính phương.
+Ta đã vận dụng tính chất chia hết của số chính phương và xét số dư cửa các
số chính phương đó khi các số đó chẳn hay lẻ .
d) Mọi số của dãy đều tận cùng là 11 nên chia cho 4 dư 3.Mặt khác số chính
phương lẻ thì chia cho 4 dư 1.
Vậy không có số nào của dãy là số chính phương.
Chú ý 3:Khi chứng minh về tính chất chia hết của các luỹ thừa,ta còn sử dụng
các hằng đẳng thức bậc cao và công thức Niu-tơn sau đây:
+an -bn =(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+...+abn-2+bn-1) (1)
+an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-...-abn-2+bn-1) (2)
với mọi số lẻ n.
Công thức Niu-tơn
(a+b)n= an+c1an-1b+c2an-2b2+...+cn-1abn-1+bn
Trong công thức trên, vế phải là một đa thức có n+1 hạng tử ,bậc của mỗi
hạng tử đối với tập hợp các biến là a,b là n.Các hệ số c 1,c2,...cn-1 được xác định bởi
tam giác Pa -xcan:
n=0
1
n=1
1 1
n=2
1 2 1
n=3
1 3 3 1
n=4
1 4 6 4 1
n=5
1 5 10 10 5 1
............. c1 c2 c3 c4
Áp dụng các hằng đẳng thức trên vào tính chia hết, ta có với mọi số tự nhiên
a,b và số tự nhiên n :
an -bn chia hết cho a-b (a b)
a2n+1 +b2n+1 chia hết cho a+b ( a -b)
(a+b)n =Bs a+bn (Bs a là bội của a).
Đặc biệt chú ý đến:
(a+1)n = Bs( a +1)
( a -1)n = Bs (a- 1)
(a-1)2n+1= Bs( a – 1)
*Tất cả các công thức Niu Tơn trên chỉ áp dụng cho học sinh các khối 8 , 9 .
Ví dụ 4.Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, biểu thức 16 n -1 chia hết cho 17
khi và chỉ khi n là số chẵn.
Giải:
Cách 1:
Nếu n chẵn (n=2k, k N) thì
A= 162k -1 = (162)k -1 chia hết cho 162 -1
Theo hằng đẳng thức (1)
Mà 162 -1 =255 chia hết cho 17.
Vậy A chia hết cho 17
Nếu n lẻ thì A = 16n +1 -2,
mà 16n+1 chia hết cho 17 theo hằng đẳng thức (9),nên A không chia hết cho 17
G V thöïc hieän : Nguyeãn Vaên Minh
7
Saùng kieán kinh nghieäm
Tröôøng T H C S Myõ Hoøa
vậy A chia hết cho 17 n chẵn.
Cách 2: A=16n -1 =(17-1)n -1
= B (17) +(-1)n -1(theo công thức Niu-tơn)
Nếu n chẵn thì A =B (17) +1-1 =B (17)
Nếu n lẻ thì A = B (17) -1 -1 = B (17 )-2
Không chia hết cho 17.
Chú ý 4: Người ta còn dùng phương pháp phản chứng,nguyên lý Di ríchlet để
chứng minh quan hệ chia hết.
Ví dụ 5. Chứng minh rằng tồn tại một bội số của 2003 có dạng
2004 2004 .......2004
Giải: Xét 2004 số :
A1 =2004
A2 =2004 2004
...
A2004=2004 2004....2004 (Nhóm 2004 có mặt 2004 lần).
Theo nguyên lý Dirich let, tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho 2003.
Gọi hai số đó là am và an (1 n m 2004)
Thì am -an chia hết cho 2003.Ta có
am -an = 2004 2004......2004000....000
.....
2004
. 104n
= 20042004
mnnhoùm 2004
.....
2004
Do ( 104m, 2003) =1 nên 20042004
mnnhoùm 2004
Chia hết cho 2003.
