B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO
ĐAI HOC ĐÀ NANG
HUỲNH TAN ANH TUAN
Hfi PHƯƠNG TRÌNH
DIOPHANT TUYEN TÍNH
VÀ
M®T SO DANG TOÁN LIÊN
QUAN
Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CAP
Mã so: 60 46 01 13
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Ngưài hưáng dan khoa hoc:
GS.TSKH. NGUYEN VĂN M¾U
Đà Nang - Năm 2016
Công trình đưoc hoàn thành tai
ĐAI HOC ĐÀ NANG
Ngưòi hưóng dan khoa hoc: GS. TSKH. NGUYEN VĂN M¾U
Phán bi¾n 1: TS. Lê Văn Dũng
Phán bi¾n 2: PGS.TS. Huỳnh The
Phùng
Lu¾n văn đã đưoc báo v¾ trưóc H®i đong cham Lu¾n văn tot
nghi¾p thac sĩ Khoa hoc hop tai Đai hoc Đà Nang vào ngày 13
tháng 8 năm 2016
Có the tìm hieu lu¾n văn tai:
- Trung tâm Thông tin - Hoc li¾u, Đai hoc Đà Nang
- Thư vi¾n trưòng Đai hoc Sư pham, Đai hoc Đà Nang
1
Mé ĐAU
1. Lí do chon đe tài:
Chuyên đe phương trình Diophant đóng vai trò rat quan
trong trong lý thuyet So hoc. Đó là chuyên đe trong tâm xuyên
suot tù b¾c tieu hoc tói b¾c trung hoc. Nó không chí là đoi tưong
nghiên cúu trong tâm cna so hoc mà còn là công cu đac lnc trong
nhieu lĩnh vnc cna phương trình và các úng dung khác.
Trong các kỳ thi hoc sinh giói toán quoc gia, Olympic Toán
khu vnc và quoc te thì các bài toán liên quan đen phương trình
Diophant cũng hay đưoc đe c¾p và đưoc xem như là nhung dang
toán thu®c loai khó. Đ¾c bi¾t các bài toán ve h¾ phương trình
Diophant không nam trong chương trình chính thúc cna so hoc ó
b¾c trung hoc pho thông.
Dưói sn đ%nh hưóng và hưóng dan cna GS.TSKH Nguyen
Văn M¾u tôi chon đe tài “ H¾ phương trình Diophant tuyen tính
và m®t so dang toán liên quan” làm đe tài nghiên cúu lu¾n văn
cna mình đe có đieu ki¾n tìm hieu thêm ve chuyên đe này.
2. Mnc đích nghiên cNu:
Muc đích nghiên cúu cna đe tài là h¾ thong hóa chi tiet
các van đe lý thuyet ve h¾ phương trình Diophant tuyen tính và
h¾ thong bài toán,bài t¾p liên quan đe tù đó thay đưoc tam quan
trong và tính thiet thnc cna h¾ phương trình Diophant tuyen tính.
3. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu:
- Đoi tưong nghiên cúu: H¾ phương trình Diophant, m®t so
dang toán liên quan và bài t¾p đ¾c trưng.
- Pham vi nghiên cúu: Các tài li¾u tham kháo đưoc GS.TSKH
Nguyen Văn M¾u đ%nh hưóng.
4. Phương pháp nghiên cNu:
- Tìm, đoc, phân tích m®t so tài li¾u ve h¾ phương trình
Diophant và các tính chat, bài toán liên quan.
- Làm rõ các chúng minh trong tài li¾u, h¾ thong kien thúc
nghiên cúu.
5. Ý nghĩa khoa hoc và thNc tien cúa đe tài:
- H¾ thong m®t cách khoa hoc nhung lý thuyet ve h¾ phương
trình Diophant và tính chat liên quan.
- Nêu và giái quyet các bài toán liên quan và ý nghĩa cna
các bài toán liên quan trong day hoc, nghiên cúu toán hoc và thnc
tien cu®c song.
- Góp phan làm m®t tài li¾u tham kháo cho vi¾c day hoc
và boi dưõng hoc sinh giói so hoc ó pho thông.
6. Cau trúc cúa lu¾n văn:
Lu¾n văn gom phan mó đau, ba chương, phan ket lu¾n và
danh muc tài li¾u tham kháo.
Chương 1. Phương trình Diophant tuyen tính.
