1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRẦN THỊ YẾN LY
ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH
VÀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN
Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60.46.40
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA
HỌC
Đà Nẵng – Năm 2012
Công trình ñược hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNG
Phản biện 1: TS. Lê Hoàng Trí
Phản biện 2: PGS.TS. Nguyễn Gia Định
Luận văn ñược bảo vệ tại Hội ñồng chấm
Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ khoa học họp tại
Đại học Đà Nẵng vào ngày 01 tháng 07 năm 2012
Có thể tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng.
MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Định lý giá trị trung bình Lagrange là một kết quả rất quan trọng trong giải
tích. Nó có nguồn gốc từ ñịnh lý Rolle, ñược chứng minh bởi nhà toán học
người Pháp Michel Rolle (1652-1719) ñối với ña thức vào năm 1691. Xuất phát
từ nhu cầu muốn tìm hiểu về ñịnh lý giá trị trung bình và phương trình hàm, hai
vấn ñề quan trọng trong chương trình THPT, ñặc biệt là dành cho khối
chuyên toán, chúng tôi quyết ñịnh chọn ñề tài với tên gọi: Định lý giá trị
trung bình và phương trình hàm liên quan ñể tiến hành nghiên cứu. Vấn ñề
này vẫn mang tính thời sự trong giải tích. Chúng tôi hy vọng tạo ñược một tài
liệu tham khảo tốt cho những người bắt ñầu tìm hiểu về Các ñịnh lý giá trị
trung bình và các phương trình hàm liên quan ñến chúng và trình bày một số
ví dụ minh hoạ ñặc sắc nhằm góp phần làm phong phú thêm các kết quả trong
lĩnh vực này.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Mục tiêu của ñề tài nhằm nghiên cứu các ñịnh lý giá trị trung bình
Lagrange, Cauchy, Pompeiu, một số suy rộng ñịnh lý giá trị trung bình và các
phương trình hàm xuất phát từ chúng. Có nhiều vấn ñề liên quan ñến ñịnh lý giá
trị trung bình, nhưng ở ñây chỉ ñề cập ñến phương trình hàm có liên quan.
3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Đối tượng nghiên cứu của ñề tài là ñịnh lý giá trị trung bình và phương
trình hàm liên quan. Phạm vi nghiên cứu của ñề tài là các ñịnh lý giá trị trung
bình Lagrange, Cauchy, Pompeiu, một số suy rộng ñịnh lý giá trị trung bình và
các phương trình hàm liên quan ñến chúng.
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1. Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả nghiên cứu liên
quan
ñến các ñịnh lý giá trị trung bình và các phương trình hàm liên quan ñến chúng.
2. Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn ñể trao ñổi các kết quả
ñang nghiên cứu.
5. ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI
1. Tổng quan các kết quả của các tác giả ñã nghiên cứu liên quan ñến
Định lý giá trị trung bình và các phương trình hàm liên quan nhằm xây dựng
một tài liệu tham khảo cho những ai muốn nghiên cứu về ñịnh lý giá trị trung
bình và phương trình hàm.
2. Chứng minh chi tiết và làm rõ một số ñịnh lý, cũng như ñưa ra một số ví
dụ minh hoạ ñặc sắc nhằm làm cho người ñọc dễ dàng tiếp cận vấn ñề ñược ñề
cập.
6. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN
Luận văn gồm phần mở ñầu, 3 chương, phần kết luận và danh mục tài
liệu tham khảo.
- Chương 1: Hàm cộng tính và song cộng tính.
- Chương 2: Định lý giá trị trung bình Lagrange và các phương trình hàm
liên quan.
- Chương 3: Định lý giá trị trung bình Pompeiu và các phương trình hàm
liên quan.
CHƯƠNG 1
HÀM CỘNG TÍNH VÀ SONG CỘNG TÍNH
Các khái niệm và kết quả trong chương này có thể tìm thấy trong các tài
liêụ [2] , [5], [6].
Mục ñích của chương này là trình bày một số kết quả liên quan ñến hàm
cộng tính và song cộng tính. Việc nghiên cứu hàm cộng tính có từ A.M.
