Tài liệu Giới hạn của dãy điểm bất động của dãy các ánh xạ trong không gian Mêtric

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ------F------ VÕ VĂN CẨM GIỚI HẠN CỦA DÃY ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA DÃY CÁC ÁNH XẠ TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ------F------ VÕ VĂN CẨM GIỚI HẠN CỦA DÃY ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA DÃY CÁC ÁNH XẠ TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60. 46. 01. 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. KIỀU PHƯƠNG CHI Nghệ An- 2014 2 MÖC LÖC Möc löc 2 Mð ¦u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 Sü tçn t¤i iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ co v  ¡nh x¤ tüa co 6 1.1. Mët sè ki¸n thùc chu©n bà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2. Sü tçn t¤i iºm b§t ëng cõa c¡c ¡nh x¤ co trong khæng gian m¶tric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Giîi h¤n cõa c¡c iºm b§t ëng cõa d¢y c¡c ¡nh x¤ 24 2.1. Giîi h¤n cõa mët d¢y iºm b§t ëng cõa c¡c ¡nh x¤ . . . . . 24 2.2. Giîi h¤n cõa mët d¢y iºm b§t ëng cõa c¡c ¡nh x¤ co . . . . 28 K¸t luªn . . . . . . T i li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3 MÐ †U Nguy¶n lþ iºm b§t ëng cõa Banach (1922) èi vîi c¡c ¡nh x¤ co tr¶n khæng gian m¶tric ¦y õ l  mët k¸t qu£ kinh iºn cõa to¡n håc. Ng y nay, c¡c ành lþ v· sü tçn t¤i iºm b§t ëng èi vîi ¡nh x¤ ÷ñc nghi¶n cùu tr¶n nhi·u lîp ¡nh x¤ v  c¡c lo¤i khæng gian kh¡c nhau. C¡c ành lþ iºm b§t ëng câ nhi·u ùng döng rëng r¢i trong nhi·u l¾nh vüc cõa to¡n håc nh÷ Gi£i t½ch, Ph÷ìng tr¼nh vi t½ch ph¥n...Câ thº nâi sü ph¡t triºn m¤nh m³ cõa lþ thuy¸t iºm b§t ëng câ nguçn gèc tø c¡c ùng döng rëng lîn cõa nâ. C¡c ành lþ iºm b§t ëng l  cì sð quan trång º chùng minh sü tçn t¤i nghi»m v  x§p x¿ nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n v  ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n (xem [2]). C¡c ành lþ iºm b§t ëng cán câ ùng döng trong nhi·u l¾nh vüc kh¡c nh÷: Kinh t¸ v  kÿ thuªt (xem [3], [6]...). Mët trong nhúng h÷îng nghi¶n cùu cõa lþ thuy¸t iºm b§t ëng trong khæng gian metric l  v§n · x§p x¿ iºm b§t ëng v  c§u tróc cõa tªp iºm b§t ëng cõa hå c¡c ¡nh x¤. Nghi¶n cùu giîi h¤n cõa d¢y c¡c iºm b§t ëng cõa mët d¢y c¡c ¡nh x¤ ÷ñc Nadler, Fraser... thüc hi¶n v o cuèi nhúng n«m 60 cõa th¸ k tr÷îc v  hå công t¼m ÷ñc mët sè ùng döng trong vi»c x§p x¿ nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n (xem [7], [9]...). Trong khuæn khê mët luªn v«n th¤c s¾, chóng tæi t¼m hiºu sü tçn t¤i iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ co, ¡nh x¤ tüa co v  giîi h¤n cõa d¢y iºm b§t ëng cõa d¢y c¡c ¡nh x¤ trong khæng gian m¶tric . Vîi möc ½ch â, chóng tæi lüa chån · t i cho luªn v«n cõa m¼nh l : Giîi h¤n cõa d¢y iºm b§t ëng cõa d¢y c¡c ¡nh x¤ trong khæng gian m¶tric 4 Nëi dung ch½nh cõa luªn v«n tr¼nh b y c¡c ành lþ v· sü tçn t¤i iºm b§t ëng cõa c¡c ¡nh x¤ co, ¡nh x¤ tüa co v  t½nh ch§t cõa giîi h¤n cõa d¢y iºm b§t ëng cõa c¡c ¡nh x¤ trong khæng gian m¶tric . Ch÷ìng 1. Sü tçn t¤i iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ co v  ¡nh x¤ tüa co Ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc chu©n bà v· sau v  hai k¸t qu£ c«n b£n cõa Banach v  C½ric v· v· sü tçn t¤i iºm b§t ëng èi vîi c¡c ¡nh x¤ co v  tüa co tr¶n khæng gian m¶tric ¦y õ. Ch÷ìng 2. Giîi h¤n cõa d¢y iºm b§t ëng cõa d¢y c¡c ¡nh x¤ trong khæng gian m¶tric Ch÷ìng n y nghi¶n cùu v· t½nh ch§t cõa giîi h¤n cõa d¢y iºm b§t ëng cõa d¢y c¡c ¡nh x¤ trong khæng m¶tric thæng qua sü hëi tö iºm, hëi tö ·u cõa d¢y c¡c ¡nh x¤. C¡c nëi dung ÷ñc tr½ch trong luªn v«n cì b£n ¢ ÷ñc tr¼nh b y r¢i r¡c trong c¡c t i li»u, chóng tæi têng hñp tr¼nh b y câ h» thèng theo möc ½ch ri¶ng cõa m¼nh. Ngo i vi»c chùng minh chi ti¸t c¡c k¸t qu£ trong t i li»u chùng minh v­n t­t ho°c khæng chùng minh, chóng tæi công · xu§t mët v i k¸t qu£ v  ÷a ra mët sè v½ dö minh håa cho c¡c k¸t qu£. Luªn v«n ÷ñc thüc hi»n t¤i Tr÷íng ¤i håc Vinh d÷îi sü h÷îng d¨n cõa th¦y gi¡o, TS. Ki·u Ph÷ìng Chi. T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c cõa m¼nh ¸n th¦y. Nh¥n dàp n y, t¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn Ban chõ nhi»m khoa Sau ¤i håc, Ban chõ nhi»m Khoa To¡n håc v  c£m ìn c¡c th¦y, cæ gi¡o trong bë mæn Gi£i t½ch, Khoa To¡n håc ¢ nhi»t t¼nh gi£ng d¤y v  gióp ï t¡c gi£ trong suèt thíi gian håc tªp. T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn Ban gi¡m hi»u, c¡c çng nghi»p trong Tê To¡n Tr÷íng THPT.TT æng Du ¢ gióp ï, t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi º t¡c gi£ ho n th nh khâa håc. Cuèi còng xin c¡m ìn gia ¼nh, çng nghi»p, b¤n b±, °c bi»t l  c¡c b¤n trong lîp Cao håc 20 Gi£i t½ch t¤i Tr÷íng ¤i håc S i gán ¢ cëng 5 t¡c, gióp ï v  ëng vi¶n t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  nghi¶n cùu. M°c dò ¢ câ nhi·u cè g­ng, nh÷ng luªn v«n khæng tr¡nh khäi nhúng h¤n ch¸, thi¸u sât. Chóng tæi r§t mong nhªn ÷ñc nhúng þ ki¸n âng gâp cõa c¡c th¦y, cæ gi¡o v  b¤n b± º luªn v«n ÷ñc ho n thi»n hìn. Ngh» An, th¡ng 6 n«m 2014 Vã V«n C©m 6 CH×ÌNG 1 SÜ TÇN T„I IšM B‡T ËNG CÕA NH X„ CO V€ NH X„ TÜA CO 1.1. Mët sè ki¸n thùc chu©n bà Trong möc n y, chóng tæi tr¼nh b y l¤i mët sè k¸t qu£ cì sð v· khæng gian m¶tric. C¡c k¸t qu£ n y ÷ñc tr½ch ra chõ y¸u tø [1]. 