Chương 2. H¾ phương trình Diophant tuyen tính.
Chương 3. M®t so dang toán liên quan.
CHƯƠNG 1
PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT
TUYEN TÍNH
Chương này trình bày ve thu¾t toán Euclid tìm ưóc chung
lón nhat cna các so nguyên dương và đe c¾p tói phương trình
Diophant tuyen tính hai hay nhieu bien. Nêu đieu ki¾n (can và
đn) ton tai nghi¾m nguyên và thu¾t toán tìm nghi¾m nguyên cna
phương trình. M®t so bài toán tìm nghi¾m nguyên dương cna
phương trình Diophant tuyen tính. N®i dung cna chương đưoc
tham kháo chn yeu tù các tài li¾u [1], [4], và [6].
1.1. PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT TUYEN TÍNH
TRÊN T¾P SO NGUYÊN
1.1.1. Ưác chung lán nhat
Ta nhac lai khái ni¾m ưóc chung lón nhat cna hai so nguyên
dương và m®t so tính chat cơ bán .
Đ%nh nghĩa 1.1 ([1]). Cho hai so nguyên a, b > 0. Ta đ
%nh nghĩa ưóc chung lón nhat (greatest common divisor) cna a và
b là so nguyên dương lón nhat c mà cá a và b đeu chia het cho c
. Ưóc chung lón nhat đưoc kí hi¾u là (a, b) = c ho¾c gcd(a, b)
= c. Ta se sú dung (a, b) đe chí ưóc chung lón nhat cna a và b.
Ta cũng dùng kí hi¾u a|b đe chí a là ưóc so cna b hay b chia het
cho a .
Đ%nh nghĩa 1.2. Neu ưóc chung lón nhat (a, b) = 1 thì
ta nói hai so nguyên dương a và b là nguyên to cùng nhau.
Đ%nh lý 1.1. Neu a, b nguyên dương và (a, b) = d
thì
b
.
d , d = 1.
.
a
Đ%nh lý 1.2. Cho a, b, c là các so nguyên dương.
Khi đó (a + cb, b) = (a, b).
Đ%nh nghĩa 1.3. Cho a và b hai so nguyên dương. To hop
tuyen tính cna a và b có dang ax + by, trong đó x, y là so
nguyên.
Đ%nh lý 1.3. Cho a và b là hai so nguyên dương, c là
ưóc so chung cna a và b thì c cũng là ưóc so cna ma + nb vói
m, n là các so nguyên, nghĩa là
(c|a; c|b) ⇒ c|(ma + nb).
Đ%nh lý 1.4. Cho hai so nguyên a, b > 0. Khi đó d = (a,
b) là so nguyên dương nhó nhat bieu dien đưoc dưói dang ax +
by vói x, y nguyên.
Đ%nh lý 1.5. Neu a, b là các so nguyên dương thì t¾p
hop các to hop tuyen tính cna a và b trùng vói t¾p các b®i
nguyên cna (a, b).
Đ%nh nghĩa 1.4. Ta mó r®ng đ%nh nghĩa ưóc chung lón
nhat cho n so nguyên dương vói n ≥ 2. Xét n so nguyên dương. Ta
đ%nh
nghĩa ưóc chung lón nhat cna chúng là so lón nhat trong các ưóc
chung cna n so đó và kí hi¾u là (a1, a2, ..., an).
Đ%nh lý 1.6. Neu a1, a2, ..., an là các so nguyên dương thì
(a1, a2, ..., an−1, an) =(a1, a2, ..., (an−1, an))
Bo đe 1.1. Neu c và d hai so nguyên dương và c = dq +
r, vói q và r nguyên dương thì (c, d) = (r, d).
1.1.2. Thu¾t toán Euclid má r®ng
Muc này đe c¾p tói thu¾t toán Euclid quen thu®c đe tìm
ưóc chung lón nhat cna hai so nguyên dương. Đó là thu¾t toán
cnc kì nhanh đe tìm ưóc chung lón nhat.
Đ%nh lý 1.7 (Thu¾t toán Euclid ). Đe tìm ưóc chung lón
nhat cna hai so nguyên dương a và b ta đ¾t r−1 = a, r0 = b,
roi tính liên tiep thương qi+1 và so dư ri+1 theo ri−1 = riqi+1 +
ri+1 vói i = 0,1,2,... cho tói khi g¾p so dư rn+1 = 0. Khi đó, so dư
khác không cuoi cùng rn se là ưóc chung lón nhat cna a và b.
