Tài liệu Bt phamtru phddong16 (1)

Mët t i l»u ng­n gån v· Lþ thuy¸t ph¤m trò v  h m tû A short way to theory of categories and functor Bi¶n so¤n: Ph¤m ¼nh çng Based on Cì sð ¤i sè hi»n ¤i Version 1.09BETA 09/01/2008 1 Líi tüa Lþ thuy¸t ph¤m trò v  h m tû l  mët mæn håc mîi vîi ph¦n æng chóng ta. Vi»c t¼m mët quyºn b i tªp v· bë mæn n y qu£ l  khâ kh«n. º phöc vö cho nhu c¦u æn tªp cõa m¼nh tæi bi¶n so¤n tªp t i li»u ng­n gån n y. Gâp nh°t nìi n y v i þ t÷ðng, nìi kia v i luªn cù tæi ¢ l m cæng vi»c cõa mët con b÷îm li»ng v÷ín hoa - v÷ín hoa xù l¤ - m  khæng mong k¸t tinh mët ÷ñc mët thù mªt n o l nh ngåt. May ch«ng, ch¿ câ thº tr¡nh ÷ñc sü cho¡ng ngñp ban ¦u khi ti¸p cªn vîi "tay ki¸m kh¡ch væ còng trøu t÷ñng" n y. R§t mong ÷ñc sü ch¿ gi¡o cõa c¡c ëc gi£ v· nhúng sai l¦m khæng tr¡nh khäi trong t i li»u n y. N÷îc muæn sæng khæng õ cho tæi rûa tai º nghe nhúng líi cao luªn. Hu¸, Mòa æng, n«m inh Hñi nghiemkidy 2 1 Ph¤m trò 1.1 Kh¡i ni»m v· ph¤m trò B i tªp 1.1. 1. 2. 3. 4. 1 l  ph¤m trò vîi mët vªt ? v  mët môi t¶n id?; 0 l  ph¤m trò réng khæng câ vªt v  môi t¶n n o. G r khæng l  ph¤m trò con ¦y cõa ph¤m trò S Ab l  ph¤m trò con ¦y cõa G r. Líi gi£i. 3. Trong ph¤m trò G r ta câ [Z2 , Z2 ] = {0, id}. Tuy nhi¶n trong ph¤m trò S , [Z2 , Z2 ] = {0, id, e} vîi e(0) = 1, e(1) = 1 4. Rã v¼ kh¡i ni»m c§u x¤1 trong Ab v  G r l  nh÷ nhau. Cho mët hå (Ai)i∈I c¡c vªt trong mët ph¤m trò C , chùng minh r¬ng CS , CP l  ph¤m trò. 1. Ob(CS ) = {(αi : Ai −→ X)I |X ∈ Ob(C)}, B i tªp 1.2. [(αi : Ai −→ X)I , (βi : Ai −→ Y )I ]CS = {δ : X −→ Y ∈ [X, Y ]C | βi = δαi , ∀i ∈ I} hñp th nh c¡c c§u x¤ trong CS ch½nh l  t½ch c¡c c§u x¤ trong C . 2. Ob(CP ) = {(αi : X −→ Ai )I |X ∈ Ob(C)}, [(αi : X −→ Ai )I , (βi : Y −→ Ai )I ]CP = {γ : X −→ Y ∈ [X, Y ]C | βi = γαi , ∀i ∈ I} hñp th nh c¡c c§u x¤ trong CP ch½nh l  t½ch c¡c c§u x¤ trong C . Líi gi£i. ∗ Ta câ [(αi : Ai −→ X)I , (βi : Ai −→ Y )I ]CS ⊂ [X, Y ]C n¶n nâ l  mët tªp hñp. ∗ 1(αi :Ai −→X)I = 1X ∗ V¼ ph²p hñp th nh c¡c c§u x¤ trong CS ch½nh l  t½ch c¡c c§u x¤ trong C n¶n 1(αi :Ai −→X)I = 1X l  duy nh§t v  ph²p hñp th nh câ t½nh k¸t hñp. 1 Mët sè s¡ch gåi l  môi t¶n(arrow) 3 Cho A, B l  c¡c vªt trong mët ph¤m trò C , chùng minh r¬ng l  ph¤m trò. 1. Ob(OvB ) = {(X −→ B)|X ∈ Ob(C)}, β α [X −→ B, Y −→ B]Ov = {γ : X −→ Y ∈ [X, Y ]C |βγ = α} 2. Ob(U nA) = {(A −→ Y )|Y ∈ Ob(C)}, β α [A −→ Y, A −→ X]U n = {δ : X −→ Y ∈ [X, Y ]C |δβ = α} B i tªp 1.3. OvB , U nA B A Líi gi£i. Rã 1.2 C¡c vªt v  c¡c c§u x¤ °c bi»t B i tªp 1.4. Chùng minh r¬ng a. N¸u α, β l  ìn x¤ v  βα x¡c ành th¼ βα công ìn x¤. b. N¸u αβ th¼ α ìn x¤ (nh÷ng β khæng nh§t thi¸t ìn x¤). c. N¸u α l  to n x¤ (ìn x¤) trong ph¤m trò C th¼ [α] khæng to n x¤ (ìn x¤) trong ph¤m trò th÷ìng cõa C . Líi gi£i. a. Gi£ sû câ f , g sao cho βαf = βαg . V¼ β l  ìn x¤ n¶n αf = αg , do α l  ìn x¤ n¶n f = g . Vªy βα ìn x¤. b. Gi£ sû câ f , g sao cho αf = αg . Suy ra βαf = βαg do βα l  ìn x¤ n¶n f = g . Vªy α l  ìn x¤. β khæng nh§t thi¸t ìn x¤. Trong ph¤m trò c¡c tªp hñp, x²t c¡c c§u x¤ β α N −→ Z −→ N n 7−→ n z 7−→ |z| Rã r ng βα = idN l  ìn x¤. Tuy nhi¶n β khæng l  ìn x¤ v¼ |z1 | = |z2 | khæng suy ra ÷ñc z1 = z2 . c. X²t ph¤m trò và nhâm nh¥n N. Ta x²t mët quan h» t÷ìng ÷ìng tr¶n M or(N): a, b ∈ M or(N), a ∼ b ⇐⇒ a v  b còng chia h¸t cho 2 hay ·u khæng chia h¸t cho 2. 4 Khi â M or(N) ÷ñc chia th nh hai lîp:[0], [1]. Ta câ ph¤m trò th÷ìng N: Ob(N) = {N}, M or(N) = {[0], [1]} Hñp th nh[a], [b]: ( [1] n¸u a v  b ·u l´ [a][b] = [ab] = [0] c¡c tr÷íng hñp cán l¤i Ta câ 2 l  to n x¤ (ìn x¤) trong N. Nh÷ng [2] khæng to n x¤ (ìn x¤) trong N. B i tªp 1.5. 1. To n x¤ ch÷a ch­c l  to n ¡nh. 2. ìn x¤ ch÷a ch­c l  ìn ¡nh. Líi gi£i. 1. X²t ph¤m trò M on c¡c nûa nhâm câ ìn và(Monoid) c¡c c§u x¤ l  c¡c çng c§u cõa chóng. çng c§u bao h m j : N −→ Z l  mët to n x¤ nh÷ng khæng to n ¡nh. Thªt vªy, gi£ sû r¬ng g1 and g2 l  hai c§u x¤ ph¥n bi»t tø Z tîi mët monoid M n o â. Lóc â câ n ∈ Z sao cho g1 (n) 6= g2 (n), do â g1 (−n) 6= g2 (−n). Ho°c n ho°c −n ∈ / N, g1 j 6= g2 j . Vªy j l  to n x¤. 2. Trong ph¤m trò Div c¡c nhâm abel chia ÷ñc v  c¡c c§u x¤ l  c¡c çng c§u nhâm giúa chóng. X²t çng c§u th÷ìng q : Q −→ Q/Z. Rã r ng nâ khæng l  ìn ¡nh; tuy nhi¶n, nâ l  mët ìn x¤ trong ph¤m trò n y. Thªt vªy, n¸u qf = qg trong â f , g : G −→ Q, G l  nhâm abel chia ÷ñc n o â. Lóc â qh = 0 vîi h = f − g (¥y l  mët ph¤m trò cëng t½nh2 ). Suy ra h(x) l  mët sè húu t¿ n¸u x ∈ G. N¸u h(x) 6= 0, ch¯ng h¤n,   1 x = h 2008h(x) 2008 th¼  qh x 2008h(x)  6= 0 m¥u thu¨n vîi qh = 0, vªy h(x) = 0 v  q l  ìn x¤. 2 xem [1] 5 Chùng minh r¬ng c¡c m»nh · sau t÷ìng ÷ìng: A l  vªt khæng. O −→ A l  to n x¤. A −→ O l  ìn x¤. 