1.1.1 ành ngh¾a. Cho X l  mët tªp kh¡c réng. H m d : X × X → R ÷ñc gåi l  mët m¶tric tr¶n X n¸u tho£ m¢n c¡c i·u ki»n sau: 1) d(x, y) > 0, vîi måi x, y ∈ X ; d(x, y) = 0 khi v  ch¿ khi x = y. 2) d(x, y) = d(y, x), vîi måi x, y ∈ X . 3) d(x, y) 6 d(x, z) + d(z, y), vîi måi x, y, z ∈ X . Khi â, (X, d) ÷ñc gåi l  mët khæng gian m¶tric. 1.1.2 ành ngh¾a. Cho (X, d) l  mët khæng gian m¶tric. D¢y {xn} ⊂ X ÷ñc gåi l  hëi tö tîi x ∈ X v  kþ hi»u l  xn → x,(x ÷ñc gåi l  giîi h¤n cõa d¢y {xn }), n¸u lim d(xn , x) = 0. n→∞ Trong khæng gian m¶tric giîi h¤n cõa mët d¢y n¸u câ l  duy nh§t. 1.1.3 ành ngh¾a. 1) Khæng gian m¶tric X ÷ñc gåi l  compact n¸u måi d¢y thuëc X ·u câ d¢y con hëi tö trong X . 2) Khæng gian m¶tric X ÷ñc gåi l  compact àa ph÷ìng n¸u vîi måi a ∈ X tçn t¤i r > 0 sao cho bao âng cõa B(a, r) = {x ∈ X : d(x, a) < r} l  tªp compact. 7 1.1.4 ành ngh¾a. Cho (X, d) l  mët khæng gian m¶tric. D¢y {xn } ⊂ X ÷ñc gåi l  d¢y Cauchy n¸u lim d(xm , xn ) = 0. m,n→∞ Khæng gian (X, d) ÷ñc gåi l  ¦y õ n¸u måi d¢y Cauchy cõa X ·u hëi tö trong X . Cho B ⊂ X . Khi â δ[B] = sup{d(x, y) : x, y ∈ B} ÷ñc gåi l  ÷íng k½nh cõa B . Tªp con B ÷ñc gåi l  bà ch°n n¸u nâ câ ÷íng k½nh húu h¤n. 1.1.5 ành ngh¾a. D¢y c¡c tªp {Bn} ⊂ X ÷ñc gåi l  th­t d¦n ·u n¸u Bn+1 ⊂ Bn v  lim δ[Bn ] = 0. n→∞ K¸t qu£ nêi ti¸ng sau cán gåi l  nguy¶n lþ Cantor 1.1.6 ành lþ. Trong khæng gian m¶tric ¦y õ måi d¢y c¡c tªp âng th­t d¦n ·u câ iºm chung duy nh§t. 1.1.7 ành ngh¾a. Cho (X, d), (Y, ρ) l  c¡c khæng gian m¶tric v  ¡nh x¤ f : X → X . ¡ 1) nh x¤ f ÷ñc gåi l  li¶n töc n¸u vîi måi d¢y {xn } ⊂ X v  xn → x th¼ f (xn ) → f (x). ¡ 2) nh x¤ f ÷ñc gåi l  li¶n töc ·u n¸u vîi måi ε > 0 tçn t¤i δ = δ(ε) sao cho: ρ(f x, f y) < ε, ∀x, y ∈ X, d(x, y) < δ. Ta chùng minh ÷ñc måi ¡nh x¤ li¶n töc ·u l  li¶n töc.M»nh · ng÷ñc l¤i l  khæng óng. Cho (X, d) v  (Y, ρ) l  c¡c khæng gian m¶tric.Khæng gian m¶tric t½ch X × Y vîi m¶tric x¡c ành bði D((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = d(x1 , x2 ) + ρ(y1 , y2 ) 8 vîi (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ X × Y . D¹ d ng chùng minh ÷ñc ¡nh x¤ kho£ng c¡ch d : X × X → R l  li¶n töc, tùc l  n¸u d¢y (xn , yn ) hëi tö tîi trong (x, y) ∈ X × X th¼ d(xn , yn ) hëi tö tîi d(x, y) trong R. 1.1.8 ành ngh¾a. 