Legendre, người ñã nỗ lực ñầu tiên xác ñịnh nghiệm của phương trình hàm
Cauchy
f (x y) f (x) f ( y)
với mọi x, y □ , Cuốn sách của Kuczma (1985) mô tả tuyệt vời về hàm cộng
tính. Hàm cộng tính cũng ñã tìm thấy trong cuốn sách của Aczél (1966, 1987),
Aczél – Dhombres (1989) và Smital (1988). Nghiệm tổng quát của nhiều
phương trình hàm hai hay nhiều biến có thể ñược biểu diễn theo các hàm cộng
tính, nhân tính, logarit hoặc hàm mũ. Các phương trình mà chúng ta sẽ trình bày
ở ñây chỉ liên quan ñến hàm cộng tính, song cộng tính và những biến dạng của
chúng. Nhân tiện, chúng ta sẽ khảo sát nghiệm của một số phương trình khác có
liên hệ với phương trình Cauchy cộng tính.
1.1. HÀM CỘNG TÍNH LIÊN TỤC
Định nghĩa 1.1.1. Một hàm f : □ , trong ñó □ là tập các số thực, ñược
□ gọi
là một hàm cộng tính nếu nó thỏa mãn phương trình hàm Cauchy.
f (x y) f (x) f (
y)
(1.1)
với mọi x, y □ . Phương trình (1.1) ñược ñề cập ñầu tiên bởi A. M. Legendre
(1791) và C.F. Gaus(1809), nhưng A.L. Cauchy (1821) là người ñầu tiên tìm ra
nghiệm liên tục tổng quát.
Định nghĩa 1.1.2. Một
hàm có dạng
f:
□
□ ñược gọi là một hàm tuyến tính nếu nó
f (x)
mx
x □ ,
trong ñó m là một hằng số bất kì.
Định lý 1.1.1.
f : □ là một hàm cộng tính liên tục. Khi ñó f là tuyến
Cho
□
tính, nghĩa là, f(x)=mx với m là một hằng số tùy ý.
Định nghĩa 1.1.3. Một
f : □ ñược gọi là khả tích ñịa phương nếu nó
hàm
□
khả tích trên mỗi khoảng hữu hạn .
Chú ý 1.1.2. Mọi hàm cộng tính khả tích ñịa phương ñều là tuyến tính
Định nghĩa 1.1.4. Một
f : □ ñược gọi là thuần nhất hữu tỉ nếu
hàm
□
f rx rf x ,
với mọi x
R
(1.2)
và mọi số hữu tỉ r.
Định lý 1.1.2. Nếu một hàm cộng tính liên tục tại một ñiểm thì nó liên tục khắp
nơi.
1.2. HÀM CỘNG TÍNH GIÁN ĐOẠN
Trong phần trước, chúng ta ñã chứng tỏ các hàm cộng tính liên tục là
tuyến tính. Thậm chí nếu chúng ta giảm ñiều kiện liên tục về liên tục tại một
ñiểm, các hàm cộng tính vẫn còn tuyến tính. Trải qua nhiều năm, sự tồn tại
của hàm cộng tính gián ñoạn là một bài toán mở. Các nhà toán học không thể
chứng minh mọi hàm cộng tính là liên tục và không ñưa ra ñược một ví dụ về
hàm cộng tính gián ñoạn. Nhà toán học người Đức G. Hamel vào năm 1905
là người ñầu tiên thành công trong việc chứng minh sự tồn tại các hàm cộng
tính gián ñoạn.
Bây giờ chúng ta bắt ñầu nghiên cứu các hàm cộng tính phi tuyến
(không tuyến tính).
Định nghĩa 1.2.1. Đồ thị của một
f : □ là tập hợp
hàm
□
G x, y / x □ f x .
,y
Dễ dàng thấy rằng ñồ thị G của một
hàm
f:
□
□ là một tập con của mặt phẳng □
2
.
Định lý 1.2.1. Đồ thị của một hàm cộng tính phi tuyến
tính
f:
□
□ là trù
mật khắp nơi trong mặt phẳng □ 2 .
Định nghĩa 1.2.2. Cho S là một tập các số thực và B là một tập con của S.
Khi ñó B ñược gọi là một cơ sở Hamel ñối với S nếu mỗi phần tử của S là
một tổ hợp tuyến tính hữu tỉ ( hữu hạn) duy nhất của B.