1A l  c§u x¤ khæng. B i tªp 1.6. a. b. c. d. Líi gi£i. Ta ch¿ chùng minh a ⇐⇒ b v  a ⇐⇒ d. 1. (a =⇒ b). Gi£ sû A l  vªt khæng. N¸u câ f , g : A −→ X sao cho f.0OA = g.0OA th¼ f = g v¼ [A, X] câ duy nh§t mët ph¦n tû. Vªy O −→ A l  to n x¤. 2. (b =⇒ a). Gi£ sû O −→ A l  to n x¤. c Ta s³ chùng minh O −→ A l  ¯ng x¤. Thªt vªy, A 0AO / 0OA O / A ∗ Ta câ 0OA .0AO = 0AA ∈ [A, A] v  1AA ∈ [A, A]. M°t kh¡c 0AA 0OA = 1AA 0OA = 0OA , do 0OA l  to n x¤ n¶n 0AA = 1AA . ∗ Ta công câ 0AO .0OA = 0OO = 1OO . Vªy a ⇐⇒ b. 3. (a =⇒ d). Rã. 4. (d =⇒ a). Gi£ sû 1A l  c§u x¤ khæng. A l  vªt tªn còng v¼ 0XA ∈ [X, A] v  n¸u f ∈ [X, A] th¼ 1A f = 0XA = 1A 0XA , do â f = 0XA v¼ 1A l  ¯ng x¤. Vªy a ⇐⇒ d. B i tªp 1.7. Cho C l  mët ph¤m trò v  h¼nh vuæng sau giao ho¡n: P p2 p1  D2 β2 / / B1  β1 B Ta x²t ph¤m trò P ull: Vîi β1 : B1 −→ B , β2 : B2 −→ B cho s®n cõa C 6 Ob(Pull) = {(p1 : P −→ B1 , p2 : P −→ B2 )|p1 , p2 ∈ M or(C), β1 p1 = β2 p2 } [(p1 , p2 ), (p01 , p02 )]P ull = {γ : P 0 −→ P ∈ M or(C)| p01 = p1 γ, p02 = p2 γ}; hñp th nh l  hñp th nh trong trong C ; 1(p1,p2) = 1C . H¢y t¼m vªt tªn còng trong ph¤m trò P ull. Líi gi£i. ∗ Gi£ sû trong ph¤m trò P ull tçn t¤i n½u cho c°p β1 , β2 l  (P, p1 , p2 ) th¼ (p1 , p2 ) ch½nh l  vªt tªn còng c¦n t¼m. ∗ N¸u ph¤m trò P ull khæng tçn t¤i n½u cho c°p β1 , β2 . Gi£ sû (p1 , p2 ) l  vªt tªn còng cõa ph¤m trò P ull th¼ (P, p1 , p2 ) l  n½u (væ lþ). Chùng minh r¬ng: a. N¸u α l  ìn x¤ th¼ Kerα = 0, nh÷ng ng÷ñc l¤i th¼ ch÷a ch­c; b. N¸u β l  ìn x¤ th¼ Ker(α) = Ker(βα). c. N¸u u : K −→ A l  h¤t nh¥n cõa α : A −→ B v  p : A −→ K ∗ l  èi h¤t nh¥n cõa u th¼ u l  h¤t nh¥n cõa p. B i tªp 1.8. Líi gi£i. a. Ta câ 0 α XA X −→ A −→ B ∗ α.0XA = 0. ∗ Gi£ sû câ c§u x¤ u0 : K 0 −→ A thäa m¢n i·u ki»n αu0 = 0. V¼ α l  ìn x¤ n¶n u0 = 0XA . Vîi λ = idX ta câ 0XA .λ = u0 . Vªy Kerα = 0. Ph£n v½ dö: X²t ph¤m trò R − Smod c¡c nûa mæun tr¡i. X²t Λ3 = 0, 1, a, trong â a kh¡c 0 v  1 vîi ph²p to¡n cång ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau: + 0 1 a 0 0 1 a 1 1 1 1 7 a a 1 a Λ3 l  và nhâm cëng giao ho¡n vîi ph¦n tû ìn và l  1. Ta câ N = {0, 1, 2, . . .