Bài tập tương tự:
Bài 1. Chứng minh rằng n6 + n4 - 2n2 chia hết cho 72 với mọi số nguyên n.
Giải:
Ta có n6 + n4 - 2n2
= n2 ( n4 +n2 - 2)
=n2 (n4 -1 + n2 -1 )
= n2 [ (n2 -1)(n2 +1) +(n2 -1)]
= n2 (n-1)(n+1)(n2 +2)
+Xét các trường hợp n= 2k, n=2k+1
n6 + n4 - 2n2 8
+Xét các trường hợp n = 3a, n=3a 1
n6 + n4 - 2n2 9
vậy n6 + n4 - 2n2 72 với mọi số nguyên n
Bài 2. Chứng minh rằng 32n -9 chia hết cho 72 với mọi số nguyên dương n
Giải:
Ta có B =32n -9= 9n - 9,nên B chia hết cho 9
Mặt khác B = 32n - 9 = (3n -1)(3n +1) -8
Do 3n -1,3n +1 là hai số chẵn liên tiếp nên B chia hết cho 8
Vậy B 72
* Bài tập tự làm
G V thöïc hieän : Nguyeãn Vaên Minh
8
Saùng kieán kinh nghieäm
Tröôøng T H C S Myõ Hoøa
Chứng minh rằng
1.n3+6n2+8n chia hết cho 48 với mọi n chẵn
2.n4-10n2+9 chia hết cho 384 với mọi sốn lẻ
DẠNG 2.Tìm số dư
Ví dụ 6: Tìm số dư khi chia 2100
a) cho 9;
b) cho 25;
c) cho 125.
Giải:
a) Luỹ thừa của 2 sát với một bội so của 9 là 23 = 8 = 9-1
Ta có 2100 =2( 23)33 = 2(9-1)33=2(B(9-1))
= B( 9) -2= B(9)+ 7
Số dư khi chia 2100 cho 9 là 7.
b) Luỹ thừa của 2 sát với bội số của 25 là
210 = 1024 =B(25) -1
Ta có 2100= (210)10 =(B(25) -1)10 =B(25) +1
Số dư khi chia 2100 cho 25 là 1.
c) Dùng công thức Niu-tơn:
2100 = (5 - 1)50
=550-50.5049+....+
50.49 2
.5 -50.5+1.
2
Không kể phần hệ số của khai triển Niu-tơn thì 48 số hạng đầu đã chứa luỹ
thừa của 5 với sô mũ lớn hơn hoặc bằng 3 nên chia hết cho 125, số hạng cuối là 1 .
Vậy 2100 chia cho 125 dư 1.
Chú ý: Tổng quát hơn,ta chứng minh được rằng nếu một số tự nhiên n không chia
hết cho 5 thì n100 chia cho 125 có số dư là 1.
Thật vậy, n có dạng 5k 1,5k 2.Ta có
(5k 1)100=(5k)100 ...+ 1002.99 (5k)2 100.5k+1
= B(125) +1
(5k 2)100=(5k)100 ...+
100.99
(5k)2.298 100.5k .299+ 2100
2
= B(125) +2100
Ta lại có 2100 chia cho 125 dư 1
Do đó (5k 2)100 chia cho 125 dư 1.
Ví dụ 7: Tìm ba chữ số tận cùng của 2100 khi viết trong hệ thập phân.
Giải: Theo ví dụ trên ta có
2100 = BS 125 +1,mà 2100 là số chẵn, nên ba chữ số tận cùng của nó chỉ có
thể là 126, 376, 626 hoặc 876.
Mà 2100 chia hết cho8 nên ba chữ số tận cùng của nó phải chia hết cho
8.Trong 4 số trên chỉ có 376 thoả mãn điều kiện này.
Vậy ba chữ số tận cùng của 2100 là 376.
Chú ý: Nếu n là số chẵn không chia hết cho 5 thì 3 chữ số tận cùng của n100 là 376.