Đ%nh lý 1.8. Cho a, b là hai so nguyên dương. Khi đó
(a, b) = kn.a + mn.b,
vói kn và mn là so hang thú n cna dãy so đưoc xác đ%nh theo đ¾
quy bói
k−1 = 1, m−1 = 0, k0, m0 = 1 và
ki = ki−2 − ki−1.qi, mi = mi−2 − mi−1.qi vói i = 1, 2,
..., n trong đó qi là thương so cna phép chia trong thu¾t toán
Euclid, khi thu¾t toán đưoc dùng đe tìm ưóc chung lón nhat cna
a và b.
1.1.3. Phương trình Diophant tuyen tính trên t¾p so
nguyên
Đ%nh nghĩa 1.5. Phương trình Diophant là phương trình
đa thúc vói các h¾ so nguyên và nghi¾m cna phương trình cũng
là so nguyên ho¾c so tn nhiên. Phương trình Diophant cơ bán
nhat là phương trình Diophant tuyen tính.
Ví du phương trình ax + by = c vói a, b, c ⇒ Z (Z là t¾p
hop
các so nguyên).
Đ%nh lý 1.9. Cho a, b và c là các so nguyên vói a và b
không cùng bang 0, Phương trình Diophant tuyen tính ax + by
= c có nghi¾m khi và chí khi d = (a, b) là ưóc cna c.
Đ%nh lý 1.10. Cho a và b là hai so nguyên không cùng
bang 0 vói d = (a, b). Phương trình ax + by = c không có
nghi¾m nguyên khi c không chia het cho d. Neu d|c thì phương
trình có vô so nghi¾m nguyên. Hơn nua, neu x = x0, y = y0 là
m®t nghi¾m riêng cna phương trình thì moi nghi¾m cna phương
trình có dang
x = x0 + b .n, y = y0 − a .n
d
d
trong đó n là so nguyên. Bieu thúc trên goi là nghi¾m tong quát
cna phương trình.
Đ%nh lý 1.11. Neu a1, a2, ..., an là các so nguyên dương
thì phương trình a1x1 + a2x2 + · · · + anxn = c có nghi¾m
nguyên khi và chí khi c chia het cho d = (a1, a2, ..., an).
Thêm vào đó, neu phương trình có nghi¾m thì phương trình se có
vô so nghi¾m.
1.2. PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT TUYEN TÍNH
TRÊN T¾P SO NGUYÊN DƯƠNG
Trong nhieu bài toán thnc te ngưòi ta can tìm nghi¾m
nguyên dương cna phương trình Diophant tuyen tính. Trong
nhung bài toán đó, cũng có the dùng thu¾t toán Euclid và thu¾t
toán Euclid mó r®ng đe tìm nghi¾m nguyên dương cna phương
trình can giái .
CHƯƠNG 2
Hfi PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT
TUYEN TÍNH
Chương này nhac lai khái ni¾m ve dang chuan Hecmit ,ma tr¾n
đơn Modula có liên quan tói vi¾c giái h¾ phương trình Diophant
tuyen tính, các đieu ki¾n can và đn đe h¾ có nghi¾m nguyên, thu¾t
toán tìm nghi¾m riêng và nghi¾m tong quát cna h¾. M®t so bài
toán tìm nghi¾m nguyên dương cna h¾ phương trình Diophant
tuyen tính.N®i dung chương đưoc tham kháo chn yeu tù các tài
li¾u [1]-[6]
2.1. Hfi PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT TUYEN
TÍNH TRÊN T¾P SO NGUYÊN
2.1.1. Dang chuan Hecmit
Đ%nh nghĩa 2.1. M®t ma tr¾n cap m × n có hang bang
so hàng cna ma tr¾n đưoc goi là ó dang chuan Hecmit neu:
- Ma tr¾n có dang [BO] , trong đó B là ma tr¾n cap m ×
m
có ngh%ch đáo;
- B có dang tam giác dưói;
- Các phan tú đưòng chéo cna B dương;
- Moi phan tú khác cna B không âm;
- Phan tú lón nhat ó moi hàng cna B là duy nhat và nam trên
đưòng chéo chính cna B, còn O là ma tr¾n không cap m×(n −
m).