Định lý 1.2.2. Cho B là một cơ sở Hamel ñối với □ . Nếu hai hàm cộng tính
có cùng giá trị tại mỗi phần tử của B thì chúng bằng nhau.
Định lý 1.2.3. Cho B là 1 cơ sở Hamel ñối với □ .
Cho
g : B □ là một hàm
tùy ý xác ñịnh trên B . Khi ñó tồn tại một hàm cộng tính f :
□
f b g
□ sao cho
với mọi b B .
b
1.3. TIÊU CHUẨN KHÁC CHO TÍNH TUYẾN TÍNH
Chúng ta ñã thấy rằng ñồ thị của một hàm cộng tính phi tuyến f là trù
mật trong mặt phẳng . Nghĩa là mỗi vòng tròn chứa một ñiểm (x,y) sao cho
y
x . Chúng ta cũng ñã nhận thấy rằng một hàm cộng tính f trở thành
f
tuyến tính khi áp ñặt tính liên tục trên f . Chúng ta có thể làm yếu ñiều kiện
liên tục về liên tục tại một ñiểm. Trong ñoạn này, chúng ta trình bày một số
ñiều kiện chính qui nhẹ khác mà làm cho một hàm cộng tính là tuyến tính.
Định lý 1.3.1. Nếu một hàm cộng tính f hoặc bị chặn từ một phía hoặc ñơn
ñiệu thì f là tuyến tính
Định nghĩa 1.3.1: Một hàm f :
□
□ ñược gọi là nhân tính nếu
f (xy) f (x) f (
y),
x, y □ .
Định lý 1.3.2 : Nếu một hàm cộng tính f cũng là nhân tính thì f là tuyến tính
1.4. HÀM CỘNG TÍNH TRÊN MẶT PHẲNG THỰC VÀ PHỨC
Trong mục này, ñầu tiên chúng ta trình bày một số kết quả liên quan ñến
hàm cộng tính trên mặt phẳng □
2
và sau ñó nghiên cứu hàm cộng tính giá trị
phức trên mặt phẳng phức. Chúng ta bắt ñầu mục này với kết quả sau ñây.
Định lý 1.4.1.
Nếu
hàm cộng
tính
với
mọi
f : □ 2 □ là cộng tính trên mặt phẳng □ thì tồn tại các
2
A1 , A2 : □ sao cho
□
f (x1 , x2 ) A1 (x1 ) A2
(x2 )
(1.3)
x1 , x2 □ .
Định lý 1.4.2.
Nếu
f : □ 2 □ là một hàm cộng tính liên tục trên mặt
phẳng
2
□ thì tồn tại các hằng
c1 , sao cho
số
c2
f x1 , x2 c1 x1
(1.4)
với
c2 x2 x1 , x2 □ .
mọi
Bổ ñề 1.4.1. Nếu một hàm cộng tính f : □ 2 □ liên tục theo từng biến thì
nó
là hàm liên tục.
f : □ n □ là một hàm cộng tính liên tục trên □ thì tồn
Định lý 1.4.3.
n
Nếu
tại các hằng
số
c1 , c2 ,..., sao cho
cn
f (x1 , x2 ,..., xn ) c1 x1 c2 x2 ...
(1.5)
với
cn xn x1 , x2 ,..., xn □ .
mọi
Chú ý 1.4.1. Trong phần còn lại của mục này, chúng ta khảo sát hàm cộng tính
có giá trị phức trên mặt phẳng phức. Chúng ta bắt ñầu với một giới thiệu ngắn
gọn về hệ số phức. Các số có dạng a
1 , trong ñó a và b là những số thực,
b
ñược gọi là các số phức. Vào ñầu thế kỉ 16, Cardan(1501 – 1576) làm việc với
số phức trong việc giải phương trình bậc hai và bậc ba. Vào thế kỉ 18, các hàm
liên quan ñến số phức ñược tìm thấy bởi Euler. Trong một thời gian dài, các số
phức ít ñược quan tâm và nói chung không ñược xét ñến như các số chính thống
cho ñến giữa thế kỉ 19. Descartes loại bỏ các nghiệm phức của phương trình và
ñặt tên chúng là ảo. Euler cũng cảm thấy các số phức “tồn tại chỉ trong tưởng
tượng” và xem các nghiệm phức của một phương trình chỉ hữu ích trong việc
chứng tỏ rằng các phương trình này thực sự vô nghiệm. Gauss ñưa ra một biểu
diễn hình học ñối với số phức và nhận ra rằng thật là không ñúng nếu cho rằng
“có một bí mật mờ mịt nào ñó trong các số này”. Ngày nay, các số phức ñược
chấp nhận rộng rãi theo công trình của Gaus. Định nghĩa hình thức về số phức
ñược cho bởi William Hamilton.
