BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG
---------------------------------------
DƯƠNG THỊ PHƯỢNG
PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA THỨC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội – Năm 2016
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG
---------------------------------------
DƯƠNG THỊ PHƯỢNG – C00454
PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA THỨC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
MÃ SỐ: 60 46 01 13
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS LƯU BÁ THẮNG
Hà Nội – Năm 2016
1
Thang Long University Library
MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa.................................................................................................. 01
Mục lục.......................................................................................................... 02
Lời cam đoan ..................................................................................................04
Tóm tắt luận văn............................................................................................. 05
MỞ ĐẦU....................................................................................................... 06
Chương 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1 VÀNH CÁC ĐA THỨC MỘT BIẾN...................................................... 08
1.2 ĐA THỨC TRÊN MỘT TRƯỜNG SỐ……………………….………. 12
1.2.1 Một số tính chất………………………………………………….…… 12
1.2.2 Một số ví dụ……………………………………………………….….. 16
1.3 ĐA THỨC TRÊN TRƯỜNG
………………………………………. 18
1.3.1 Nghiệm hữu tỉ của đa thức với các hệ số nguyên………………….… 18
1.3.2 Đa thức bất khả quy trên trường các số hữu tỉ và các tiêu chuẩn
Eisenstein; Osada; Polya………………………………………….....……... 19
1.4 ĐA THỨC TRÊN
VÀ TRÊN
…………………………….……... 24
1.5 VÀNH ĐA THỨC NHIỀU BIẾN……………………………….....….. 27
1.5.1 Xây dựng vành các đa thức nhiều biến…………………….………… 27
1.5.2 Bậc của đa thức nhiều biến…………………...……………….……… 28
Kết luận Chương 1........................................................................................ 29
Chương 2. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA THỨC
2.1 PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA THỨC MỘT BIẾN.................................. 31
2.1.1 Phương trình có dạng xP x a x b P x .................................. 31
2
2.1.2 Phương trình có dạng P f x P g x P h x ………………… 39
2.1.3 Phương trình có dạng P f x P g x P h x Q x ………… 53
2.1.4 Bài tập tự luyện.................................................................................... 61
2.2 PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA THỨC NHIỀU BIẾN…………………...... 62
2.2.1 Một số ví dụ.......................................................................................... 62
2.2.2 Bài tập tương tự.................................................................................... 65
2.3 MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA THỨC KHÁC.……… 65
2.3.1 Một số ví dụ.......................................................................................... 65
2.3.2 Bài tập tương tự.................................................................................... 71
2.3.3 Bài tập tự luyện......................................................................................73
Kết luận Chương 2..........................................................................................74
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
1. Kết luận..................................................................................................... 75
2. Khuyến nghị............................................................................................. . 75
TÀI LIỆU TRÍCH DẪN ............................................................................. 76
3
Thang Long University Library
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan dưới sự giúp đỡ, hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của TS
Lưu Bá Thắng, luận văn cao học chuyên ngành phương pháp Toán sơ cấp với
đề tài “Phương trình hàm đa thức” là công trình nghiên cứu của riêng tôi
trong thời gian học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Thăng Long.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa và
phát huy những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 06 năm 2016
Tác giả
Dương Thị Phượng
4
TÓM TẮT LUẬN VĂN
Luận văn gồm ba phần:
PHẦN 1. Mở đầu
PHẦN 2. Nội dung
Phần này gồm hai chương:
Chương 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1 VÀNH ĐA THỨC MỘT BIẾN
1.2 ĐA THỨC TRÊN MỘT TRƯỜNG SỐ
1.3 ĐA THỨC TRÊN TRƯỜNG
1.4 ĐA THỨC TRÊN
VÀ TRÊN
1.5 VÀNH ĐA THỨC NHIỀU BIẾN
Chương 2. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA THỨC
2.1 PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA THỨC MỘT BIẾN
2.2 PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA THỨC NHIỀU BIẾN
2.3 MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA THỨC KHÁC
PHẦN 3. Kết luận và khuyến nghị.