Ví dụ 8: Tìm 4 chữ số tận cùng của 51994 viết trong hệ thập phân.
Giải:
G V thöïc hieän : Nguyeãn Vaên Minh
9
Saùng kieán kinh nghieäm
Tröôøng T H C S Myõ Hoøa
Cách 1. Ta thấy số tận cùng bằng 0625 nâng lên luỹ thừa nguyên dương bất kì vẫn
tận cùng bằng 0625.Do đó
51994=54k+2 =25(54k)=25(0625)k
= 25.(...0625) = .....5625
Cách 2. Ta thấy 54k -1 chia hêt cho 54 -1
= (52 -1)(52 +1) nên chia hết cho 16.
Ta có: 51994 = 56( 5332 -1) +56
Do 5 6 chia hết cho 54, còn 5332 -1 chia hết cho 16 nên 56( 5332 -1) chia hết cho
10000
Và 56 = 15625.
Vậy 4 chữ số tận cùng của 51994 là 5
Bài tập tương tự
1.CMR với mọi số tự nhiên n thì 7n và 7n+4 có hai chữ số tận cùng như nhau.
+ Cho hs đặt câu hỏi: Khi nào hai số có hai chữ số tận cùng giống nhau?
- Khi hiệu của chúng chia hết cho 100
Giải: Xét hiệu của 7n +4- 7n = 7n( 74 -1)
= 7n .2400
Do đó 7n+1 và 7n có chữ số tận cùng giống nhau.
2.Tìm số dư của 2222+5555 cho 7.
+ Xét số dư của 22 và 55 cho 7?
Giải: Ta có 2222 + 5555 =(B(7) +1)22 +(B(7) -1)55
= B(7) +1+ B(7) -1
= B(7)
22
55
Vậy22 + 55 chia hết cho 7
DẠNG 3. Tìm điều kiện để chia hết
Ví dụ 9: Tìm số nguyên n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu
thức B:
A= n3 +2n2 -3n+2 , B= n2 -n
Giải: Đặt tính chia:
n3 +2n2 -3n+2
n2 -n
n3 - n2
n +3
2
3n -3n +2
3n2 -3n
2
Muốn chia hết, ta phải có 2 chia hết cho n(n-1),do đó 2 chia hết cho n(vì n là số
nguyên)
Ta có:
n
1
-1
2
G V thöïc hieän : Nguyeãn Vaên Minh
-2
10
Saùng kieán kinh nghieäm
Tröôøng T H C S Myõ Hoøa
n-1
n(n-1)
0
-2
1
-3
0
2
2
6
loại
loại
Vậy n= -1; n = 2
Ví dụ 10
Tìm số nguyên dương n để n5 +1 chia hết cho n3 +1.
Giải: Ta có
n5 +1 chia hết cho n3 +1
n2 (n3+1) - (n2 -1) chia hết cho (n+1)(n2 -n +1)
(n-1)(n+1)
chia hết cho (n+1)(n2 -n +1)
n -1
chia hết cho n2 -n +1 (vì n+1 0)
Nếu n =1 thì ta được 0 chia hết cho 1
Nếu n>1 thì n -1< n(n-1) +1=n2 -n +1, do đó không thể chia hết cho n2 - n +1.
Vậy giá trị duy nhất của n tìm được là 1.
Ví dụ 11
Tìm số nguyên n để n5 +1 chia hết cho n3+1.
Giải: Theo ví dụ trên ta có:
n -1 chia hết cho n2 -n +1
n(n-1) chia hết cho n2 -n +1
n2 -n chia hết cho n2 -n +1
(n2 -n +1) -1 chia hết cho n2 -n +1
1 chia hết cho n2 -n +1
Có hai trường hợp
n2 -n +1 =1 n( n -1) =0 n=0; n=1. Các giá trị này thoả mãn đề bài.
n2 -n +1= -1 n2 -n +2 =0 không tìm được giá trị của n
Vậy n= 0; n =1 là hai số phải tìm.
