TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ
MINH
KHOA VẬT LÝ
Đề tài
HỆ TỌA ĐỘ CỰC
Giảng viên: Nguyễn Vũ Thụ Nhân
Nhóm thực hiện: Nguyễn Bình An
Trần Thị Vĩnh Đào
Trần Gia Linh
Tp. HCM, 2016
1
LỜI NGỎ
Tọa độ của một của điểm là một bộ số đặc trưng cho vị trí của điểm đó
trong mặt phẳng, không gian. Tọa độ này luôn gắn liền với một hệ tọa độ
xác định bao gồm gốc tọa độ và các trục tọa độ.
Từ trước đến nay, ta thường quen với hệ tọa độ Decartes tức là hệ tọa đ ộ
xác định vị trí của một điểm trên mặt phẳng cho trước dựa vào c ặp s ố t ọa
độ (x;y) hay (x;y;z).Tuy nhiên, trên thực tế, trong một số trường hợp, ta
cần sử dụng đến một số hệ tọa độ khác, trong đó bao g ồm h ệ t ọa đ ộ c ực.
Hệ tọa độ này có ưu điểm lớn nhất khi khảo sát những đ ường cong xu ất
hiện mối quan hệ đặc biệt với gốc tọa độ.
Ngoài ra, hệ tọa độ cực cũng là một hệ tọa độ đủ thú v ị, đ ặc bi ệt là trong
vấn đề khảo sát hàm số để nhiều người phải say mê với nó.
Mặc khác, những tri thức mà hệ tọa độ cực đem lại cho chúng ta khá thú
vị ,bổ ích và cần thiết. Những tri thức đó có thể được vận d ụng để nghiên
cứu, giải đáp một số bài tập một cách dể dàng hơn so với nhi ều ph ương
pháp khác hay có thể ứng dụng được trong một số lĩnh vực thiết thực như
hàng hải, thiên văn,....
Chính vì những lý do trên mà nhóm đã quyết định chọn “ Khảo sát hàm s ố
trong hệ tọa độ cực” làm đề tài tiểu luận.
Trong quá trình thực hiện, nhóm vẫn còn nhiều thiếu sót. Mong nh ận đ ược
sự góp ý từ thầy.
2
HỆ TỌA ĐỘ CỰC
Ngoài tọa độ Descartes thường gặp trong chương trình học phổ thông thì
hệ tọa độ cực cũng là một trong những công cụ giúp ta giải quyết một số
bài toán mà hệ Descartes khó có thể giải quyết được. Hệ tọa độ cực hữu
ích trong những trường hợp trong đó quan hệ giữa hai điểm được viết dưới
dạng góc và khoảng cách.
I.ĐỊNH NGHĨA
Hệ tọa độ cực là một hệ tọa độ 2 chiều, trong đó m ỗi đi ểm b ất kì đ ược bi ểu di ễn
bẳng 2 thành phần:
Khoảng cách từ điểm đó đến gốc O
(gốc cực) gọi là bán kính.
Góc tạo bởi đường thẳng từ O đến
điểm đó với hướng gốc cho trước (trục
cực).
Cụ thể: Khi xét tọa độ của điểm M trên
hệ tọa độ cực như hình ta dựa vào bán
kính véctơ ⃗
OM và góc định hướng giữa
OM và trục Ox tức là góc θ .
1. Bán kính và hướng:
-Bán kính được tính bằng các tỉ lệ dài, tập h ợp các đi ểm có cùng bán kính đ ược
biểu diễn trên mặt phẳng cực bằng các đường tròn đồng tâm tại gốc tọa độ O .
Ví dụ: r =7
3
-Hướng được đo bằng độ hoặc radian, chiều tăng của hướng là chiều ng ược chi ều
kim đồng hồ, tập hợp các điểm có cùng hướng là đường thẳng đi qua g ốc t ọa đ ộ
và tạo với trục Ox một góc bằng θ . Ở đây ta xét số đo hướng là radian.