5
Thang Long University Library
MỞ ĐẦU
Phương trình hàm nói chung và phương trình hàm đa thức nói riêng là
một trong những lĩnh vực hay và khó của toán sơ cấp. Trong các kì thi
Olympic Toán học Quốc gia, Khu vực và Quốc tế thường xuyên xuất hiện các
bài toán phương trình hàm và phương trình hàm đa thức. Các bài toán này
thường là khó, đôi khi rất khó. Để giải các bài toán đó trước tiên ta phải nắm
vững các kiến thức về phương trình hàm và các tính chất của đa thức, đồng
thời phải có sự vận dụng thích hợp.
Trên thực tế, các công trình nghiên cứu về phương trình hàm có rất
nhiều nhưng các tài liệu đề cập về phương trình hàm đa thức nói riêng còn ít.
Do đó, việc có thể giúp học sinh tiếp cận với phương trình hàm đa thức dễ
dàng hơn và giải quyết được một số bài toán về phương trình hàm đa thức là
một yêu cầu hết sức cần thiết.
Nhằm nâng cao hiệu quả giáo dục trong nhà trường phổ thông và góp
phần từng bước nâng cao chất lượng của công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi
chọn đề tài “Phương trình hàm đa thức” làm luận văn cao học của mình.
Luận văn gồm Mở đầu, hai Chương, Kết luận và Tài liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày về những kiến thức cơ bản được dùng trong
chương 2 như: vành đa thức, đa thức trên một trường số, đa thức trên trường
số hữu tỉ, trường số thực và trường số phức.
Chương 2: Trình bày chi tiết các dạng phương trình hàm đa thức thông
dụng. Ở mỗi dạng bắt đầu bằng một số tính chất quan trọng sau đó nêu ra các
ví dụ điển hình minh họa, tiếp đến là các bài tập tương tự và cuối cùng là các
bài tập tự luyện. Qua đó, giúp người giải toán dễ hình dung và nắm bắt được
phương pháp giải từng loại phương trình hàm đa thức.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Thăng Long dưới sự
hướng dẫn khoa học và chỉ bảo tận tình của TS Lưu Bá Thắng, Đại học Sư
6
phạm Hà Nội. Là người học trò đã tiếp thu được nhiều điều bổ ích, quý báu từ
Thầy, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động viên
kịp thời và sự nghiêm khắc chỉ bảo, hướng dẫn của Thầy.
Tôi xin cảm ơn tới các thầy cô giáo trong Trường Đại học Thăng Long,
phòng Sau đại học và Quản lý khoa học - Trường Đại học Thăng Long. Đồng
thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp CTM3-BG (Cao học toán Bắc
Giang) khóa 2014 – 2016 của Trường Đại học Thăng Long đã động viên giúp
đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này.
Tôi xin cảm ơn Ban Giám hiệu, tổ chuyên môn Toán – tin, các đồng
nghiệp Trường THPT Yên Dũng số 3, Bắc Giang đã tạo điều kiện giúp đỡ,
góp ý cho tác giả trong thời gian học tập và thực hiện luận văn này.
Mặc dù tác giả đã hết sức cố gắng nhưng do thời gian có hạn, kinh
nghiệm nghiên cứu và viết luận văn còn hạn chế nên không tránh khỏi những
thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô
và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 06 năm 2016
Tác giả
Dương Thị Phượng
7
Thang Long University Library
CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1 VÀNH CÁC ĐA THỨC MỘT BIẾN
Cho A là một vành giao hoán có đơn vị 1. Kí hiệu
A x f a0 a1x ... an x n ai A , n
với x là biến. Giả sử
f a0 a1x ... an x n , g b0 b1x ... bm x m A x .
Không làm mất tính tổng quát, ta có thể giả sử m n, và m n s. Khi đó
g b0 b1x ... bn x n bn1x n1 ... bn s x ns A x .
Trên A x ta có quan hệ bằng nhau: f g khi và chỉ khi ai bi với mọi
i 0,..., n và bn1 ... bn s 0.
n
Phép cộng: f g ai bi xi bn1x n1 ... bns x n s .
i 0
i
Phép nhân: f g ai j b j x i .
i 0 j 0
mn
Với hai phép toán cộng và nhân đã nêu thì A x trở thành một vành giao
hoán có đơn vị 1. Khi đó A x được gọi là vành các đa thức của biến x trên
A, còn phần tử của A x được gọi là đa thức của biến x trên A. Đa thức
f a0 a1x ... an x n được gọi là có bậc n và viết là deg f n nếu an 0,
trong trường hợp như vậy ta gọi an là hệ tử cao nhất của f .