Ví dụ 12
Tìm số tự nhiên n sao cho 2n -1 chia hết cho 7.
Giải:
Nếu n = 3k (k N) thì 2n -1 = 23k -1 = 8k -1
Chia hết cho 7
Nếu n =3k +1(k N) thì
2n -1= 23k+1 - 1=2(23k -1) +1 = Bs 7 +1
Nếu n = 3k +2 ( k N) thì
2n -1= 23k+2 -1 =4(23k - 1)+3 =Bs 7 +3
Vậy 2n -1 chia hết cho 7 n = 3k(k N).
*Bài tập áp dụng
Bài 1: Tìm điều kiện của số tự nhiên a để a2+3a +2 chia hết cho 6.
Giải:
Ta có a2 +3a + 2 = (a+1)(a+2) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho
2
Do đó a2 +3a +2 chia hết cho 3 a2 +2 chia hết cho 3
a2 : 3 dư 1 a không chia hết cho 3.
Điều kiện phải tìm là a không chia hết cho 3.
G V thöïc hieän : Nguyeãn Vaên Minh
11
Saùng kieán kinh nghieäm
Tröôøng T H C S Myõ Hoøa
Bài 2:
Tìm điều kiện của số tự nhiên a để a4 -1 chia hết cho 240.
Bài 3:
Tìm số nguyên tố p để 4p +1 là số chính phương.
Bài 4.
Tìm ba số nguyên tố liên tiếp a,b,c sao cho a2 + b2 + c2 cũng là số nguyên tố
Giải: Xét hai trường hợp
+ Trong 3 số a,b,c có một số bằng 3.
Khi đó 22 + 32 + 52 =38 là hợp số (loại)
Còn 32 + 52 + 72 =83 là số nguyên tố.
+ Cả 3 số a,b,c đều lớn hơn 3.
Khi đó a2, b2, c2 đều chia cho 3 dư 1 nên
a2 + b2 + c2 chia hết cho 3,là hợp số (loại)
Vây ba số phải tìm là 3,5,7.
* Các bài tập tổng hợp các dạng toán trên
Bài 1. : Cho bốn số nguyên dương a,b,c,d thảo mãn a 2 +b2 = c2 + d2 .Chứng minh
rằng a+ b+c+ d là hợp số.
Giải:
Xét biểu thức
A= (a2 -a)+(b2 -b)+( c2 -c)+ (d2 -d)
Dễ thấy A là số chẵn (vì biểu thức trong mỗi dấu ngoặc là tích của hai số
nguyên liên tiếp) nên
(a2 + b2 + c2 +d2) -(a+b + c+ d) là số chẵn
mà a2 +b2 = c2 + d2 nên a2 +b2 + c2 + d2
là số chẵn.
Vậy a + b+ c + d là số chẵn,tổng này lớn hơn 2 nên là hợp số.
Bài 2. : Cho các số nguyên a,b,c đều chia hết cho 6. Chứng minh rằng
Nếu a+ b+ c chia hết cho 6 thì a3 + b3 + c3
Chia hết cho 6
Giải:
Ta có A=a3 + b3 + c3 - (a +b + c)
= (a3 -a) + (b3 -b) + (c3 -c)
Do a3 -a , (b3 -b) , (c3 -c) đều chia hết cho 6
Nên A 6
Mặt khác a+ b +c chia hết cho 6
Do đó a3 + b3 + c3 chia hết cho 6
Bài 3: Chứng minh rằng tổng các lập phương của ba sô nguyên liên tiếp thì chia
hết cho 9.
+ Hướng suy nghĩ: Tổng các lập phương của ba số nguyên liên tiếp có dạng
như thế nào?