} vîi ph²p cëng v  nh¥n thæng th÷íng l  nûa v nh. X²t ¡nh x¤ ϕ : N × Λ3 −→ Λ3 (n, x) 7−→ nx = x + + . . . x} | x{z n l¦n Ta câ ∀m, n ∈ N, ∀x, y ∈ Λ3 n(x + y) = (x + y) + . . . (x + y) = x + x{z + . . . x} + y + y + . . . y {z } | | {z } | n l¦n n l¦n n l¦n = nx + ny T÷ìng tü (m + n)x = nx + mx (mn)x = m(nx) 1x = x Vªy Λ3 l  mët N − nûa mæun X²t f : Λ3 0 1 a tr¡i. −→ Λ3 7−→ 0 7−→ 1 7−→ 1 f (0 + 1) = f (1) = 1 = 0 + 1 = f (0) + f (1) T÷ìng tü f (0 + a) = f (0) + f (a) f (1 + a) = f (1) + f (a) f (m1) = mf (1) f (m0) = mf (0) f (ma) = mf (a) Vªy f l  N−çng c§u nûa mæ un tr¡i. X²t K = {x ∈ Λ3 |f (x) = 0} = {0} l  vªt khæng trong R − Smod. X²t K0 B 0K 0 K =λ K ~ BB g0 BB BB B g=0 / Λ3 8 f / Λ3 vîi g : K −→ Λ3 0 0 Ta câ f g = f.0KΛ3 = 0KΛ3 . Vîi måi g 0 : K 0 −→ Λ3 thäa f g 0 = 0K 0 Λ3 . Suy ra g 0 = 0. Khi â tçn t¤i duy nh§t c§u x¤ λ : K 0 −→ K = {0} x 7−→ 0 sao cho gλ(x) = g(0) = 0 = g 0 (x), ∀x ∈ K 0 . Vªy K = Kerf nh÷ng f khæng ìn ¡nh, do â khæng ìn x¤. b. Ta chùng minh n¸u tçn t¤i Ker(α) th¼ Ker(βα) công tçn t¤i v  Ker(α) = Ker(βα) v  ng÷ñc l¤i . (=⇒) kerα β α X −→ A −→ B −→ C Ta câ (βα)kerα = β(αkerα) = β0XB = 0XC λ ~ X K 0 AA AA u0 AA AA kerα /A α / β B / C Gi£ sû câ u : K −→ A sao cho βαu = 0K 0 C , v¼ β l  ìn x¤ n¶n αu0 = 0XB . M  αkerα = 0XB n¶n tçn t¤i duy nh§t λ : K 0 −→ K sao cho ker(α).λ = u0 . Vªy Ker(α) = Ker(βα). (⇐=)3 0 0 0 c. λ K K 0 AA ~ u AA u0 AA AA /A p @@ @@ @ α @@  B } / K∗ γ ∗ Ta câ pu = 0 v¼ p = cokeru. M°t kh¡c αu = 0 n¶n theo t½nh ch§t cõa cokeru tçn t¤i c§u x¤ duy nh§t γ : K ∗ −→ B sao cho γp = α. 3 rã 9 ∗ Gi£ sû câ u0 : K 0 −→ A thäa m¢n pu0 = 0. Lóc â γpu0 = 0 = αu0 . Do u = kerα n¶n tçn t¤i duy nh§t c§u x¤ λ : K 0 −→ K sao cho uλ = u0 . Vªy u l  h¤t nh¥n cõa p. B i tªp 1.9. Ta gåi t½ch thî cõa mët hå c§u x¤ (βi : Bi −→ B)i∈I ) cõa ph¤m trò C l  t½ch cõa hå vªt (βi : Bi −→ B)i∈I ) trong ph¤m trò OvB c¡c vªt ph½a tr¶n B . Khi méi c§u x¤ βi l  ìn x¤ th¼ t½ch thîT cõa hå (βi : Bi −→ B)i∈I ) cán ÷ñc gåi l  giao cõa hå c¡c vªt Bi, k½ hi»u Bi. i∈I H¢y chùng tä r¬ng n¸u ph¤m trò C câ vªt tªn còng B th¼ i) Ph¤m trò OvB c¡c vªt ph½a tr¶n B tròng vîi ph¤m trò ¢ cho. ii) T½ch cõa hå vªt (Bi)i∈I tròng vîi t½ch thî cõa hå (βi : Bi −→ B)i∈I ). Líi gi£i. i) Chùng minh trong ph¤m trò C câ vªt tªn còng th¼ OvB ≡ C . Ta c¦n chùng minh 1−1 1. Ob(C) ←→ Ob(OvB ) f g 2. [X −→ B, Y −→ B] = [X, Y ]C 1. Ta câ vîi méi vªt cõa Ob(OvB ) t÷ìng ùng 1 − 1 vîi méi vªt cõa Ob(C). 1−1 (X −→ B) ∈ Ob(OvB ) ←→ X ∈ Ob(C) f g 2. Ta câ ∀γ ∈ [X −→ B, Y −→ B]OvB , γ : X −→ Y : gγ = f . β α γ ∈ [X, Y ]C . Suy ra [X −→ B, Y −→ B] ⊂ [X, Y ]C . Ng÷ñc l¤i, vîi måi γ ∈ [X, Y ]C , γ : X −→ Y . Khi â gγ : X −→ B ∈ [X, B]. Ta câ f : X −→ B ∈ [X, B] v  do B l  vªt tªn còng n¶n gγ = f . f g f Do â γ ∈ [X −→ B, Y −→ B]OvB , tùc l  [X, Y ]C ⊂ [X −→ g B, Y −→ B]OvB . f g Vªy [X −→ B, Y −→ B] = [X, Y ]C . 