Quy ước: Đa thức 0 là một đa thức có bậc .
Thực chất của việc làm trên là xây dựng một vành A x mở rộng của
A, thông qua định nghĩa hình thức cho cái gọi là đa thức của biến x trên A,
mà bản chất thực sự là định nghĩa hình thức cho phần tử siêu việt x. Bây giờ
8
chúng ta sẽ xem xét một cách tiếp cận khác để đưa ra một vành mở rộng của
A đẳng cấu với A x. Cách tiếp cận này chính là để đi kiến thiết một phần tử
siêu việt trên A.
Xét tập T tất cả những dãy được sắp các phần tử a0 , a1, a2 ,... thuộc
A, với vô hạn đếm được các thành phần tọa độ, trong đó chỉ một số hữu hạn
các ai 0. Trong T ta định nghĩa quan hệ bằng nhau và hai phép toán như
sau:
(i) a0 , a1, a2 ,... b0 , b1, b2 ,... khi và chỉ khi ai bi với mọi i.
(ii) a0 , a1, a2 ,... b0 , b1, b2 ,... a0 b0 , a1 b1, a2 b2 ,....
(iii) a0 , a1 , a2 ,... b0 , b1 , b2 ,... a0b0 , a0b1 a1b0 ,..., aib j ,... .
i j n
Dễ dàng kiểm tra được T cùng với hai phép toán trên lập thành một vành
giao hoán.
Lấy tập con T1 của T gồm tất cả những phần tử dạng a,0,0,... , a A. Khi
đó, ta có:
(i) T1 là một vành con của vành T .
(ii) Tương ứng : A T1 , a
a,0,0,... là một đẳng cấu.
Thật vậy, từ a,0,0,... và b,0,0,... thuộc T1 ta có ngay
a,0,0,... b,0,0,... a b,0,0,...
và
a,0,0,...b,0,0,... ab,0,0,...
thuộc T1. Vậy T1 là một vành con của T . Từ a b ta suy ra
a,0,0,... b,0,0,....
Vậy là một ánh xạ. Dễ dàng kiểm tra là một đẳng cấu. Do đó A T1.
9
Thang Long University Library
Do A đẳng cấu với vành con T1 của T nên khi đồng nhất a A với
a,0,0,... T1
chúng ta đã nhúng được A vào T và ta có thể coi A là một
vành con của T .
Đặt 0,1,0,0,0,... T . Dễ dàng kiểm tra các lũy thừa sau đây:
0,1,0,0,0,... ;
2
0,0,1,0,0,... ;
3
0,0,0,1,0,... ;
...
n 0,0,0,...,0,1,0,... ;
...
1 ở tọa độ thứ n 1.
Khi đó mỗi phần tử a0 , a1,..., an ,0,0,... T có thể biểu diễn như sau:
a0 , a1,..., an ,0,0,... a0 ,0,0,... 0, a1,0,0,... ...
a0 a1 0,1,0,0,... ...
a0 a1 ... an n .
Như vậy, mỗi phần tử thuộc T đều biểu diễn được thành một dạng đa thức
của với các hệ tử thuộc A. Như vậy T A . Từ
a0 a1 ... an n 0
suy ra
a0 , a1,..., an ,0,0,... 0,0,0,...
hay
a0 a1 ... an 0.
Xét tương ứng : A x T A cho bởi f x
là một đẳng cấu vành. Vậy A A x.
10
f . Dễ kiểm tra được
Định lí 1.1.1 Cho A là một miền nguyên. Khi đó vành các đa thức A x là
một miền nguyên. Ngoài ra, nếu f , g A x là các đa thức khác đa thức 0, thì
deg f g deg f deg g.
Chứng minh
Thật vậy giả sử f , g A x là các đa thức khác đa thức 0, và giả sử
f ax n U x với degU x n deg f ,
g bx m V x với degV x m deg g.
Khi đó a, b khác 0 và
f g abx nm a x nV x bx mU x V x U x
với
deg a x nV x bx mU x V x U x n m.