- HS: a3 + ( a + 1)3 + ( a + 2)3 hoặc ( a -1)3 + a3 + ( a+ 1)3
+ Trong hai tổng vừa lập được hãy chọn tổng mà ta có thể biến đổi một cách
nhẹ nhàng hơn
Bài 4: Chứng minh rằng A chia hết cho B với
G V thöïc hieän : Nguyeãn Vaên Minh
12
Saùng kieán kinh nghieäm
Tröôøng T H C S Myõ Hoøa
A= 13 + 23 + 33 +...+ 99 3 + 1003
B= 1 + 2 + 3+...+ 99 + 100.
+ Hướng suy nghĩ cho hs: Bài toán trên thuộc dạng nào?
+ Trong hai tổng A và B ta tính được tổng nào? ( B = 50. 101)
+ Chứng tỏ A chia hết cho 5050? ( 13 + 993 50. 101
Bài5. Cho bốn số nguyên dương thoả mãn điều kiện ab = cd. Chứng minh rằng
a5 + b5 +c5 + d5 là hợp số
Giải:
Gọi ƯCLN (a,c) = k ( k nguyên dương)
Khi đó a = ka1 , c= k .c1 và ( a1, c1) =1
Thay vào a.b = c.d được
k.a1 .b = k .c1.d nên a1.b = c1. d
ta có a1.b c1 mà ( a1 , c1)=1
nên b c1 .Đặt b = c1.m (m nguyên dương), thay vào (1) được
a1.c1.m = c1.d nên a1 .m = d
Do đó
A = a5 + b5 +c5 + d5
= k5 a15 + c15 m5 + c15 m5 +k5 c15 + a15 m5
= k5 ( a15 +c5) + m5 ( a5 + c5)
= (a15 + c15)( k5 + m5).
Do a1, c1 , k ,m là các số nguyên dương nên A là hợp số.
Bài 6. : Chứng minh rằng nếu các số tự nhiên a,b,c thoả mãn điều kiện
a2 + b2 = c2 thì abc chia hết cho 60.
Giải: Theo bài ra a2 + b2 = c2 (1)
Ta có 60 = 3. 4. 5
*Nếu a ,b ,c đều không chia hết cho 3 thì a2, b2 ,c2 đều chia cho 3 dư 1.
Khi đó
a2 + b2 = Bs 3 + 2, còn c2 = Bs 3 + 1 trái với (1).Vậy trong ba só a,b,c có
một số chia hết cho 3.
*Nếu a,b,c đều không chia hết cho 5 thì a 2, b2, c2 chia cho 5 dư 1 hoặc 4. Khi đó
a2 +b2 chia cho 5 dư 0,2,3 còn c 2 chia cho 5 dư 1,4 trái với (1).Vậy tồn tại một
trong ba số a,b,c chia hết cho 5.
*Nếu a,b,c đều không chia hết cho 4 thì a2, b2, c2 chia cho 8 dư 1 hoặc 4
Khi đó a 2 + b2 chia cho 8 dư 0, 2 , 5, còn c 2 chia cho 8 dư 1, 4 trái với (1).Vậy
tồn tại một số chia hết cho 4.
Kết luận: abc chia hết cho 3.4.5 tức là chia hết cho 60.
Bài 7. Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức là số nguyên tố:
a) 12n2 -5n -15
b)
n 2 3n
4
Giải:
a) Ta có 12n2 -5n -15
= 12n2 + 15n - 20n - 15
= 3n( 4n +3) - 5( 4n +3)
= (4n +3) (3n - 5)
G V thöïc hieän : Nguyeãn Vaên Minh
13
Saùng kieán kinh nghieäm
Tröôøng T H C S Myõ Hoøa
Do 12n2 -5n -15 là số nguyên tố nên 4n +5, 3n - 5 là các số nguyên dương .
Ta lại có 3n -5< 4n + 5 ( vì n >1)
Để 12n2 -5n -25 là số nguyên tố thì thừa số nhỏ phải bằng 1.