Hệ số phức □ là tập hợp các cặp thứ tự các số thực ( x,y) với phép cộng
và phép nhân xác ñịnh bởi
(x, y) (u, v) (x u, y v)
x, y,u, v □
với mọi .
(x, y)(u, v) (xu yv, xv yu)
Đồng nhất số thực x với cặp (x, 0) và kí hiệu i là số thuần ảo (0,1), ta có
thể viết lại biểu thức sau
(x, y) (x, 0) (0,1)( y, 0)
thành (x, y) x iy . Nếu ta kí hiệu vế trái của biểu diễn này là z thì ta có
z x iy . Số thực x ñược gọi là phần thực của z, kí hiệu là Rez. Tương tự, số
thực y ñược gọi là phần ảo của z và kí hiệu là Imz. Nếu z là một số phức có
dạng x
thì số phức x
ñược gọi là liên hợp của z và kí hiệu là z .
iy
iy
Một hàm bất kì f :
□
□ có thể ñược viết thành:
f z f1 z if2 z ,
(1.6)
trong ñó f : □
f2 : □ ñược cho bởi
1
và
□
□
f1 (z) Re f (z) f2 (z) Im f
(z).
,
Nếu f cộng tính thì theo (1.6) và (1.7), ta có:
(1.7)
f1 z1 z2 Re f z1 z2 = Re f
f z2
z1
= Re f z1 Re f z2 = f1 z1 f1 z2 .
Tương tự,
f 2 z1 z2 Im f z1 z2 = Im f
z1
f z2
= Im f z1 Im f z2 = f2 z1 f2 z2 .
Định lý 1.4.4.
f:
□
Nếu
fkj :
□
□
k, j 1,
□ là cộng tính thì tồn tại các hàm cộng tính
sao cho
2
f z f11 Rez
f12 Im z if21 Re z if22 Im z .
Định lý 1.4.5.
f:
□
Nếu
hằng số
phức
c1
và
□ là một hàm cộng tính liên tục thì tồn tại các
c2 sao cho
f z c1 z c2 z
(1.8)
Trong ñó z kí hiệu số phức liên hợp với z .
Lưu ý rằng không như các hàm cộng tính liên tục giá trị thực trên □ , các
hàm cộng tính liên tục giá trị phức trên □ là không tuyến tính. Tính tuyến tính
có thể ñược khôi phục nếu ta giả sử ñiều kiện chính quy mạnh hơn như là tính
giải tích thay vì tính liên tục.
Định nghĩa 1. 4.1. Một hàm f : □ ñược gọi là giải tích nếu f khả vi trên
□
□.
Định lý 1.4.6.
f:
□
Nếu
□ là một hàm cộng tính giải tích thì tồn tại một
hằng số phức c sao cho f z cz , nghĩa là f tuyến tính.
1.5. HÀM SONG CỘNG TÍNH
Định nghĩa 1.5.1. Một hàm f : □ 2 □ ñược gọi là song cộng tính nếu nó
cộng tính theo từng biến, nghĩa là
f x y, z
f x, z
f y, z
f x, y z
f x, y
f x, z
,
với mọi x, y, z □ .
(1.9)
Ví dụ duy nhất về hàm cộng tính dễ dàng thấy ñược là một bội của tích
các biến ñộc lập. Vì vậy nếu m là một hằng và ta ñịnh nghĩa f bởi
thì f là song cộng tính.
f x, y
mxy ,
x, y □
Định lý 1.1.5. Mỗi hàm song cộng tính liên tục
f : □ 2 □ có dạng
f x, y mxy
với
mọi
x, y □ và hằng số m tùy ý nào ñó trong □ .