1) Hå ¡nh x¤ Tα : (X, d) → (Y, ρ), (α ∈ I) ÷ñc gåi l  çng li¶n töc t¤i a ∈ X n¸u vîi måi ε > 0 tçn t¤i δ > 0 sao cho vîi måi α ∈ I ρ(Tα x, Tα a) < ε vîi måi x m  d(x, a) < δ . 2) Hå (Tα ) ÷ñc gåi l  çng li¶n töc tr¶n X n¸u vîi måi ε > 0 tçn t¤i δ > 0 sao cho vîi måi α ∈ I ρ(Tα x, Tα y) < ε vîi måi x, y ∈ X m  d(x, y) < δ . 1.1.9 ành ngh¾a. Cho d, ρ l  c¡c m¶tric tr¶n X . 1) d v  ρ ÷ñc gåi l  t÷ìng ÷ìng n¸u ¡nh x¤ çng nh§t id : (X, d) → (X, ρ) v  ¡nh x¤ ng÷ñc cõa nâ li¶n töc. 2) d v  ρ ÷ñc gåi l  t÷ìng ÷ìng ·u n¸u ¡nh x¤ çng nh§t id : (X, d) → (X, ρ) v  ¡nh x¤ ng÷ñc cõa nâ li¶n töc ·u. Ng÷íi ta chùng minh ÷ñc d v  ρ ÷ñc l  t÷ìng ÷ìng ·u n¸u v  ch¿ n¸u tçn t¤i a, b > 0 sao cho ad(x, y) 6 ρ(x, y) 6 bd(x, y) vîi måi x, y ∈ X . 1.1.10 ành ngh¾a. Cho (Tn) l  d¢y c¡c ¡nh x¤ li¶n töc cõa tø khæng gian m¶tric (X, d) v o khæng gian m¶tric (Y, ρ). 1) (Tn ) ÷ñc gåi l  hëi tö iºm tr¶n X tîi T : X → Y n¸u vîi måi x ∈ X th¼ Tn x hëi tö tîi T x. 2) (Tn ) ÷ñc gåi l  hëi tö ·u tr¶n X tîi T : X → Y n¸u lim sup ρ(T xn , T x) = 0. n→∞ x∈X 9 3) (Tn ) ÷ñc gåi l  hëi tö ·u tr¶n c¡c tªp compact cõa X tîi T : X → Y n¸u vîi måi tªp compact K cõa X ta câ lim sup ρ(T xn , T x) = 0. n→∞ x∈K Rã r ng sü hëi tö ·u cõa (Tn ) k²o theo sü hëi tö iºm. ành lþ sau cho mët i·u ki»n º d¢y hëi tö iºm l  hëi tö ·u, nâ ÷ñc sû döng nhi·u trong chùng minh c¡c k¸t qu£ cõa ch÷ìng sau. 1.1.11 ành lþ. N¸u (Tn) l  d¢y çng li¶n töc tr¶n tªp compact K v  Tn hëi tö iºm tîi T li¶n töc tr¶n K th¼ Tn hëi tö ·u tîi T tr¶n K . Chùng minh. Vîi méi ε > 0 cho tr÷îc. Do T li¶n töc tr¶n K compact n¶n T li¶n töc ·u tr¶n K . V¼ vªy, ta t¼m ÷ñc δ1 = δ1 (ε) sao cho ε d(T x, T y) < 3 vîi måi x, y ∈ K v  d(x, y) < δ1 . V¼ (Tn ) çng li¶n töc n¶n vîi måi ε > 0 tçn t¤i δ2 > 0 sao cho ε d(Tn x, Tn y) < 3 vîi måi x, y ∈ K m  d(x, y) < δ2 . M°t kh¡c, v¼ (Tn ) hëi tö iºm tîi T tr¶n K n¶n vîi méi a ∈ K tçn t¤i n0 (a) = n0 (a, ε) sao cho ε 3 vîi måi n > n0 (a). °t δ = min{δ1 , δ2 }. Khi â, hå h¼nh c¦u {B(a, δ) : d(Tn , T a) 6 a ∈ K} l  phõ mð cõa K . V¼ K compact n¶n ta t¼m ÷ñc a1 , ..., ak sao cho K⊂ k [ B(ai , δ). i=1 °t N = max{n0 a(a1 ) : i = 1, 2...k}. Khi â, vîi måi x ∈ K , tçn t¤i ai sao cho x ∈ B(ai , ε). Vîi n > N ta câ d(Tn x, T x) 6 d(Tn x, Tn ai ) + d(Tn ai , T ai ) + d(T ai , T x) 6 ε ε ε + + = ε. 3 3 3 10 V¼ vªy, ta nhªn ÷ñc sup d(Tn x, T x) 6 ε x∈K vîi måi n > N , tùc l  lim supx∈K d(Tn x, T x) = 0, hay Tn hëi tö ·u tr¶n K tîi T . n→∞ 1.2. Sü tçn t¤i iºm b§t ëng cõa c¡c ¡nh x¤ co trong khæng gian m¶tric Möc n y tr¼nh b y sü tçn t¤i iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ co v  ¡nh x¤ tüa co trong khæng khæng gian m¶tric ¦y õ cõa Banach v  C½ric. Tr÷îc h¸t ta tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ v· ¡nh x¤ Lipschitz tr¶n khæng gian m¶tric . 