Ví dụ: θ=
π
7
+Lưu ý:
-Khác với hệ tọa độ Descartes mỗi điểm chỉ được xác định bởi duy nh ất m ột c ặp
giá trị ( x ; y), trong hệ tọa độ cực mỗi điểm P có nhiều cách xác định ứng với các
giá trị θ tăng hoặc giảm 2 π (3600 ) so với giá trị ban đầu: P ( r ;θ ) → P(r ; θ ±2 π )
-Trong tọa độ cực tồn tại bán kính âm, ta có thể chuy ển v ề bán kính d ương b ằng
cách tăng hoặc giảm θ điπ rad (1800 ) từ hướng cũ và đổi dấu r :
P ( r ;θ ) → P(−r ; θ ± π )
π
+Ví dụ: Tìm tất cả các tọa độ cực cho điểm P(1 ; )
6
(
-Với lưu ý 2, một cách biểu diễn khác tọa độ cực của P là P −1 ;
-Sử dụng lưu ý 1 ta tìm được 2 họ giá trị tọa độ cực của P là:
4
−5 π
6
)
π
−5 π
P 1 ; +k 2 π hay P −1 ;
+ p2π ; k , p∈Z
6
6
(
)
(
)
2. Mối liên hệ với hệ tọa độ Descartes:
Ta có thể rút ra mối liên hệ giữa các giá trị x , y và r , θ:
{
2
2
r =x + y
x=rcosθ ⇔
y
y=rsinθ
tanθ=
x
{
2
+Ví dụ:
π
1.Chuyển P( 4 ; ) từ tọa độ cực thành tọa độ Descartes
3
π
x=rcosθ=4. cos =2
3
Ta có:
π
y=rsinθ=4. sin =2 √ 3
3
{
⇒ P(2 ; 2 √3)
2.Chuyển A ( 1;−1 ) từ tọa độ Descartes sang tọa độ cực.
2
2
2
2
r= √ 2
r= √ x + y =√ ( 1 ) + (−1 ) =√2
⇒
−π
Ta có:
y −1
θ=
tanθ= =
=−1
4
x
1
{
⇒A
{
( √ 2; −π4 ) là một giá trị tọa độ cực của A(1 ;−1)
5
3.Chuyển phương trình x=1 sang tọa độ cực.
Ta có:
x=1⇔ rcosθ=1⇔ r=
1
cosθ
4.Chuyển phương trình y=x 2 sang tọa độ cực.
Ta có:
2
2
y=x ⇔ rsinθ=( rcosθ ) ⇔ r=
tanθ
cosθ
II.MỘT VÀI VÍ DỤ VỀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRONG TỌA ĐỘ CỰC
1.Đường thẳng ax +by +c =0
⇔ a .rcosθ+ b . rsinθ+ c=0⇔ r=
−c
a . cosθ+bsinθ
+Đặc biệt đường thẳng qua gốc tọa độ: θ=c ,c ∈ R
2
2
2
2.Đường tròn ( x−x 0 ) + ( y − y 0 ) =R ⇔ r =asinθ +bcosθ
+Đặc biệt đường tròn có tâm là gốc tọa độ: r =c ,c ∈ R
Ngoài ra còn có những đường cong lạ mắt có phương trình của chúng trong h ệ
Descartes rất phức tạp nhưng ở hệ tọa độ cực lại khá đơn giản như:
3.Đường xoáy ốc – Đường Archimede r =aθ
6
4.Đường LEMNISCAT :r =√ asin2 θ hoặc r =√ acos 2 θ
5.Đường hình tim – Đường Cardioide: r =a(1+ cosθ)
7
6.Các đường hình hoa:
r =c+ asin ( nθ ) hoặc r =c+ acos (nθ), n>1
sinθ
5
7.Đường hình bướm: r =e −2 cos 4 θ−si n
8
( 2 θ−π
24 )
III. KHẢO SÁT HÀM SỐ TRONG TỌA ĐỘ CỰC
1.Các tính chất đối xứng :
a.Đối xứng qua Ox: Nếu hàm số chẵn: r (−θ ) =r (θ ) ⇒ (r ; θ) thuộc đồ thị thì (r ;−θ)
cũng thuộc đồ thị.
⇒ Đồ thị đối xứng qua Ox
Ví
dụ:
r =2 cosθ
b.Đối xứng qua Oy: Nếu hàm số lẻ r (−θ ) =−r (θ) ⇒ (r ; θ) thuộc đồ thị thì (−r ;−θ)
cũng thuộc đồ thị
⇒ Đồ thị đối xứng qua Oy.
Ví dụ:
r =2 sinθ
c.Đối xứng tâm: Nếu (r ; θ) thuộc đồ thị thì (r ; θ+ π ) cũng vậy.
Ví dụ:
tanθ
r =± √
cosθ
2.Các bước khảo sát
9
+ Tìm miền xác định.