Định lý 1.5.2. Mỗi hàm cộng tính
n
f x, y
sj
1
n
x rk bk
,
trong
ñó
k 1
rk ,
sj
k
f : □ 2 □ có thể ñược biểu diển dưới
m
dạng
(1.10)
kj rk ,
j 1
m
y s jb j
,
j1
là hữu tỉ, trong khi b j là các phần tử của một cơ sở Hamel B và kj tùy ý
phụ thuộc vào
bj
và bk .
CHƯƠNG 2
ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE VÀ
CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN
Các khái niệm và kết quả trong chương này có thể tìm thấy trong các tài
liệu [1], [2], [3], [5].
Mục ñích của chương này là nhằm trình bày ñịnh lý giá trị trung bình của
phép tính vi phân cùng với một số ứng dụng của nó và bàn ñến nhiều phương
trình hàm ñược thúc ñẩy việc sử dụng ñịnh lý giá trị trung bình. Tất cả các
phương trình hàm ñề cập trong chương này ñược sử dụng theo ña thức ñặc
trưng. Ớ ñây, chúng ta cũng khảo sát ñịnh lý giá trị trung bình ñối với tỉ sai
phân và ñưa ra một số ứng dụng trong việc xác ñịnh trung bình hàm. Cuối
cùng, chúng ta chứng minh ñịnh lý giá trị trung bình của Cauchy và chỉ ra các
phương trình hàm khác nhau có thể là ñộng lực sử dụng ñịnh lý tổng quát này.
2.1. ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE
Một trong các ñịnh lý quan trọng nhất trong phép tính vi phân là ñịnh lý
giá trị trung bình Lagrange. Định lý này ñược khám phá ñầu tiên bởi Joseph
Louis Lagrange (1736-1813) nhưng ý tưởng của việc ứng dụng ñịnh lý Rolle
vào một hàm bổ trợ thích hợp ñược cho bởi Ossian Bonnet (1819-1892). Tuy
nhiên, phát biểu ñầu tiên của ñịnh lý này xuất hiện trong bài báo của nhà vật lý
học nổi tiếng André-Marie Ampère (1775-1836). Như ñã biết nhiều kết quả của
giải tích thực cổ ñiển là một hệ quả của ñịnh lý giá trị trung bình. Chứng minh
của ñịnh lý Rolle dựa vào hai kết quả ñơn giản sau ñây.
13
Mệnh ñề 2.1.1. Nếu một hàm khả vi f :
□
thuộc khoảng mở (a,b)
thì
f ' c 0 .
Mệnh ñề 2.1.2. Một hàm liên tục f :
□
và bị chặn bất kỳ a,b .
□ ñạt cực trị trên một khoảng ñóng
Chúng ta bắt ñầu ñịnh lý Rolle như sau:
Định lý 2.1.1. Nếu
f x1
□ ñạt cực trị tại một ñiểm c
f
liên tục trên
x1 , x2 , khả
f x2 , thì tồn tại một ñiểm x1 , mà sao
cho
x2
vi trên
x1 , x2 và
f '0 .
Định lý 2.1.2. Với mỗi hàm giá trị thực f khả vi trên khoảng I và với mọi cặp
x1 x2 trong I , tồn tại một ñiểm phụ
thuộc
f x1 f
x2
x1
và
f 'x1 ,
x2
x2 sao cho
.
(2.1)
x1 x2
2.2. ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH
Định lý giá trị trung bình có giải thích hình học như sau. Tiếp tuyến với ñồ
thị của hàm f tại (x1 , x2 song song với cát tuyến nối các ñiểm
)
x , f x .
2
x , f x
và
1
1
2
Trong mục này, chúng ta thiết lập một số kết quả về phép tính vi phân và
tích phân sử dụng ñịnh lý giá trị trung bình Lagrange.
Bổ ñề 2.2.1.
f
với mọi x trong khoảng a,b thì f là hằng trên
Nếu
'x 0
a,b .
Bồ ñề 2.2.2. Nếu
hằng số trên
a,b .
Bồ ñề 2.2.3. Nếu
f
thực sự trên a,b .
f 'x g
'x
với
mọi
' x (< 0) , với
mọi
0
x
a,b
th f và g sai khác một
ì
thì hàm f tăng ( giảm )
x
a,b
14
Bồ ñề 2.2.4.