Đ%nh nghĩa 2.2. Các phép toán sau ve ma tr¾n đưoc goi là
phép toán c®t sơ cap:
a) Đoi cho hai c®t;
b) Nhân m®t c®t vói -1 (túc đoi dau m®t c®t);
c) Thêm m®t b®i nguyên cna m®t c®t vào m®t c®t khác.
Đ%nh lý 2.1 ([1]). Moi ma tr¾n vói h¾ so huu tí có hang
bang hàng cna ma tr¾n có the đưa ve dang chuan Hecmit bang
cách thnc hi¾n các phép toán c®t sơ cap.
Đ%nh nghĩa 2.3. T¾p hop tt ⇒ Rn goi là m®t nhóm
(c®ng tính) neu có
(i) θ ⇒ tt (nhóm chúa phan tú không)
(ii) Neu x, y ⇒ tt thì x + y ⇒ tt và −x ⇒ tt (tong các
phan tú thu®c nhóm và phan tú đoi cna m®t phan tú thu®c nhóm
phái là m®t phan tú thu®c nhóm).
Ta nói nhóm sinh bói các véctơ a1, a2, ..., am ⇒ Rn neu
.
.
tt = λ1a1 + · · · + λmam |λ1, ....., λm ⇒Z
Đ%nh nghĩa 2.4. Nhóm tt đưoc goi là m®t dàn neu tt
sinh bói các véctơ đ®c l¾p tuyen tính. Khi đó, t¾p hop các
véctơ này đưoc goi là m®t cơ só cna dàn.
H¾ quá 2.1. Neu a1, a2, ..., am là các véctơ huu tí thì
nhóm sinh bói a1, a2, ..., am là m®t dàn, nghĩa là nhóm đó sinh
bói các véctơ đ®c l¾p tuyen tính.
Đ%nh lý 2.2 ([1]). Giá sú A và At là hai ma tr¾n huu tí vói
hang bang so hàng có dang chuan Hecmit tương úng là [BO]
và [BtO]. Khi đó, các c®t cna A và các c®t cna At sinh ra cùng
m®t dàn như nhau khi và chí khi B = B t .
H¾ quá 2.2. Moi ma tr¾n huu tí vói hang bang so hàng có
duy nhat m®t dang chuan Hecmit.
Nh¾n xét: Neu b11, ..., bmm là các phan tú đưòng chéo
cna dang chuan Hecmit [BO] cna A thì vói moi j = 1, ...,
m tích so
b11 × · · · × bij bang ưóc chung lón nhat cna các đ%nh thúc con
cap
j cna j hàng đau cna A (do ưóc này bat bien đoi vói các
phép toán c®t sơ cap). Đieu này cho m®t cách khác đe thay rang
đưòng chéo chính trong dang chuan Hecmit là duy nhat.
2.1.2. Ma tr¾n đơn modula
Các phép toán c®t sơ cap cna ma tr¾n còn có the đưoc mô
tá bói cái đưoc goi là các ma tr¾n đơn modula. Trưóc het, ta chú
ý là moi phép toán c®t sơ cap trên ma tr¾n A cap m × n đeu
có the thnc hi¾n bang cách nhân bên phái A vói m®t ma tr¾n sơ
cap tương úng E cap n × n, cu the E là ma tr¾n thu đưoc bang
cách áp dung cùng phép toán đó trên ma tr¾n đơn v% cap n × n.
Cho A là ma tr¾n m hàng, n c®t (m ≤ n) và In là ma
tr¾n đơn v% cap n × n. Khi đó:
a) Phép đoi cho hai c®t i và j cna A tương đương vói
phép nhân A vói ma tr¾n nh¾n đưoc tù In bang cách đoi cho hai
c®t i và j.
b) Phép nhân c®t j cna A vói −1 tương đương vói phép
nhân A vói ma tr¾n nh¾n đưoc tù In bang cách đoi dau c®t j.
c) Thêm b®i nguyên k cna c®t i vào c®t j cna A
tương đương vói nhân A vói ma tr¾n nh¾n đưoc tù In bang
cách thêm b®i nguyên k cna c®t i vào c®t j.