Nên 3n -5 =1 n = 2
Khi đó 12n2 -5n -25 = 13 .1 =13 là số nguyên tố.
n(n 3)
n 2 3n
b) B =
=
.Do B là số tự nhiên nên n(n+3) chia hết cho 4.Hai số n
4
4
và n + 3
không thể cùng chẵn.Vậy hoặc n, hoặc n+3 chia hết cho 4.
Nếu n =0 thì B= 0, loại
Nếu n =4 thì B =7, là số nguuyên tố.
Nếu n = 4k (k N,k>1) thì B = k( 4k -3) là tích của hai thừa số lớn hơn 1 nên B
là hợp số.
Nếu n+ 3 =4 thì B =1 loại
Nếu n+3 = 4k (k N,k>1) thì B = k( 4k -3) là tích của hai thừa số lớn hơn 1
nên B là hợp số.
Vậy n =4, khi đó B = 7
Bài 8. Chứng minh rằng: 270 + 370 chia hết cho 13.
Giải: Ta có 270 + 370 = (22)35 + (32)35
= 435 + 9 35 .
Do đó chia hết cho 4 + 9 =13
(Áp dụng an + bn chia hết cho a+b với n là số lẻ)
Vậy 270 + 370 chia hết cho 13.
Bài 9.Tìm số nguyên tố p để 2p2 + 1 là số nguyên tố.
+ Với p là số nguyên tố thì p có dạng như thế nào? ( Thường xét số dư của
một số khi chia cho 2 hoặc 3)
+ Xét p = 3k + 1; p = 3k + 2 và p =3k trường hợp nào mà 2p 2 = 1 là số
nguyên tố thì => p.
Bài 10.Chứng minh:1719+ 1917 chia hết cho 18.
+ Xét số dư của 17 và 18 khi chia cho 18?
2/Ta phân tích mối quan hệ của việc phân tích một số ra thừa số nguyên tố có ảnh
hưởng rất lớn đến các dạng toán : ƯCLN , BCNN , Qui đòng mẫu các phân số , ...
và các dạng toán có liên quan ở mức độ cao hơn như giải phương trình nghiệm
nguyên . Tôi chỉ lấy một vài ví dụ .
Ví dụ 1: Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố : 720 . 630, 729 , ...
Xác định số ước số của mỗi số ?
Giải : Ta có : 720 = 24.32.5
630 = 2.32.5.7
729 = 36
Số ước số của số 720 là (4+1)(2+1)(1+1) = 5.3.2 = 30
Số ước số của số 630 là (1+1)(2+1)(1+1)(1+1) = 2.3.2.2 = 24
Số ước số của số 729 là (6+1) = 7
Đây là bài toán các học sinh có thể giải được .
Ví dụ 2 : Rút gọn phân số :
200920092009
201020102010
G V thöïc hieän : Nguyeãn Vaên Minh
14
Saùng kieán kinh nghieäm
Tröôøng T H C S Myõ Hoøa
Giải :
Ta có : 200920092009 = 2009.100000000+2009.10000+2009
= 2009(100000000+10000+1)
= 2009.100010001
Và : 201020102010 = 2010.100000000+2010.10000+2010
= 2010(100000000+10000+1)
= 2010.100010001
Nên :
200920092009 2009.100010001 2009
201020102010 2010.100010001 2010
Ví dụ 3 : Các bài toán thực tế về BCNN và ƯCLN
Các bài toán diễn đạt bằng lời văn .
C .PHẠM VI CỦA ĐỀ TÀI :
*Áp dụng cho việc dạy bồi dưỡng phần số học cho học sinh khá giỏi của cấp
THCS , chú trọng nhất là học sinh khối 6 .
*Áp dụng cho toàn bộ học sinh khối 6 ở các bài tập nâng cao .
*Áp dụng bồi dưỡng học sinh giỏi các khối 8, 9 .