Nếu
f
, với
''x 0 mọi
x a,b thì f là lõm trên khoảng a,b .
Định lý cơ bản của phép tính phát biểu rằng nếu f là một hàm liên tục
trên a,b và F là một nguyên hàm của f trên a,b thì
b
f t dt F bF a .
a
(2.2)
Định lý này cũng có thể ñược thiết lập bằng cách ñưa vào ñịnh lý giá trị trung
bình
Ngoài những ứng dụng lý thuyết, ñịnh lý giá trị trung bình còn có những ứng
dụng khác. Các ví dụ sau ñây minh họa một số ứng dụng khác của ñịnh lý giá
trị trung bình.
Ví dụ 2.2.1. Định lý giá trị trung bình có thể ñược dùng ñể chứng minh bất
ñẳng thức Bernoullis: Nếu x 1 thì
1x n 1nx , với mọi
n □ .
Ví dụ 2.2.2. Định giá trị trung bình có thể ñược sử dụng trong việc chứng minh
bất ñẳng thức
x 1ln x
(2.3)
x,
0
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x 1.
Ví dụ 2.2.3. Định lý giá trị trung bình có thể ñược sử dụng trong việc thiết lập
bất ñẳng thức sau ñây
a ab 1 b
với 0 1 và a,b là hai số thực dương .
1
,
(2.5)
Ví dụ 2.2.4 . Định lý giá trị trung bình có thể ñược dùng ñể chứng tỏ 1 1x x
là hàm tăng, trong khi 1
1
1
x
x
là một hàm giảm với x 0
Ví dụ 2.2.5. Định lý giá trị trung bình có thể ñược dùng trong việc ñể thiết lập
công thức
(2.6)
b
với 0 và b
0
1
b
x dx
0
1
Ví dụ 2.2.6. Cho f là một hàm xác ñịnh trên a,b và giả sử f ' c tồn tại với
c
a,b
nào ñó. Cho g khả vi trên khoảng chứa f (c
h)
sử g liên tục tại
f c . Khi ñó g o
'
f
khả vi tại c và
với h ñủ nhỏ và giả
g o f ' c g 'f
'c.
c f
Ví dụ 2.2.7. Định lý giá trị trung bình cũng có thể ñược dùng trong việc giới
thiệu một họ vô hạn các trung bình, như là trung bình Stolarsky.
Định nghĩa
f x x , trong ñó là một tham số thực. Áp dụng ñịnh lý
giá trị trung bình ñối với f trên khoảng x, y . Tồn tại một ñiểm với
x
( phụ thuộc vào x, y
y
và
) sao cho
f '
x, y
f
x
f y
x
1
y
1
x
y
x, y
.
(x y)
Lưu ý rằng ta sử dụng x, y thay vì ñể nhấn mạnh sự phụ thuộc của
vào x, y và .Từ ñiều này, ta có ñược một họ vô hạn các trung bình bằng cách
thay ñổi tham số .Các trung bình này ñược biết là trung bình Stolarsky .
Nếu 1, thì ta có trung bình hình học: 1 (x, y)
xy;
Nếu 2 thì ta có trung bình số học
x y
: x, y
2
Nếu 0 , thì ta có trung bình lôgarit :
lim
0
Nếu 1, thì ta có trung bình identric
:
;
2
x, y
x y
ln x ln y
1
x, y
y
lim
;
y
yx .
Dể dàng mở rộng ñịnh nghĩa về trung bình số học và trung bình hình học
1
e
1
x
ñối với n số thực dương, lần lượt là
x1 x2 ...
Ax1 , ,...xn
, G x1 , ,...x
.
n
x2
xn n
x1 , x2 ,...xn
n
x2
2.3. CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN
Trong mục này, chúng ta minh họa một phương trình hàm xuất hiện từ
ñịnh lý giá trị trung bình và trình bày một nghiên cứu có hệ thống về phương
trình hàm này và các suy rộng khác nhau của nó.
Định nghĩa 2.3.1. Với các số thực phân biệt x1 , x2 ,..., xn , tỉ sai phân của hàm
f:
□
□ ñược ñịnh nghĩa
là
f x1 ,
,..., xn
x2
Định lý 2.3.1. Các hàm
,
f x1
f x2 ,
n 2 .
f x1 , x2 ,..., xn1 f x2 , x3 ,..., xn với
,
f
h:
□
x1 xn
□ thỏa mãn phương trình hàm
f x, y h x y , x y ,
f x ax2 bx
c
khi và chỉ
khi thực tùy
ý.