Đ%nh nghĩa 2.5. Cho U là m®t ma tr¾n vuông không
suy bien. Khi đó, U đưoc goi là ma tr¾n đơn modula neu U
nguyên và có đ%nh thúc bang ±1. Cũng có the mó r®ng khái
ni¾m đơn modula cho cá các ma tr¾n suy bien. Các ma tr¾n
đơn modula đã đưoc các nhà toán hoc Smith, Frobenius, Veblen
và Franklin nghiên cúu.
Sau đây là m®t so tính chat đáng chú ý cna ma tr¾n đơn
modula.
Đ%nh lý 2.3 ([1]). Các đieu sau tương đương đoi vói moi
ma tr¾n huu tí không suy bien U cap n × n:
(i) U là đơn modula;
(ii) U −1 là đơn modula;
(iii) Dàn sinh bói các c®t cna U là Zn (không gian véctơ
nguyên n chieu);
(iv) Ma tr¾n đơn v% là dang chuan Hecmit cna U ;
(v) U nh¾n đưoc tù ma tr¾n đơn v% bang các phép toán
c®t sơ cap.
H¾ quá 2.3. Cho A và At là hai ma tr¾n không suy bien
(cùng cap).
Khi đó, các đieu sau tương đương:
(i) Các c®t cna A và các c®t cna At sinh ra cùng m®t dàn;
(ii) At nh¾n đưoc tù A bang các phép toán c®t sơ cap;
(iii) At = AU vói ma tr¾n đơn modula U nào đó (túc
A−1At đơn modula).
2.1.3. H¾ phương trình Diophant tuyen tính trên t¾p
so nguyên
Cho ma tr¾n A cap m × n (túc ma tr¾n vói moi phan tú
huu tí) và véctơ huu tí b vói m thành phan, hãy tìm véctơ nguyên
x sao cho
Ax = b
(2.1)
Ta có the viet lai h¾ này ó dang chi tiet như sau: Tìm
x1, x2, ...,n nguyên thóa mãn
x
a x + x + ..... + x = b
a
a 11 1
12 2
1n
1
a x + a x + ..... + a n x = b
21 1
22 2
2n n
2
...............................................
...
am1 x1 + am2 x2 + ..... + amn xn
= bm
trong đó a11, a12, ..., amn và b1, b1, ..., bm là các so huu tí (1 ≤
m ≤ n).
2.1.4. Đieu ki¾n ton tai nghi¾m nguyên
Sau đây là m®t đieu ki¾n can và đn đe h¾ phương trình
Diophant tuyen tính Ax = b có nghi¾m nguyên.
Đ%nh lý 2.4 ([1]). Giá sú A là m®t ma tr¾n huu tí có hang
bang so hàng cna A và b là véctơ c®t huu tí. Khi đó, h¾ Ax = b
có nghi¾m nguyên x khi và chí khi yb là so nguyên đoi vói moi
véctơ hàng huu tí y mà yA là véctơ nguyên.
Cho A là m®t ma tr¾n huu tí. Kí hi¾u L là dàn sinh bói các
véctơ c®t cna A . Đ%nh lí 2.4 cho m®t đieu ki¾n can và đn đe véctơ
huu tí b ⇒ L. Cu the là tù chúng minh Đ%nh lí 2.4 cho thay
rang neu A có hang bang so hàng cna nó và neu dang chuan
Hecmit cna A là [BO] ( B có dang tam giác dưói) thì b ⇒ L khi
và chí khi B−1b là véctơ nguyên. M®t đieu ki¾n can và đn khác
như sau:
Đ%nh lý 2.5 ([1]). Cho A là m®t ma tr¾n nguyên cap m ×
n
và rank(A) = m. Khi đó, ba đieu sau tương đương:
(i) Các đ%nh thúc con cap m cna A có ưóc chung lón nhat
bang 1 ;
(ii) H¾ Ax = b có nghi¾m nguyên x đoi vói moi véctơ
nguyên ;
(iii) Vói moi véctơ y , neu yT A là véctơ nguyên thì y
nguyên.
Tù Đ%nh lí 2.1 có the de dàng suy ra rang đoi vói bat kỳ h¾
huu tí Ax = b có ít nhat m®t nghi¾m nguyên se ton tai các véctơ
nguyên x1, ..., xt sao cho
.