10 pi ii) Gi£ sû (P, P −→ Bi )i∈I l  t½ch cõa hå vªt (Bi )i∈I trong ph¤m trò C . Ta pi s³ chùng minh (P, P −→ Bi )i∈I l  t½ch thî cõa hå (βi : Bi −→ B)i∈I . Thªt vªy, ta câ βi pi : P −→ B, βj pj : P −→ B Do B l  vªt tªn còng n¶n βi pi = βj pj , ∀i, j ∈ I Suy ra βi pi ∈ Ob(OvB ). αi ∀X ∈ Ob(C), (X, X −→ Bi )i∈I ta câ βi αi : X −→ B, βj αj : X −→ B Do B l  vªt tªn còng n¶n βi αi = βj αj , ∀i, j ∈ I . Suy ra βi αi ∈ Ob(OvB ). Do P l  t½ch n¶n tçn t¤i duy nh§t c§u x¤ γ : X −→ P sao cho pi γ = αi , ∀i ∈ I . Vªy P l  t½ch thî cõa hå (βi : Bi −→ B)i∈I . 1.3 Ph¤m trò khîp, cëng t½nh, abel B i tªp 1.10. Trong ph¤m trò khîp 1. Chùng minh méi ìn x¤ l  h¤t nh¥n cõa èi h¤t nh¥n cõa nâ 2. Mët c§u x¤ α l  ìn x¤ khi v  ch¿ khi Kerα = 0. Trong ph¤m trò khîp, ta câ måi c§u x¤ α : A −→ B thäa α = uv trong â u = ker(cokerα), v = coker(kerα). Líi gi£i. 1. Gi£ sû α l  ìn x¤. Ta chùng minh α = ker(cokerα). V¼ α ìn x¤ n¶n kerα = 0XA . Ta câ v = coker(kerα) = coker0XA = 1A . Vªy α = u1A = ker(cokerα). 2. kerα = 0 =⇒ α ìn x¤. Thªt vªy, gi£ sû câ f, g : X −→ A sao cho αf = αg hay uvf = uvg . V¼ u l  ìn x¤ n¶n vf = vg hay coker(kerα)f = coker(kerα). Suy ra 1A f = 1A g , tùc l  f = g . Trong ph¤m trò cëng t½nh, chùng minh 1. α to n x¤ ⇐⇒ Cokerα = 0. B i tªp 1.11. 11 2. Coequ(α, β) = Coker(α − β). Líi gi£i. Cho α : A −→ B , cokerα : B −→ Y . 1. Ta chùng minh Cokerα = 0 =⇒ α to n x¤. Gi£ sû câ f, g : B −→ Y ∗ sao cho f α = gα th¼ f α − gα = 0 hay (f − g)α = 0. A α / / Cokerα B BB BB BB f −g BB ~ Y∗ Y γ Lóc â tçn t¤i duy nh§t γ : B −→ Y ∗ sao cho f − g = γcokerα = 0. Vªy f = g , tùc l  α l  to n x¤. 2. Gi£ sû (C, h) = Coker(α − β) tçn t¤i. 4 Ta chùng minh Coequ(α, β) = Coker(α − β). Ta câ h(α − β) = hα − hβ = 0 n¶n hα = hβ . N¸u câ u : B −→ Z sao chouα = uβ hay u(α − β) = 0 th¼ theo ành ngh¾a cõa èi h¤t nh¥n câ duy nh§t γ : Y −→ Z sao cho γh = u. A α−β / B@ @@ @@ u @@  Z Vªy Coequ(α, β) = Coker(α − β). 