Hệ quả 2.3.1.
Hàm
f:
□
(2.7)
và h
b trong ñó a, b, c là các số
xax
□ thỏa mãn phương trình hàm
f x
f y x y f '
y
x
, x y ,
2
khi và chỉ
khi
f x ax2 bx c ,
với
a,b, c là các hằng số thực tùy ý.
Định lý 2.3.2. Nếu ña thức bậc hai f x ax2 bx c ,
với
nghiệm của phương trình hàm
f x
f x h f 'x
0 1
h
h
ñược giả sử với mọi x □ , h
□
\{0} thì
1
a 0 , là một
(2.8)
. Đảo lại, nếu một hàm f thỏa
2
mãn phương trình hàm ở trên với 1 thì nghiệm duy nhất là một ña thức có
2
bậc nhiều nhất bằng hai.
Định lý 2.3.3. Với các tham số
f , g, h : □ thỏa mãn
s , t các
thực
hàm
□
f x g y
(2.9)
h sx ty
x y
với
x, y □ x
khi và chỉ khi
mọi
y
,
ax b
ax b
ax b
2
tx ax
f x
b
nÕu s 0 t
nÕu s 0 t 0
,
A
tx
b
nÕu nÕu
t
x b
nÕu s t 0
ay
b
g y ty2 ay
t
y b
tùy ý
víi
a
trong
ñó
A:
□
( 2.10)
nÕu s 0 t
nÕu s 0 t 0
,
nÕu s 0 , t
nÕu 0
(2.11)
nÕu s t 0
s t 0
c
nÕu s2 t 2
h(0)
a
a
h y y
(c
a
b)t
A y
y
y
s t 0
nÕu s2 t 2
ay b
ay b
b
A
ty
s 0 , t 0
nÕ s 0 t
u
nÕu s 0 t 0
,
nÕ s 0 , t
u 0
nÕ
u s t 0
(2.12)
nÕu s t 0
y
nÕu s2 t 2 ,
□ là một hàm cộng tính a,b, c,, là các hằng số thực tùy
và
ý.
Định lý 2.3.4. Nếu f là một hàm khả vi thỏa mãn phương trình hàm
f [x, y, z] h(x y z)
(2.13)
thì f là một ña thức có bậc nhiều nhất là ba.
Năm 1992 Bailey ñặt ra câu hỏi có hay không mỗi hàm liên tục ( hoặc khả
vi) f thỏa mãn phương trình hàm
f x1 , x2 ,...xn g(x1 x2 ...
xn )
(2.14)
là một ña thức có bậc nhiều nhất n . Sử dụng một số kỹ thuật sơ cấp,
Kannappan và Sahoo (1995) ñã giải bài toán Bailey. Định lý sau ñây là lời giải
với n 3 .
Định lý 2.3.5. Cho f thỏa mãn phương trình hàm
(2.15)
f x1 , x2 , x3 g(x1 x2 x3 )
với
mọi
x1 , x2 , x3 □
mà
x1 x2 ,
x2
x3
và
x1 x3 . Khi ñó f là một ña thức có
bậc nhiều nhất ba và g là tuyến tính.
Bổ ñề 2.3.1. Cho
S S ) và
cho
là tập con hữu hạn của □ và ñối xứng qua 0 ( nghĩa là,
f , g : □ là các hàm thỏa mãn phương trình hàm
□
f (x)
với
mọi
S
x, y
□
f ( y) (x y)g(x
y)
\ S . Khi ñó
f (x) ax2 bx
c,
với
mọi
x, y
□
\S
và
Định lý 2.3.6.
Cho
x1 , x 2 , ...,
xn
tuyến tính .
(2.16)
g( y) ay
b
y □ , trong
ñó
(2.17)
a,b, c là các hằng số nào ñó.
f , g : □ thỏa mãn phương trình hàm (2.14) với
□
phân biệt. Khi ñó f là một ña thức có bậc nhiều nhất n và g là
- Xem thêm -