Tài liệu Hệ thức lượng giác và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRỊNH THỊ XUÂN TRANG HỆ THỨC LƢỢNG GIÁC VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2016 Công trình được hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU Phản biện 1: TS. LÊ HOÀNG TRÍ Phản biện 2: PGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNG Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng 08 năm 2016. Có thể tìm Luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lượng giác là một trong những lĩnh vực cơ bản của toán học, đã tồn tại , phát triển trong hàng ngàn năm qua, và có nhiều ứng dụng trong khoa học và thực tiễn. Trong khuôn khổ chương trình toán phổ thông hiện hành, lượng giác được giảng dạy vào cuối năm lớp 10 và đầu năm lớp 11 với những chủ đề cơ bản như: công thức lượng giác, phương trình lượng giác và hệ thức lượng giác. Tuy nhiên, chủ đề hệ thức lượng giác và đặc biệt là phần ứng dụng của nó được đề cập đến với một thời lượng không nhiều và chỉ ở một mức độ nhất định. Hệ thức lượng giác là một chuyên đề tương đối khó đối với học sinh phổ thông. Đồng thời, trong các đề thi tuyển sinh Đại học và cao đẳng, thi học sinh giỏi toán quốc gia, quốc tế hằng năm thường gặp những bài toán có liên quan đến các hệ thức lượng giác cùng những ứng dụng của nó. Là một giáo viên đang giảng dạy môn Toán ở trường phổ thông, với mục đích tìm hiểu các ứng dụng của lượng giác trong chương trình trung học phổ thông, nên tôi chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình là : “Hệ thức lượng giác và ứng dụng”. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu các kiến thức cơ bản về lượng giác, đặc biệt là các hệ thức lượng giác. Hệ thống và phân loại một số lớp bài toán có thể giải được bằng các hệ thức lượng giác. 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu Các hệ thức lượng giác. Các ứng dụng của hệ thức lượng giác trong tam giác và tứ giác. Các bài toán thuộc chương trình phổ thông có thể giải được bằng cách sử dụng các hệ thức lượng giác. 4. Phƣơng pháp nghiên cứu Thu thập, tổng hợp, hệ thống các tài liệu liên quan đến nội dung đề tài luận văn. Phân tích, nghiên cứu các tài liệu để thực hiện đề tài luận văn. Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của người hướng dẫn, của các chuyên gia và của các đồng nghiệp. 5. Nội dung của luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành 3 chương Chương 1. Trình bày sơ lược các hệ thức lượng giác và một số bất đẳng thức đại số hay sử dụng trong các chương sau. Chương 2. Trình bày các bài toán về hệ thức lượng giác trong tam giác. Chương 3. Trình bày các bài toán về hệ thức lượng giác trong tứ giác. CHƢƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ Chương này nhắc lại những hệ thức lượng giác cơ bản và một số bất đẳng thức đại số nhằm làm cơ sở cho các chương sau. 1.1. CÁC HỆ THỨC LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN 1.1.1. Đẳng thức lƣợng giác a. Độ dài đường trung tuyến của tam giác  2 2 b c 2 a 2 m  a 4 2   2 2 a c 2 b 2 ;m  b 4 2    2 2 a b 2 c 2 ;m  c 4 2 b. Độ dài đường cao của tam giác 2S h  a a ;  b 2S ; hb 2S hc  c c. Độ dài đường phân giác trong của tam giác la 2bc cos  A b c ; lb 2ac  cos B a c ; lc 2ab  cosC a b d. Diện tích tam giác 1 1 1 1 1 S  aha  bhb  chc S  absin C   acsin B 2 2 2 2 2 abc S  4R ; S  pr ; S 1 bcsin A 2 p  p a  p b  p c  S ra p a rb p b rc p c  e. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác a b c abc R  A  2sin 2sin  C  2sin 4S B f. Bán kính đường tròn nội tiếp S A B r  ; r p atan p btan p C p  ctan 2 2 2 g. Bán kính đường tròn bàng tiếp các góc của tam giác ra  S p a ; rb  S p  b ;  rc S p c h. Các đẳng thức lượng giác cơ bản trong tam giác A B C sin A sin B sin C 4cos .cos .cos 2 2 2 sin 2A sin 2B sin 2C 4sin A.sin B.sinC sin A sin B sin C 2 2cos Acos B cosC 2 2 A 2 A B C 12sin sin sin 2 2 2 A B C cos A cos B cosC 14sin .sin .sin 2 2 2 cos2A cos2B cos2C 14cos A.cos B.cosC 2 2 sin 2 2 sin B 2 sin 2 C cos A cos B cos C 12cos Acos B cosC 2 2 2 A B C 2 B 2C cos cos 2 2sin sin sin 2 2 2 2 2 2 tan A tan B tan C tan A.tan B.tan C 2 cos tan A A B B C C tan tan tan tan A tan 1 2 2 2 2 2 2 cot Acot B cot Bcot C cot C cot A 1 A B C A B C cot cot cot cot .cot .cot 2 2 2 2 2 2 1.1.2. Bất đẳng thức lƣợng giác a b c sin A sin B sinC 3 3 3 3 sin A sin B  ; sin A.sin B.sin C  2 8  sin C A B 2 2 2 sin sin sin ; sin A sin B sin C C 3 9   2 2 2 2 4 2 A 2 B 2 A B C 1 sin sin sin ; sin .sin .sin  C 3  2 2 2 4 2 2 2 8 cos A cos B cosC  3 2 cos A.cos B.cos C 1 ; cos A.cos B.cosC  8 1 cos A1 cos B 1 cos C  cos cos A C 2 cos B A B C   ; cos .cos .cos  3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 A 2B 2 cos cos cos C 9  2 2 2 4 2 cos A cos B cos 3 C  ; 4 tan A tan B  3 3 ( ABC nhọn) tan C 2 2 tan Atan B 2 tan C 2 A 2 C tan tan 2 tan 2 9 ( ABC nhọn) B 1; tan C  2 2 tan Atan B  tan C  cot A tan  32 2 A cot 2 2 B B tan 2 cot 2 C cot Acot B  3 1 ; cot Acot B cot C  2 cot C A B cot cot  2 A 2 B 2C 3 3 ; cot cot cot C cot 2 2 2 9 2 2 2 1.1.3. Định lý sin, định lý côsin, định lý tang a. Định lý côsin Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c ta có: 2 2 a 2 b 2bc 2 2 cos a c 2 c 2 A 2 b 2ac cos B c 2 a 2 2 b 2abcosC b. Định lý sin Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c ta có: 2R b a c  sin C sin c. Định lý B  tang sin A Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c ta có: A B C tan a tan b c a C A    b  c 2    2   2 ; ; B C b A B a C A c a tan tan tan 2 c b 2 2 1.2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ THƢỜNG GẶP tan B 1.2.1. Bất đẳng thức Cauchy Cho a , a ,..., là các số không âm. Khi đó ta có: 1 2 an  n a a ...a . a1 a2 ... an 1 2 n n Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 a2 ... an . 1.2.2. Bất đẳng thức Bunhiacopxki Cho hai dãy số a1 , a2 ,..., an   a 2 2 2 1 a2 ... an 2 và b1 ,b2 ,...,bn . Khi đó ta có: 2 2 b1 b2 ... bn Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi    2  a1b1 a2b2 ...  anbn . a1 a2  b1 b2 an ...  bn . 1.2.3. Bất đẳng thức Chebyshev Cho hai dãy số a , a ,..., 1 2 an a1 a2 ... an và b1 ,b2 ,...,bn thỏa mãn điều kiện ; b1 b2 ... bn . Khi đó ta có a1 a2 ... an  b1 b2  ... bn   n  a1b1 a2b2 ... anbn . a 1a ... a 2 n Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  b1 b2 ... bn 1.2.4. Bất đẳng thức Svacxơ trong đó bi > 0 Cho hai dãy số thực a1 , a2 ,..., và b1 ,b2 ,...,bn a n với mọi i = 1, 2, ..., n. Khi đó ta có: a2 a  2 ...  