4 Khi Coequ(α, β) tçn t¤i th¼ ta chùng minh t÷ìng tü 12 /C h  γ 2 H m tû 2.1 Kh¡i ni»m h m tû B i tªp 2.1. Chùng tä c¡c t÷ìng ùng sau ¥y l  h m tû hi»p bi¸n a. T÷ìng ùng HA : C X −→ 7−→ α X −→ Y S [A, X]C 7−→ H A (X) f [A,α]=H A (α) −→ 7−→ H A (Y ) αf trong â C l  mët ph¤m trò tuý þ v  A l  mët vªt cè ành trong ph¤m trò C . b. T÷ìng ùng A ⊗R − : R − Mod −→ Ab X α X −→ Y 7−→ A ⊗R X 1⊗α 7−→ A ⊗R X −→ A ⊗R X trong â A l  mët R − mæun ph£i, R − mod l  ph¤m trò c¡c R − mæun tr¡i. c. T÷ìng ùng HomR (A, −) : R − Mod −→ Ab X α X −→ Y 7 → HomR (A, X) − 7−→ HomR (A, α) trong â A l  mët R − mæun ph£i, R − mod l  ph¤m trò c¡c R − mæun tr¡i. Líi gi£i. Rã r ng c¡c t÷ìng ùng X α X −→ Y 7−→ [A, X]C H A (α) 7−→ H A (X) −→ H A (Y ) f 7−→ αf l  c¡c ¡nh x¤. Ta câ 13 ∗ H A (1X ) = 1H A (X) . Thªt vªy, vîi måi φ ∈ [A, X]C th¼ H A (1X )(φ) = 1X (φ) = φ v  1H A (X) (φ) = φ. ∗ Vîi måi φ ∈ [A, X]C , f ∈ [X, Y ]C g ∈ [Y, Z]C th¼ H A (gf )(φ) = (gf )φ = gf φ v  H A (g)H A (f )(φ) = H A (g)(f φ) = gf φ, suy ra H A (gf ) = H A (g)H A (f ). Vªy H A l  mët h m tû hi»p bi¸n. 2.2 Ph²p bi¸n êi tü nhi¶n B i tªp 2.2. Cho α : A −→ B l  mët c§u x¤ cõa M or(C), ta x²t c¡c h m tû ph£n bi¸n HA v  HB . Vîi X ∈ Ob(C), ta x¡c ành ¡nh x¤ Hα : H A (X) −→ H B (X) f 7−→ αf Chùng tä r¬ng Hα l  mët ph²p bi¸n êi tü nhi¶n tø h m tû HA tîi h m tû HB . V¼ HA v  HB l  hai h m tû ph£n bi¸n n¶n º chùng minh Hα l  ph²p bi¸n êi tü nhi¶n ta s³ chùng minh vîi méi φ : X −→ Y ∈ M or(C) ta câ biºu ç sau giao ho¡n Líi gi£i. HA (Y ) HA (φ) Hα (Y ) /  HB (Y )  / HA (X) H α (X) HB (φ) HB (X) hay biºu ç sau giao ho¡n [Y, A]C HA (φ) Hα (Y )  [X, A]C / / Hα (X) 14 [Y, B]C  HB (φ) [X, B]C Thªt vªy, vîi måi f ∈ [Y, A] ta câ HB (φ)Hα (Y )(f ) = HB (φ)(αf ) = αf φ v  Hα (X)HA (φ)(f ) = Hα (X)(f φ) = αf φ. Vªy HB (φ)Hα (Y ) = Hα (X)HA (φ). 2.3 H m tû khîp B i tªp 2.3. N¸u F : C −→ D l  h m tû cëng t½nh th¼ a. F (0) = 0 b. F (−α) = −F (α), ∀α ∈ M or(C). Líi gi£i. a. Ta câ F (id0 + id0 ) = F (id0 ) + F (id0 ) =⇒ F (id0 ) = 0 =⇒ idF (0) = 0 =⇒ F (0) = 0 b. Ta câ F (α − α) = F (0) = F (α) + F (−α) = 0, F (−α) = −F (α) Chùng tä r¬ng : a. C¡c h m tû H A, HB , HomR(A, −), HomR(−, B) : R − Mod −→ Ab l  khîp tr¡i. b. C¡c h m tû A ⊗R − : R − Mod −→ Ab − ⊗R B : R − Mod −→ Ab l  khîp ph£i B i tªp 2.4. Líi gi£i. a. Ta ch¿ x²t H A v  A ⊗R − v  k½ hi»u C thay cho R − Mod. Ta chùng minh H A l  khîp tr¡i. ∗ H A l  h m tû hi»p bi¸n. 15 ∗ H A l  cëng t½nh. Thªt vªy, vîi måi f, g ∈ [A, X]C ta câ [A, α](f + g) = α(f + g) = αf + αg = [A, α]f + [A, α]g α β ∗ H A l  khîp tr¡i, tùc l  n¸u trong C câ d¢y c§u x¤ X −→ Y −→ Z vîi α = Kerβ th¼ trong Ab câ d¢y c§u x¤ [A,α] [A,β] [A, X]C −→ [A, Y ]C −→ [A, Z]C vîi F (α) = KerF (β). b. i) F (α) ⊂ KerF (β). Ta câ F (β)F (α)(f ) = βαf = 0 =⇒ F (β)F (α) = 0 hay F (α) ⊂ KerF (β). ii) KerF (β) ⊂ F (α). L§y g ∈ KerF (β) ta câ F (β)(g) = 0 =⇒ βg = 0. V¼ α = kerβ n¶n tçn t¤i duy nh§t çng c§u γ : A −→ X sao cho αγ = g , tùc l  F (α)(γ) = g . Vªy KerF (β) ⊂ F (α). Ta chùng minh A ⊗R − l  khîp ph£i. ∗ A ⊗R − v  − ⊗R B ·u l  h m tû hi»p bi¸n5 . ∗ A ⊗R − l  h m tû cëng t½nh. Ta câ ∀X, Y ∈ Ob(R-Mod) : α, β ∈ [X, Y ]R-Mod A ⊗R (α + β) = A ⊗R α + A ⊗R β. Thªt vªy, ∀(a ⊗ x) ∈ A ⊗R X , A ⊗R (α + β)(a ⊗ x) = 1A (a) ⊗ [(α + β)(x)] = a ⊗ [α(x) + β(x)] = a ⊗ α(x) + a ⊗ β(x) = (1A ⊗ α)(a ⊗ x) + (1A ⊗ β)(a ⊗ x) = (1A ⊗ α + 1A ⊗ β)(a ⊗ x). α β ∗ A⊗R − l  khîp ph£i. Gi£ sû trong C câ d¢y c§u x¤ X −→ Y −→ Z vîi β = cokerα ta s³ chùng minh trong Ab câ d¢y c§u x¤ 1⊗α 1⊗β A ⊗R X −→ A ⊗R Y −→ A ⊗R Z vîi 1 ⊗ β = Coker(1 ⊗ α). Thªt vªy, v¼ β = Cokerα = Y /Imα n¶n β l  to n x¤, do â 5 Vi»c chùng minh − ⊗R B khîp ph£i ta ti¸n h nh t÷ìng tü 16 β = Coimβ = Y /Kerβ . =⇒ imα = kerβ . β α Vªy d¢y X −→ Y −→ Z −→ O khîp, tø â d¢y 1⊗β 1⊗α A ⊗R X −→ A ⊗R Y −→ A ⊗R Z −→ 0 khîp6 . Suy ra im(1 ⊗ α) = ker(1 ⊗ β) v  1 ⊗ β l  to n x¤ n¶n 1 ⊗ β = coim(1 ⊗ β) = A ⊗R Y /Ker(1 ⊗ β) = A ⊗R Y /Im(1 ⊗ α) = Coker(1 ⊗ α) NHŠN X’T: Nâi chung −⊗R B , HomR (B, −) khæng khîp. Thªt vªy, chån R = Z, B = Z2 . ∗ Ta câ d¢y sau khîp: j p 0 −→ 2Z −→ Z −→ Z2 −→ 0, trong â j(1) = 2, p(1) = 1̄. Tuy nhi¶n, d¢y sau khæng khîp j⊗id p⊗id 0 −→ 2Z ⊗Z Z2 −→ Z ⊗Z Z2 −→ Z2 ⊗Z Z2 −→ 0 v¼ j ⊗ id khæng ìn ¡nh. Thªt vªy, j ⊗ id(1 ⊗ 1̄) = j(1) ⊗ id(1̄) = 2 ⊗ 1̄ = 1 ⊗ 21̄ = 1 ⊗ 0̄ = 0. =⇒ j ⊗ id l  ¡nh x¤ khæng. Nâ khæng ìn ¡nh v¼ 2Z ⊗Z Z2 ∼ = Z2 6= 0.7 = Z ⊗Z Z2 ∼ ∗ Ta câ vîi ϕ ∈ HomZ (Z2 , Z), 2ϕ(1̄) = ϕ(2̄ = 0. =⇒ ϕ(1̄) = 0 hay ϕ = 0. =⇒ HomZ (Z2 , Z) = 0. N¸u d¢y khîp j p 0 −→ Z −→ Z −→ Z2 −→ 0, trong â j(1) = 2, p(1) = 1̄ sinh ra d¢y khîp j? p? 0 −→ HomZ (Z2 , Z) −→ HomZ (Z2 , Z) −→ HomZ (Z2 , Z2 ) −→ 0 th¼ d¢y sau khîp 0 −→ 0 −→ 0 −→ HomZ (Z2 , Z2 ) −→ 0 Vªy HomZ (Z2 , Z2 ) = 0 (væ lþ). 6X 1⊗β ⊗R A −→ Y ⊗R A −→ Z ⊗R A −→ 0 công khîp ∼ ∼ ∼ R M = M ⊗R R = M v  2Z = Z 1⊗α 7R ⊗ 17 Cho P l  R − mæun ph£i tü do8, h m tû sau khîp: P ⊗R − : R − Mod −→ Ab B i tªp 2.5. 