Vì A là một miền nguyên nên ab khác 0, do đó f g 0. Vậy A x là một
miền nguyên. Cũng từ chứng minh vừa rồi, ta suy ra:
deg f g deg f deg g.
Cho A là một miền nguyên, khi đó ta có vành các đa thức A x là một
miền nguyên. Giả sử f , g A x. Đa thức f A x được gọi là chia hết cho
đa thức g A x nếu tồn tại đa thức h A x để f g h. Đa thức d được
gọi là một ước chung của f và g nếu cả
f và g đều chia hết cho d . d
được gọi là một ước chung lớn nhất của f và g , nếu d là một ước chung
của f và g , đồng thời d chia hết cho mọi ước chung của f và g . Ước
chung lớn nhất của hai đa thức, được xác đinh duy nhất sai khác một nhân tử
khả nghịch của A. Nếu một ước chung lớn nhất d của f và g là khả nghịch
(tất nhiên lúc đó d A ), thì f và g gọi là nguyên tố cùng nhau. Đa thức f
11
Thang Long University Library
được gọi là khả quy trên A, nếu có hai đa thức g , h A x không khả nghịch,
để f g h. Đa thức f được gọi là bất khả quy trên A, nếu không có hai đa
thức không khả nghịch g , h A x, để f g h.
Định nghĩa 1.1.2 Giả sử c là một phần tử tùy ý thuộc vành A,
f x a0 x n a1x n1 ... an là một đa thức tùy ý của A x. Phần tử
f c a0c n a1c n1 ... an A được gọi là giá trị của f x tại c. Nếu
f c 0 thì c được gọi là một nghiệm của f x . Tìm nghiệm của f x
trong A được gọi là giải phương trình đại số bậc n
a0 xn a1xn1 ... an 0, a0 0
trên A.
1.2 ĐA THỨC TRÊN MỘT TRƯỜNG CON CỦA TRƯỜNG SỐ PHỨC
Trong luận văn này ta chỉ nghiên cứu đa thức trên một trường K là
trường con của trường số phức.
1.2.1 Một số tính chất
Định lí 1.2.1.1 Cho K là một trường con của trường số phức và giả sử
c K , f x K x. Khi đó dư của phép chia f x cho x c là f c , hay
f x x c g x f c , g x K x .
Chứng minh
Từ thuật toán chia đa thức ta có f x x c g x b, b K . Do đó
f c c c g c b b.
Bây giờ ta cần tìm hiểu cách tính f c của Horner.
Để ý rằng thực hiện phép chia f x a0 x n a1x n1 ... an cho x c,
ta được các hệ tử của đa thức thương g x b0 x n1 b1x n2 ... bn1 cho bởi
các công thức b0 a0 , bi ai c.bi 1 , i 1,..., n 1 và dư b an cbn1 hay
12
b0 a0 ;
b a cb ;
0
1 1
b2 a2 cb1;
...
bn1 an1 cbn2 ;
b an cbn1.
Vì b f c nên ta suy ra sơ đồ tính f c và cả g x thông qua quá trình
lặp như sau: b0 a0 , b1 a1 cb0 ,..., bi ai cbi1,..., f c b an cbn1.
Lược đồ tính f c và cả g x theo cách này, được gọi là Lược đồ Horner.
Định lí 1.2.1.2 (Bézout) Nếu K là nghiệm của đa thức bậc dương
f x K x , thì f x x g x với g x K x có
deg g x deg f x 1.
Chứng minh
Thật vậy, ta luôn biểu diễn f x x g x f với g x K x. Từ
f 0, ta rút ra f x x g x , và deg g x deg f x 1.
Hệ quả 1.2.1.3 Cho một đa thức bậc dương f x K x. Khi đó ta có:
(i) Nếu 1 ,..., m K là các nghiệm của f x , thì
f x x 1 x 2 ... x m g x
với g x K x có deg g x deg f x m .
(ii) Số nghiệm của đa thức trong K không vượt quá bậc của f x .
Định lí Bézout là cơ sở cho khái niệm nghiệm bội của một đa thức,
được phát biểu rằng: K được gọi là một nghiệm bội k 1 của đa thức bậc
dương f x K x nếu f x x 1 g x với k nguyên dương và
k
13
Thang Long University Library
g 0. Trường hợp k 1 thì được gọi là nghiệm đơn; trường hợp k 2
thì được gọi là nghiệm kép của f x .