n  b1 b2 bn 1 a2 a2 1 a ... a 2 2 n b1 b2 ... bn a a a Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1  2 ...  n b1 b2 bn CHƢƠNG 2 HỆ THỨC LƢỢNG TRONG TAM GIÁC Chương này trình bày việc sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác để giải một số lớp bài toán về tam giác, cụ thể là bài toán nhận dạng tam giác, các bài toán về chu vi, diện tích tam giác ... 2.1. CÁC BÀI TOÁN VỀ NHẬN DẠNG TAM GIÁC Để nhận dạng tam giác, ta thường sử dụng một trong các phương pháp như sau: Phương pháp 1: Sử dụng các phép biến đổi lượng giác để tính góc hoặc cạnh Phương pháp 2: Sử dụng bất đẳng thức cơ bản trong tam giác và các bất đẳng thức đại số Phương pháp 3: Sử dụng phương pháp đánh giá dựa trên các tính chất tam giác và tính chất của hàm số 2.1.1. Nhận dạng tam giác vuông Để chứng minh A là tam giác vuông, ta sử dụng Định lý BC Pythagore, hoặc chứng minh tam giác có một góc vuông (góc đối diện với cạnh dài nhất của tam giác). Bài toán 2.2. Cho ABC a b c  4R thỏa mãn hệ thức:  2 B 2 C  2 A 1 sin sin sin . (2.1)  2 2 2  Chứng minh ABC vuông.  Giải: 2R(sin A sin B  (2.1)  sin C )  4R 1 1 cos B 1    cosC  2 2   1  cos A2 sin A sin B sin C 1cos A cos B cosC A A B C B C 2sin cos 2sin cos 2 A 2sin 2 2 2 2 2 B C B  2cos cos C A B C cos  cos B C  cos    2 2 2   2 C B A sin C  B  cos  2 2  A B C 2cos 2sin cos cos B C cos cos 2 2 2 2 2 2 B C    A sin do cos cos 0 A cos    2 2 2 2  tan ABC 2  vuông tại A.  1  A  . Vậy 2 cos  2  A A 2 2.1.2. Nhận dạng tam giác cân Để chứng minh A là tam giác cân, ta chứng minh tam BC giác có 2 cạnh bằng nhau, hoặc có 2 góc bằng nhau. Bài toán 2.10. Cho có: ABC 2 2 cos A  B 1 cot2 A cot2 B. cos 2 2 sin A sin B 2 Chứng minh rằng cân. ABC Giải: (2.2) 2 sin A sin B 1  1 1 (2.2)   1 1  2 2 2 sin A 2 sin sin B  2 sin B A 2 1  1 1 2  2  2 1  sin A 2 B 2 sin sin B sin  A   2 2 2 sin A sin B   2 2 2 2sin Asin B sin A 2 sin B 2 2  4sin Asin B sin A sin B2 2 2 2 2 0 sin A sin B2 2 2 sin 2 A sin2 B sin A sin B 0 A, B A B . Vậy ABC cân tại C. 2.1.3. Nhận dạng tam giác đều Để chứng minh A là tam giác đều, ta chứng minh tam BC giác có 3 cạnh bằng nhau, hoặc có 3 góc bằng nhau, hoặc chứng 0 minh cân và có một góc bằng 60 . ABC Bài toán 2.19. Cho ABC có: B 2 C A 2 2 a cos b cos c cos C B A 2sin 2 A 2  2sin 2 B  2 Chứng minh rằng ABC đều. 2sin 2 C 2 a b 2 c . 2 2 Giải: Ta có: B C C B a  2R sin A.cos 2 a cos 2  2sin A cos 2  2sin A 2  a R A 4 sin  A  .cos 2 2 2sin 2 B   C  A 2 2 A B C  B C B C   aR 2cos cos aR 2sin cos  aR sin B sin C    2 2 2 2       a 2R sin B 2R sin a b c C   2 2 2 b cos 2 C A Tương tự ta có: 2sin Từ đó suy ra: c cos 2 B 2 b  c a     a  c  b 2sin ; 2 b  c   a   Đẳng thức đã cho  a 2 2 A B c  a  b   2 C  2 c  b  a  2 2 22   b c 2 2 2 2 ab bc ca a b c 2 2 2 a b c ab bc ca 0 1  a b2 b c2 c a2 0 a b c .  2 Vậy đều. ABC 2.2. CÁC BÀI TOÁN VỀ CẠNH VÀ GÓC CỦA TAM GIÁC Bài toán 2.30. Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: cos A cos B 2cosC . Chứng minh bất thức 8 c  maxa , b. Đẳng thức xảy ra khi nào? 9 đẳng Giải: Sử dụng Định lý côsin trong tam giác ABC, điều kiện bài toán 2 2 2 2 2 2 2 a c a b c 2 tương đương với b c b 2  a  2bc 2ac ab c 2 b 2  a c 2 a b2 c2 2 a b    2bc 2ac ab