{x |Ax = b, x ⇒} = x0 + λ1x1 + · · · + λtxt |λ1, ...., λt ⇒
.
trong đó x1, ..., xt đ®c l¾p tuyen tính và t = (so c®t cna A
)
−rank(A) . Sn ton tai cna m®t h¾ nghi¾m cơ bán như the
đã đưoc Smith phát bieu năm 1861.
2.1.5. Thu¾t toán Hecmit
Muc này trình bày thu¾t toán Hecmit tìm dang tong quát
cho các nghi¾m nguyên cna h¾ phương trình Diophant tuyen tính
Ax = b, trong đó A là ma tr¾n nguyên cap m × n, rank(A) =
m và b là véctơ nguyên gom m thành phan.
Như đã biet (H¾ quá 2.4) vói A, b như trên, ton tai ma
tr¾n đơn modula U sao cho H = AU là dang chuan Hecmit cna
A, túc
H = [BO] vói B cap m × m không âm, có dang tam giác
dưói,
không suy bien và moi hàng cna B có duy nhat m®t phan tú lón
nhat, nam trên đưòng chéo chính cna B.
Theo đ%nh nghĩa cna ma tr¾n modula, U có ngh%ch đáo U
. Do đó h¾ Ax = b có the viet lai ó dang tương đương AUU
−1
−1
x=
b
. Đ¾t H = AU , y = U
−1
x ⇒ R hay x = Uy, ta thay h¾ Ax
= b tró thành h¾ phương trình tuyen tính vói ma tr¾n h¾ so có
dang tam giác Hy = b và x = Uy. Tù đó neu véctơ y nguyên thì
nghi¾m x = Uy cũng nguyên.
Do là ma tr¾n đơn modula ( túc nguyên và detU = ±1
) nên theo Đ%nh lí 2.3, U
the, moi quan h¾ y = U
−1
−1
cũng nguyên và detU = ±1 . Vì
x và x = Uy giua hai véctơ nguyên
x và y là quan h¾ hai chieu. Giái h¾ tam giác
Hy = b
(2.2)
ta nh¾n đưoc nghi¾m yi = y0, i = 1, ..., m. Neu y0 nguyên, ta
nh¾n
i
i
đưoc m®t nghi¾m nguyên cna h¾ (2.1) ban đau. Neu trái lai ( ton
tai i vói iy0 không nguyên ) thì h¾ (2.1) không có nghi¾m
nguyên. Như v¾y, sn ton tai nghi¾m nguyên cna h¾ (2.1) quy ve
sn ton tai nghi¾m nguyên cna h¾ (2.2). Kí hi¾u U = (ukj )n×n
và chú ý rang
x = Uy ta nh¾n đưoc dang tong quát cho các nghi¾m nguyên cna
h¾ (2.1) ( phu thu®c n − m tham so nguyên yi ):
m
n
.
. ukj yj , k = 1, 2, ....., n
xk =
ukj
j
(2.3)
j=m+1
y0 +
j=0
trong đó yj (m + 1 ≤ j ≤ n) là các tham so nguyên tùy ý (giá tr
% các bien tn do) hay ó dang véctơ x = Uy
vói y = (y0, ......, y0 , ym+1, ......, yn)T , yj ⇒ Z, j = m +
1, ...., n
1
m
Thu¾t toán Hecmit (tóm tat) giái h¾ Ax = b, gom các bưóc
sau:
- Bien đoi A ve dang chuan Hecmit H = [BO] .
- Tìm ma tr¾n đơn modula U sao cho H = AU .
- Giái phương trình Hy = b tìm nghi¾m nguyên y0 =
.
0
y0 ....., y
m
1,
.
- Tìm nghi¾m tong quát cna Ax = b theo công thúc (2.3)
2.2. Hfi PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT TUYEN
TÍNH TRÊN T¾P SO NGUYÊN DƯƠNG
Trong nhieu bài toán thnc te ngưòi ta can tìm nghi¾m
nguyên dương ( chú không đơn thuan nghi¾m nguyên ) cna h¾
phương trình Diophant tuyen tính.
Muc này se trình bày ve h¾ hai phương trình ba an vói
nghi¾m nguyên dương giái bang phương pháp “ chìa khóa”
Bài toán tong quát : Tìm nghi¾m nguyên dương cna h¾
phương trình
.
a1x + b1y + c1z = s1
(1)
a 2 x + b 2 y + c 2 z = s2
- Xem thêm -
.DOCX 
30 
21 
102 