Định lí 1.2.1.4 (Viète) Nếu 1 ,..., m là các nghiệm của một đa thức bậc m
f x a0 x m a1x m1 ... am
trên một trường K , thì
a1
...
;
1
1
2
m
a0
a2
2 1 2 ... m1 m ;
a0
...
m am
...
1
.
m
1
2
m
a
0
1, 2 ,..., m được gọi là những đa thức đối xứng cơ bản của 1,..., m .
Chứng minh
Do a0 x m a1x m1 ... am a0 x 1 x 2 ... x m nên khai triển vế
phải ta được a0 x m a1 x m1 ... am a0 x m 1x m1 ... 1 m .
m
Bằng việc đồng nhất các hệ tử của hai đa thức ở hai vế, ta được
i 1
i
ai
, i 1,..., m.
a0
Định lí 1.2.1.5 (Lagrange) Cho f x là một đa thức bậc n trên một trường
K và x0 , x1 ,..., xn là n 1 phần tử phân biệt trong K . Đặt
n
g x a x xi , a 0.
i 0
Khi đó ta có:
n
(i) f x f xi
i 0
x xk
.
k i ,k 0 xi xk
n
14
n
(ii) f x
i 0
f xi g x
.
.
g xi x xi
Chứng minh
n
(i) Đặt h x f x f xi
i 0
x xk
. Ta có deg h n và
k i ,k 0 xi xk
n
h x0 h x1 ... h xn 0.
Đa thức h x có deg h n và có quá n nghiệm là x0 , x1 ,..., xn . Do đó h x
phải là đa thức 0. Vậy
n
f x f xi
i 0
(ii) Vì
x xk
.
x
x
k i ,k 0 i
k
n
g x
x xk
1
nên từ (i) suy ra
.
x
x
g
x
x
x
i
k i , k 0 i
k
i
n
n
f x
i 0
f xi g x
.
.
g xi x xi
Định lí 1.2.1.6 (Taylor) Cho p x là một đa thức bậc n 0 trên một trường
K và K . Khi đó ta có:
n
p
p
p
2
n
p x p
x
x ...
x .
1!
2!
n!
Chứng minh
Ta sẽ chứng minh định lí này bằng quy nạp theo bậc của đa thức. Dễ kiểm tra
được trường hợp bậc 0. Giả sử phát biểu đã đúng cho tất cả đa thức có bậc
nhỏ hơn hoặc bằng n 1. Xét đa thức p x bậc n. Bây giờ ta cần chỉ ra rằng
n
p
p
p
2
n
p x p
x
x ...
x .
1!
2!
n!
Đặt
15
Thang Long University Library
n
p
p
p
2
n
f x p
x
x ...
x .
1!
2!
n!
Khi đó:
n
p
p
n1
f x p
x ...
x .
1!
(n 1)!
Mặt khác theo giả thiết quy nạp áp dụng cho p x , thì
n
p
p
n1
p x p
x ...
x .
1!
(n 1)!
Vì vậy f x p x . Kết hợp với f p , ta rút ra f x p x . Do
đó ta nhận được:
n
p
p
p
2
n
p x p
x
x ...
x ,
1!
2!
n!
và quy nạp đã hoàn thành. Định lí được chứng minh.
1.2.2 Một số ví dụ
Ví dụ 1.2.2.1 Cho đa thức P x x 4 ax3 bx 2 cx d thỏa mãn
P 1 10, P 2 20, P 3 30.
Chứng minh rằng:
P 12 P 8
32 2016.
10
Chứng minh
Đặt Q x P x 10 x, deg P x deg Q x 4. Khi đó ta có:
Q 1 Q 2 Q 3 0,
hay Q x được biểu diễn dưới dạng: Q x x 1 x 2 x 3 R x .
Mặt khác deg Q x 4 nên R x x x0 . Dẫn đến
P x x 1 x 2 x 3 x x0 10 x.
16
Từ đó suy ra
P 12 11.10.9.12 x0 120 990 12 x0 120,
P 8 9.10.11. x0 8 80 990 x0 8 80.