7−→ P ⊗R X 1⊗α 7−→ P ⊗R X −→ P ⊗R X X α X −→ Y V¼ c¡c ph¤m trò R − Mod v  Ab l  c¡c ph¤m trò abel n¶n ta s³ chùng minh P ⊗R − bi¸n d¢y khîp ng­n Líi gi£i. β α 0 −→ X −→ Y −→ Z −→ 0 th nh d¢y khîp ng­n 1⊗β 1⊗α 0 −→ P ⊗R X −→ P ⊗R Y −→ P ⊗R Z −→ 0 Ta bi¸t P ⊗R − l  khîp ph£i n¶n vi»c cán l¤i l  chùng minh P ⊗R f l  ìn c§u. V¼ P tü do n¶n P câ cì sð (e Pi )I . Khi â måi ph¦n tû cõa P ⊗R X ·u câ thº vi¸t duy nh§t d÷îi d¤ng ei ⊗R xi trong â xi ∈ X v  hå (xi )I câ gi¡ húu h¤n.9 Gi£ sû X X X (P ⊗R f )( ei ⊗R xi ) = ei ⊗R f (xi ) = 0 = ei ⊗R 0 Do â f (xi ) = 0, ∀i ∈ I . M°t kh¡c f ìn c§u n¶n xi = 0∀i ∈ I . Vªy ker(P ⊗R f ) = 0 hay P ⊗R f l  ìn c§u. B i tªp 2.6. 1. N¸u P l  mæun x¤ £nh th¼ h m tû HomR(P, −) khîp. 2. Cho Q l  mæun nëi x¤ th¼ h m tû HomR(−, Q) khîp. Líi gi£i. 1. HomR (P, −) l  h m tû hi»p bi¸n khîp tr¡i n¶n º chùng minh d¢y f g khîp ng­n 0 −→ A −→ B −→ C −→ 0 sinh ra d¢y khîp f? f? 0 −→ HomR (P, A) −→ HomR (P, B) −→ HomR (P, C) −→ 0 8P x¤ £nh công óng l¤i lþ thuy¸t mæ un 9 Xem 18 ta ch¿ cán chùng minh g? l  to n c§u. Thªt vªy, v¼ d¢y tr¶n khîp n¶n g l  to n c§u. P ϕ B  g /  α C /O M  P x¤ £nh n¶n vîi måi α : P −→ C tçn t¤i ϕ : P −→ B sao cho gϕ = α = g? . 2. HomR (−, Q) l  h m tû ph£n bi¸n khîp tr¡i. 10 . Y¶u c¦u cõa b i to¡n t÷ìng ÷ìng vîi f ? l  to n c§u n¸u f ìn c§u ngh¾a l  ∀β ∈ HomR (A, Q) tçn t¤i ϕ ∈ HomR (B, Q) sao cho f ? (ϕ) = ϕf = β . i·u n y rã r ng v¼ Q l  nëi x¤. 10 D¢y f g khîp A −→ B −→ C −→ 0 c£m sinh d¢y khîp f? f? 0 −→ HomR (C, Q) −→ HomR (B, Q) −→ HomR (A, Q) 19 T i li»u [1] Nguy¹n Xu¥n Tuy¸n, L¶ V«n Thuy¸t, Cì döc, 2001. [2] Barry Mitchell, ti¸ng Vi»t) sð ¤i sè hi»n ¤i, NXB Gi¡o Lþ thuy¸t ph¤m trò, Academic Press, 1965 (B£n dàch ¤i sè (Gi¡o tr¼nh sau ¤i håc), NXB Gi¡o döc, 1985. MacLane, Categories for mathematician working, Graduate [3] Ngæ Thóc Lanh, [4] Saunder Texts in Mathematics 5, Springer-Verlag. [5] Barr, Michael Wells, Charles (2002), Toposes, Triples and Theories, http://www.cwru.edu/artsci/math/wells/pub/ttt.html (revised and corrected free online version of Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (278) Springer-Verlag, 1983). [6] Ad¡mek, Jir½, Herrlich, Horst Strecker, George E. (1990), Abstract and Concrete Categories, John Wiley Sons, ISBN 0-471-60922-6, http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf (now free on-line edition). [7] Asperti, Andrea Longo, Giuseppe (1991), Categories, Types and Structures, MIT Press, ftp://ftp.di.ens.fr/pub/users/ longo/ CategTypesStructures/ book.pdf. 20