-Trong hệ tọa độ cực hay xảy ra trường hợp các hàm số được khảo sát tu ần hoàn.
Do đó ta có một số nhận xét về tính tuần hoàn như sau:
T T
,
Hàm số
tuần hoàn với chu kì khảo sát trong
hoặc 2 2 , qua
đồ thị mỗi lần một góc T cho đến khi không sinh ra nhánh m ới đồ thị đường
cong r =r (θ).
T
r =r (θ)
0,T
Nếu hàm số lẻ r (−θ ) =−r (θ): đồ thị đối xứng qua Oy.
Nếu hàm số chẵn r (−θ ) =r (θ): đồ thị đối xứng qua Ox.
+ Tính đạo hàm r’, vẽ bảng biến thiên.
r
Để phục vụ việc vẽ đồ thị, tính tan v= ' , với v là góc giữa tia bán kính và tiếp
r
tuyến tại điểm khảo sát.
tan v=0 : tiếp tuyến trùng bán kính.
tan v=∞: tiếp tuyến vuông góc bán kính.
BBT
θ
'
r
r
tan v
Ví dụ:
a.Khảo sát hàm số r =sin 2θ
MXĐ: D=R .
Ta có r =sin 2θ là hàm số lẻ đồ thị đối xứng qua Oy.Và có chu kì T =π ⇒ khảo
sát trên
[
−π π
;
2 2
]
π
'
Có: r ' =2 cos 2 θ, r =0⇔ θ=± .
4
BBT
10
Do r =sin 2θ là hàm lẻ, lấy đối xứng qua Oy ta được:
11
b.Khảo sát hàm số r =2+ 4 cosθ
MXĐ: D=R .
Ta có r =2+ 4 cos θ là hàm số chẵn đồ thị đối xứng qua Ox.Và có chu kì T =2 π ⇒
khảo sát trên [ 0 ; π ]
Có: r ' =−4 sinθ , r ' =0 ⇔θ=0∨ θ=π
BBT
Lấy đối xứng qua Ox ta được:
12
IV.ỨNG DỤNG CỦA HỆ TỌA ĐỘ CỰC
1.Trong toán học
-Trong một số trường hợp, khi chuyển sang tọa độ cực thì phép tính tích phân s ẽ
đơn giản hơn cả về cận lẫn công thức tính tích phân. Một ứng d ụng đi ển hình là
dùng tích phân để tính diện tích hình phẳng.
Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong r =r (θ ) và các tia
θ=α , θ=β là:
β
1
S= ∫ r 2 ( θ ) dθ
2α
+Ví dụ: tính diện tích giới hạn bởi đường Cardioide: r =a(1+ cosθ)
Đạo hàm r ' =−asinθ đổi dấu tại θ=π nên diện tích
|
S=
π
2π
|
π
1
∫ a2 (1+ cosθ )2 dθ− 12 ∫ a2 ( 1+cosθ )2 dθ =∫ a2 (1+ cosθ )2 dθ
2 0
π
0
π
π
0
0
π
2
sin 2θ
3a π
1+cos 2 θ
2 3
2
2
(
)
θ+2 sinθ +
=
¿ a ∫ 1+2 cosθ+ co s θ dθ=a ∫ 1+2 cosθ+
dθ¿ a
2
(
2
)
(2
4
)
0
2
2.Trong lĩnh vực hàng hải và thiên văn
+Trong hàng hải:Các nhà hàng hải và quân đội sử d ụng m ặt ph ẳng t ọa đ ộ nh ư s ự
yêu thích của các nhà toán học. Bán kính được g ọi là ph ạm vi, và các đ ơn v ị th ực
tế thường được ghi rõ, như mét (m) hay ki-lô-mét (km). Góc hay h ướng đ ược g ọi
là góc phương vị, vị trí, hay phương hướng, và được đo bằng đ ộ từ h ướng B ắc
theo chiều kim đồng hồ. Góc phương vị được ký hiệu � (chữ cái Hy Lạp cổ), và
phạm vi được ký hiệu �. Vị trí của điểm được xác định bằng cặp số (�, �)
+Trong thiên văn: Nhà thiên văn học Hipparchus (190-120 TCN) đã l ập m ột b ảng
hàm các dây cung cho biết chiều dài dây cung cho m ỗi góc. Có tài li ệu cho r ằng
ông sử dụng tọa độ cực để thiết lập vị trí các thiên hà.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
13
- Xem thêm -