1.2.1 ành ngh¾a. Cho (M, d) l  khæng gian m¶tric v  ¡nh x¤ T : X → X . T ÷ñc gåi l  ¡nh x¤ Lipschitz n¸u tçn t¤i k > 0 sao cho (T x, T y) 6 kd(x, y) (1.1) vîi måi x, y ∈ M . Sè k nhä nh§t º b§t ¯ng thùc trong ph÷ìng tr¼nh (1.1) ÷ñc gåi l  h¬ng sè Lipschitz cõa T v  kþ hi»u l  k(T ). N¸u h¬ng sè Lipschitz k(T ) cõa T b² hìn 1 th¼ ta nâi T l  ¡nh x¤ co ho°c cö thº hìn l  q -co. N¸u k(T ) = 1 th¼ ta nâi T l  ¡nh x¤ khæng d¢n. 1.2.2 M»nh ·. N¸u T, S : M → M l  c¡c ¡nh x¤ Lipschitz th¼ k(T ◦ S) 6 k(T )k(S). Chùng minh. Tø gi£ thi¸t ta câ d(T x, T y) 6 k(T )d(x, y) vîi måi x, y ∈ M v  d(Sx, Sy) 6 k(S)d(x, y) 11 vîi måi x, y ∈ M . Tø â suy ra
d T (Sx), T (Sy) 6 k(T )d(Sx, Sy) 6 k(T )k(S)d(x, y) vîi måi x, y ∈ X . Suy ra T ◦ S l  ¡nh x¤ Lipschitz. Tø ành ngh¾a h¬ng sè Lipschitz v  b§t ¯ng thùc tr¶n ta câ k(T ◦ S) 6 k(T )k(S). 1.2.3 Nhªn x²t. 1) Tø m»nh · tr¶n ta câ n¸u T : M → M l  ¡nh x¤ Lipschitz th¼ T n công vªy v  k(T n ) 6 [k(T )]n vîi måi n = 1, 2, .... 2) Måi ¡nh x¤ Lipschitz l  li¶n töc ·u. Ta câ m»nh · sau. 1.2.4 M»nh ·. ([2]) N¸u T : M → M l  ¡nh x¤ Lipsichtz th¼ tçn t¤i h i1 i n1 n n k∞ (T ) := lim k(T ) = inf{ k(T ) : n = 1, 2, ..}. h n n→∞ Chùng minh. Vîi måi n ta câ k(T n ) 6 [k(T )]n . Do â  1  1 inf k(T n ) n 6 sup k(T n ) n 6 k(T ). n>1 n>1 M°t kh¡c, vîi måi n ta câ  1   n1   1  n−1 1 n  n n n−1 n−1 n−1 k(T ) 6 k(T )k(T ) 6 k(T ) k(T )] n . Suy ra   1  1  n−1   1 1 n  n n n−1 n−1 sup k(T ) 6 inf k(T ) k(T )] n . = inf k(T n−1 ) n−1 . n>1 n>1 n>1 Tø â suy ra i n1  1  1 n n n n lim k(T ) = inf k(T ) = sup k(T ) . h n→∞ n n>1 n>1 K¸t qu£ sau cho th§y h¬ng sè k∞ (T ) khæng êi khi thay bði c¡c m¶tric t÷ìng ÷ìng ·u. 12 1.2.5 ành lþ. ([2]) N¸u T : M → M l  ¡nh x¤ Lipschits èi vîi c¡c m¶tric t÷ìng ÷ìng ·u ρ v  d tr¶n M th¼ h i1 h i1 n n n n lim kd (T ) = lim kρ (T ) . n→∞ n→∞ Chùng minh. Gi£ sû ρ l  m¶tric t÷ìng ÷ìng ·u vîi d tr¶n M .Khi â, tçn t¤i c¡c h¬ng sè d÷ìng a, b sao cho aρ(x, y) 6 d(x, y) 6 bρ(x, y) vîi måi x, y ∈ M . V¼ T l  Lipschitz theo d v  ρ n¶n 1 1 b ρ(T x, T y) 6 d(T x, T y) 6 kd (T )d(x, y) 6 kd (T )ρ(x, y). a a a Suy ra b kρ (T ) 6 kd (T ). a T÷ìng tü ta câ b kd (T ) 6 kρ (T ). a n Lþ luªn t÷ìng tü cho T ta nhªn ÷ñc b a kd (T n ) 6 kρ (T n ) 6 kd (T n ) b a vîi måi n.Do â ha i1n h i1n hb i1n n n n lim kd (T ) 6 lim kρ (T ) 6 lim kd (T ) n→∞ n→∞ a n→∞ b hay i n1 h i1 n n k∞ (T ) = lim kd (T ) = lim kρ (T ) . h n→∞ n n→∞ 1.2.6 ành lþ. N¸u T : M → M l  ¡nh x¤ Lipschitz th¼ k∞ (T ) = inf kρ (T ), trong â cªn d÷îi óng l§y qua c¡c m¶tric ρ t÷ìng ÷ìng ·u vîi d. 13 Chùng minh. Ta câ h i1 i n1 n n k∞ (T ) = lim kd (T ) = lim kρ (T ) . h n n→∞ n→∞ Do â, v¼ h i n1 h i1 n n kρ (T ) 6 (kρ (T )) = kρ (T ) n n¶n k∞ (T ) 6 kρ (T ) vîi måi ρ l  m¶tric t÷ìng ÷ìng ·u vîi d. 1 Vîi måi λ ∈ [0, ) ta °t k∞ (T ) ρλ (x, y) = ∞ X λn d(T n x, T n y). n=0 Khi â, v¼ λn+1 d(T n+1 x, T n+1 y) k∞ (T )d(T n x, T n y) 6 λ = λk∞ (T ) < 1 λn d(T n x, T n y) λn d(T n x, T n y) suy ra chuéi ð v¸ ph£i hëi tö. Hìn núa, ρλ (x, y) l  mët m¶tric tr¶n M . Ta câ d(x, y) 6 ρλ (x, y) 6 ∞ X n [k∞ (T )λ]  d(x, y) n=0 vîi måi x, y ∈ M . Do â ρλ t÷ìng ÷ìng ·u vîi d. M°t kh¡c, ta câ ρλ (T x, T y) = ∞ X λn d(T n+1 x, T n+1 y) = n=0 1 1 [ρλ (x, y)−d(x, y)] 6 ρλ (x, y) λ λ vîi måi x, y ∈ M . Tø ¥y suy ra kρλ (T ) 6 Chån λ = 1 . λ 1 vîi ε > 0. Khi â k∞ (T ) + ε kρλ (T ) 6 k∞ (T ) + ε. 14 Do â k∞ (T ) = inf kρ (T ), trong â cªn d÷îi óng l§y qua c¡c m¶tric ρ t÷ìng ÷ìng ·u vîi d. ành lþ sau ¥y l  nguy¶n lþ ¡nh x¤ co cõa Banach. 1.2.7 ành lþ. (Banach, [1]) Måi ¡nh x¤ co T tr¶n khæng gian m¶tric ¦y õ M ·u câ duy nh§t mët iºm b§t ëng v  vîi méi x0 ∈ M , d¢y l°p {T n (x0 )} hëi tö tîi iºm b§t ëng cõa T . Câ r§t nhi·u ph÷ìng ph¡p chùng minh ành lþ n y. Sau ¥y chóng tæi tr¼nh b y 3 ph÷ìng ph¡p quen thuëc ¢ ÷ñc tr¼nh b y trong c¡c t i li»u. Chùng minh 1: Gi£ sû T l  ¡nh x¤ co, °t q = k(T ). Cè ành x0 ∈ M v  x¡c ành d¢y {xn } b¬ng quy n¤p nh÷ sau xn+1 = f xn , n = 0, 1, 2, . . . Ta câ d(x1 , x2 ) = d(T x0 , T x1 ) 6 qd(x0 , x1 ) d(x2 , x3 ) = d(T x1 , T x2 ) 6 qd(x1 , x2 ) 6 q 2 d(x0 , x1 ). Do â b¬ng quy n¤p ta chùng minh ÷ñc d(xn , xn+1 ) 6 q n d(x0 , x1 ), ∀n = 1, 2, . . . Tø â suy ra d(xn , xn+p ) 6 d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + · · · + d(xn+p−1 , xn+p ) 6 (q n + q n+1 + · · · + q n+p−1 )d(x0 , x1 ) qn d(x0 , x1 ) 6 1−q vîi måi n, p ∈ N∗ . V¼ 0 6 q < 1 n¶n lim d(xn , xn+p ) = 0, tùc l  {xn } l  n→∞ d¢y Cauchy trong khæng gian m¶tric ¦y õ M . °t a = lim xn . n→∞ 15 Do t½nh li¶n töc cõa ¡nh x¤ T , ta câ a = lim xn+1 = lim f xn = T ( lim xn ) = T a. n→∞ n→∞ n→∞ Vªy a l  iºm b§t ëng cõa T . B¥y gií, gi£ sû b l  iºm b§t ëng cõa f . Tø b§t ¯ng thùc d(a, b) = d(T a, T b) 6 qd(a, b) v  q ∈ [0, 1) ta suy ra d(a, b) = 0 hay a = b. Vªy T câ duy nh§t iºm b§t ëng. Chùng minh 2: °t a = inf{d(x, T x) : x ∈ M } v  k = k(T ). Ta ch¿ ra a = 0. Vîi méi ε > 0 tçn t¤i x ∈ M sao cho d(x, T x) 6 a + ε. Khi â a 6 d(T x, T 2 x) 6 kd(x, T x) 6 k(a + ε). Tø k < 1 v  ε > 0 tòy þ suy ra a = 0. B¥y gií, vîi méi n = 1, 2, ... x²t tªp 1 . n Khi â Mε l  tªp âng kh¡c réng. Hìn núa, vîi måi x, y ∈ Mn ta câ Mn = {x ∈ M : d(x, T x) 6 d(x, y) 6 d(x, T x) + d(T x, T y) + d(T y, y) 6 Suy ra d(x, y) 6 2 + kd(x, y). n 2 . Do â n(1 − k) lim d(Mn ) = 0. n→∞ V¼ vªy, Mn l  d¢y gi£m c¡c tªp âng ÷íng k½nh d¦n tîi 0 trong khæng gian m¶tric ¦y õ M . ¡p döng ành lþ Cantor ta câ \ Mn = {u}. Do â d(u, T u) 6 1 n 16 vîi måi n ∈ N. Ta nhªn ÷ñc d(u, T u) = 0. T½nh duy nh§t ÷ñc thüc hi»n nh÷ trong Chùng minh 1. ành lþ ÷ñc chùng minh. Chùng minh 3: °t k = k(T ) v  ϕ(x) = d(x,T x) 1−k vîi méi x ∈ M . Khi â, tø d(T x, T 2 x) 6 kd(x, T x) suy ra d(x, T x) − d(T x, T x) 6 d(x, T x) − kd(x, T 2 x) vîi måi x ∈ M . Do â d(x, T x) 6 ϕ(x) − ϕ(T x), x ∈ M. Vîi x0 ∈ M v  m, n ∈ N, n < m ta câ n d(T x0 , T m+1 x0 ) 6 m X d(T i x0 , T i+1 x0 ) 6 ϕ(T n x0 ) − ϕ(T m+1 x0 ). i=n Do â, têng ri¶ng Sn cõa chuéi d÷ìng bði ϕ(x0 ) v  v¼ th¸ nâ hëi tö. Suy ra P∞ i i+1 x ) 0 i=1 d(T x0 , T {d(T n x0 , T n+1 x0 )} l  luæn bà ch°n d¢y Cauchy. V¼ M ¦y õ n¶n T n x0 hëi tö tîi x ∈ X . Tø t½nh li¶n töc cõa T ta câ x = lim T n x0 = lim T n+1 x0 = T ( lim T n x0 ) = T x. n→∞ n→∞ n→∞ T½nh duy nh§t ÷ñc thüc hi»n nh÷ trong Chùng minh 1. ành lþ ÷ñc chùng minh. 1.2.8 Nhªn x²t. Tø c¡c chùng minh 1 v  chùng minh 3, ta luæn ÷ñc ¡nh gi¡ kn d(T x0 , x) 6 d(x0 , T x0 ). 1−k V½ dö sau cho th§y trong nguy¶n lþ ¡nh x¤ co cõa Banach n¸u thay n i·u ki»n ¡nh x¤ co bði i·u ki»n khæng d¢n th¼ k¸t luªn l  khæng óng. 1.2.9 V½ dö. Tr¶n tªp sè tü nhi¶n N ta x²t m¶tric ( d(m, n) = 0 1+ n¸u m = n 1 n¸u m 6= n. m+n 17 D¹ d ng kiºm tra ÷ñc (N, d) l  khæng gian m¶tric ¦y õ. X²t ¡nh x¤ f : N → N ÷ñc cho bði f n = n + 1. Rã r ng f khæng câ iºm b§t ëng. Tuy nhi¶n d(f m, f n) < d(m, n), ∀m 6= n. Thªt vªy, n¸u m 6= 0 th¼ d(f m, f 0) = d(m + 1, 1) = 1 + 1 1 <1+ = d(m, 0). m+2 m N¸u m 6= n v  mn 6= 0 th¼ d(f m, f n) = d(m + 1, n + 1) = 1 + 1 1 <1+ = d(m, n). m+n+2 m+n N¸u X l  khæng gian m¶tric compact th¼ i·u ki»n khæng d¢n l  ch§p nhªn ÷ñc. Ta thu ÷ñc nguy¶n lþ ¡nh x¤ co cõa Brouwer cho khæng gian m¶tric compact. 1.2.10 ành lþ. (Brouwer, [1]) Cho X l  mët khæng gian m¶tric compact v  ¡nh x¤ f : X → X . N¸u d(f x, f y) < d(x, y), ∀x, y ∈ X v  x 6= y (1.2) th¼ f câ duy nh§t mët iºm b§t ëng. Chùng minh. Tø i·u ki»n (1.2) d¹ d ng suy ra f l  ¡nh x¤ li¶n töc. B¥y gií x²t h m thüc ϕ(x) = d(f x, x), x ∈ X. V¼ f v  d li¶n töc n¶n ϕ l  h m li¶n töc. Tø X l  khæng gian m¶tric compact n¶n ϕ ¤t gi¡ trà nhä nh§t t¤i a ∈ X . Gi£ sû f a 6= a. Khi â d(f 2 a, f a) < d(f a, a). Do â ϕ(f a) < ϕ(a). M¥u thu¨n vîi ϕ ¤t gi¡ trà b² nh§t t¤i a. Vªy f a = a hay a l  iºm b§t ëng cõa f . 