Do đó
990 12 x0 x0 8 40
P 12 P 8
32
32 2016.
10
10
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 1.2.2.2 Cho x0 , x1 ,..., xn là n 1 phần tử phân biệt trên một trường K .
n
Đặt f x x xi . Chứng minh rằng với mỗi đa thức
i 0
p x a0 x n a1x n1 ... an
n
bậc n trên K , ta có a0
i 0
p xi
.
f xi
Chứng minh
n
Theo công thức nội suy Lagrange ta có p x
i 0
n
So sánh các hệ số của xn ta được a0
i 0
p xi f x
.
.
f xi x xi
p xi
.
f xi
Ví dụ 1.2.2.3 Cho các số nguyên được sắp xếp theo thứ tự tăng dần
x0 x1 ... xn . Chứng minh rằng trong số các giá trị của đa thức
p x x n a1x n1 ... an
tại x0 , x1 ,..., xn sẽ tồn tại ít nhất một i để p xi
x
n!
.
2n
Chứng minh
n
n
i 0
i 0
Đặt f x x xi , theo ví dụ 1.2.2.2, ta nhận được 1
p xi
.
f xi
17
Thang Long University Library
Đặt max p x0 ,..., p xn . Dễ thấy rằng f xi i ! n i !, nên ta có
các bất đẳng thức:
1
n
i 0
n
n
n
p xi
p xi
1
1
.
f xi i 0 f xi
i 0 f xi
i 0 i ! n i !
n!
1
2n
Do đó 1
. Vậy n .
2
n!
i 0 i ! n i !
n
Ví dụ 1.2.2.4 Cho P x là đa thức bậc 4 có hệ số cao nhất là 1 thỏa mãn
P 1 3, P 3 11, P 5 27.
Tính giá trị biểu thức P 2 7 P 6.
Bài giải
Xét f x x 2 2, ta có f 1 3, f 3 11, f 5 27.
Đặt Q x P x f x , deg Q x deg P x 4. Do hệ số cao nhất của
P x là 1 nên hệ số cao nhất của Q x cũng là 1.
Ta có Q 1 Q 3 Q 5 0 nên Q x có dạng:
Q x x 1 x 3 x 5 R x .
Vì hệ số cao nhất của Q x là 1 nên R x x k , nên ta có:
P x x 1 x 3 x 5 x k f x .
Suy ra P 2 105k 216, P 6 15k 896.
Vậy P 2 7 P 6 1112.
1.3 ĐA THỨC TRÊN TRƯỜNG
1.3.1 Nghiệm hữu tỉ của đa thức với các hệ số nguyên
Định lí 1.3.1.1 Cho đa thức
f x a0 x n a1x n1 ... an1x an
18
x, a0 0.
Khi đó nếu số hữu tỉ
p
với p, q 1 là nghiệm của phương trình f x 0
q
thì ta có các khẳng định sau:
(i) p là một ước của an và q là một ước của a0 .
(ii) p mq là ước của f m với mọi số nguyên m.
Chứng minh
(i) Giả sử số hữu tỉ
p
với p, q 1 là một nghiệm của f x 0. Khi đó:
q
a0 p n a1 p n1q ... anq n 0.
Vì p, q 1 nên p là một ước của an và q là một ước của a0 .
(ii) Khai triển f x theo các lũy thừa của x m ta được:
f x a0 x m b1 x m
n
Thay x
n1
... bn1 x m f m
x.
p
, ta được:
q
a0 p mq b1 p mq
n
n1
q ... bn1 p mq q n1 f m q n 0.
Vì p, q 1 nên p mq là ước của f m với mọi số nguyên m.
Hệ quả 1.3.1.2 Các nghiệm hữu tỉ của đa thức
f x x n a1x n1 ... an
x
phải là số nguyên.
1.3.2 Đa thức bất khả quy trên trường các số hữu tỉ và các tiêu chuẩn
Eisenstein; Osada; Polya
Cho một đa thức f x a0 x n a1x n1 ... an1x an
Đặt cont f d a0 ,..., an . Khi đó
x, a0 0.
1
f là một đa thức với các hệ số
d
19
Thang Long University Library
- Xem thêm -