D.KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC:
*Năm học 2006 – 2007 có 40% học sinh giỏi khối 6 ham học toán .
*Năm học 2007 – 2008 có 50% học sinh giỏi khối 6;8 ham học toán số học .
*Năm học 2008 – 2009 có 55% học sinh giỏi của cấp THCS ham học toán số
học .
*Bằng chương trình ngoại khóa : Chuyên đề giúp em học tốt môn toán trong
năm học 2009 - 2010 đã thu hút gần như tất cả học sinh khối 6 ham thích học toán
E. KẾT LUẬN
Tôi viết kinh nghiệm này dựa trên cơ sở , những kinh nghiệm đã được rút ra
trong những năm giảng dạy và học tập của bản thân . Bằng sự học hỏi thông qua
các tài liệu sách giáo khoa, sách tham khảo....và qua tiếp thu các ý kiến của đồng
nghiệp. Đã giúp tôi hoàn thành đề tài và áp dụng vào giảng dạy, bồi dưỡng học
sinh giỏi lớp 6 làm nền tảng cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi các lớp 8 , 9 sau này.
Sau khi viết và thực hiện đề tài , tôi đã rút ra bài học kinh mghiệm cho bản
thân:
* Khi dạy học cần đặt vị trí của mình vào vị trí học sinh. Có thể có những vấn
đề mình thấy là dễ, rất quen thuộc, nhưng với học trò lại rất khó, rất lạ.
* Phải luôn cố gắng tạo ra tình huống có vấn đề, làm xuất hiện ở học sinh nhu
cầu nghiên cứu kiến thức. Chọn các bài tập hợp lý từ đơn giản đến khó, thu hút học
sinh tham gia.
* Các bài tập đưa ra ban đầu có thể theo từng dạng cụ thể, để học sinh làm
quen dần với các dạng toán. Sau đó, đưa ra các dạng bài có tính tổng hợp hơn, đồi
hỏi học sinh biết vận dụng, suy nghĩ tìm tòi cách giải. Từ đó mới phát triển được tư
duy, khả năng sáng tạo của học sinh.
G V thöïc hieän : Nguyeãn Vaên Minh
15
Saùng kieán kinh nghieäm
Tröôøng T H C S Myõ Hoøa
* Nên quan tâm đến câu trả lời của học sinh, khai thác những phát hiện dù là
nhỏ nhất của học sinh để phát huy tính chủ động suy nghĩ, tích cực của học sinh.
Trên đây là một số ý kiến, quan điểm của tôi xung quanh vấn đề nâng cao
chất lượng dạy học môn toán. Đồng thời phát huy tính tích cực, độc lập sáng tạo
của học sinh thông qua chuyên đề '' Một số dạng toán áp dụng việc phân tích một
số ra thừa số nguyên tố và tính chia hết của số nguyên''. Khi viết đề tài này chắc
hẳn không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tôi rất mong nhận được sự góp ý, phê
bình của các đồng nghiệp để xây dựng cho kiến thức chuyên môn của mình.
Cuối cùng tôi xin chân thành cám ơn!
Đại an ngày 05/03/2010
Người viết
Nuyễn Văn Minh
G V thöïc hieän : Nguyeãn Vaên Minh
16
Saùng kieán kinh nghieäm
Tröôøng T H C S Myõ Hoøa
PHỤ LỤC :
A. Đặt vấn đề
B. Giải quyết vấn đề
I/ Cơ sở lý luận
II/ Cơ sở thực tiển
III/ Các giải pháp .
IV/ Nội dung .
Dạng 1 Chứng minh quan hệ chia hết
Dạng 2 Tìm số dư
Dạng 3 Tìm điều kiện để chia hết .
C. Phạm vi của đề tài .
D , Kết quả đạt được .
E , Kết luận .
G V thöïc hieän : Nguyeãn Vaên Minh
17
- Xem thêm -