18 B¥y gií, gi£ sû b 6= a l  iºm b§t ëng cõa f . Khi â d(a, b) = d(f a, f b) < d(a, b). Ta nhªn ÷ñc sü m¥u thu¨n. Vªy f câ duy nh§t mët iºm b§t ëng. V½ dö sau cho th§y ta khæng thº thay i·u ki»n compact cõa khæng gian X bði t½nh ¦y õ v  bà ch°n. 1.2.11 V½ dö. X²t khæng gian Banach C[0,1] c¡c h m li¶n töc tr¶n o¤n [0, 1] vîi chu©n kxk = sup{|x(t)| : t ∈ [0, 1]} vîi måi x ∈ C[0,1] . X²t M = {x ∈ C[0,1] : 0 = x(0) 6 x(t) 6 x(1) = 1}. Khi â M l  tªp lçi, âng v  bà ch°n cõa C[0,1] . X²t ¡nh x¤ T : M → M x¡c ành bði T x(t) = tx(t), t ∈ [0, 1] vîi måi x ∈ M . Ta câ d(T x, T y) = kT x − T yk = sup{|tx(t) − ty(t)| : t ∈ [0, 1]} = sup{|t||x(t) − y(t)| : t ∈ [0, 1]} 6 sup{|x(t) − y(t)| : t ∈ [0, 1]} = kx − yk = d(x, y) vîi måi x, y ∈ M . Do â T l  ¡nh x¤ khæng d¢n. Tuy nhi¶n T khæng câ iºm b§t ëng n o. Thªt v¥y, gi£ sû T x = x vîi x ∈ M . Khi â tx(t) = x(t) vîi måi t ∈ [0, 1]. Suy ra x(t) = 0 vîi måi 0 6 t 6 1. i·u n y m¥u thu¨n vîi x(1) = 1 v  x li¶n töc tr¶n [0, 1]. Câ r§t nhi·u h÷îng ti¸p cªn mð rëng nguy¶n lþ ¡nh x¤ co cõa Banach, trong sè â mð rëng l¶n lîp ¡nh x¤ cõa C½ric sau ¥y trong khæng gian m¶tric ÷ñc xem l  tèt nh§t. Bði v¼, tø k¸t qu£ n y ng÷íi ta thu ÷ñc c¡c mð rëng nêi ti¸ng cõa Reich, Kannan,... (xem [10]). 19 1.2.12 ành ngh¾a. ([5]) Cho (X, d) l  khæng gian m¶tric v  ¡nh x¤ f : X → X. ¡nh x¤ f ÷ñc gåi l  tüa co n¸u tçn t¤i h ∈ [0, 1) sao cho d(f x, f y) 6 hMf (x, y) vîi måi x, y ∈ X , trong â Mf (x, y) = max{d(x, y), d(x, f x), d(y, f y), d(x, f y), d(y, f x)}. Vîi méi ¡nh x¤ f : X → X v  x ∈ X , ta °t O(x) := {x, f x, f 2 x, ..., f n x, ...} v  O(x, n) = {x, f x, ..., f n x}, n = 1, 2, ... 1.2.13 Bê ·. ([5]) N¸u f l  ¡nh x¤ tüa co th¼ vîi méi n = 1, 2, ... v  vîi måi i, j ∈ {1, ..., n} th¼ d(f xi , f xj ) 6 hδ[O(x, n)]. Hìn núa, tçn t¤i k 6 n sao cho d(x, f k x) = δ[O(x, n)]. Chùng minh. L§y x tòy þ thuëc X . Vîi méi sè tü nhi¶n n = 1, 2, ... v  i, j ∈ {1, 2, ..., n} ta câ f i−1 x, f i x, f j−1 x, f j x ∈ O[x, n]. Do â, tø i·u ki»n tüa co suy ra d(f i x, f j x) = d(f f i−1 x, f f j−1 x) 6 h max{d(f i−1 x, f j−1 x), d(f i x, f i−1 x), d(f j−1 x, f j x), d(f i−1 x, f j x), d(f i x, f j−1 x)} 6 hδ[O(x, n)]. N¸u δ[O(x, n)] = 0 th¼ ph¦n chùng minh cán l¤i cõa Bê · l  t¦m th÷íng. B¥y gií, gi£ sû δ[O(x, n)] > 0 v  tçn t¤i 0 < i < j 6 n sao cho δ[O(x, n)] = d(f i x, f j x).