Tài liệu Luận văn thạc sĩ toán học sử dụng bổ đề trội chứng minh các bất đẳng thức trong tam giác (1)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG --------------------------------------- VŨ VĂN THƯỞNG SỬ DỤNG BỔ ĐỀ TRỘI CHỨNG MINH CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG --------------------------------------- VŨ VĂN THƯỞNG – C00458 SỬ DỤNG BỔ ĐỀ TRỘI CHỨNG MINH CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG Hà Nội – Năm 2016 1 Thang Long University Library MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa ................................................................................................ 01 Mục lục.......................................................................................................... 02 Lời cam đoan ................................................................................................. 04 Tóm tắt luận văn............................................................................................ 05 MỞ ĐẦU....................................................................................................... 06 Chương 1. KHÁI NIỆM TRỘI VÀ ỨNG DỤNG TRONG CHỨNG MINH MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC 1.1 KHÁI NIỆM TRỘI................................................................................. 08 1.1.1 Định nghĩa 1.1.1.................................................................................... 08 1.2 HÀM LỒI SHUR..................................................................................... 08 1.2.1 Định nghĩa 1.2.1 ................................................................................... 08 1.2.2 Định nghĩa 1.2.2 ................................................................................... 08 1.2.3 Một số tính chất cơ bản của hàm lồi, hàm lõm..................................... 09 1.2.3.1 Tính chất 1.......................................................................................... 09 1.2.3.2 Tính chất 2.......................................................................................... 09 1.2.4 Định nghĩa 1.2.3 ................................................................................... 10 1.2.4.1 Bất đẳng thức trội (Bổ đề trội, Shur, 1923) ........................................10 1.2.4.2 Một số hệ quả của bất đẳng thức trội ................................................ 12 1.3 ỨNG DỤNG CỦA KHÁI NIỆM TRỘI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ............................................................................................... 14 Kết luận Chương 1......................................................................................... 24 Chương 2. ỨNG DỤNG CỦA BỔ ĐỀ TRỘI TRONG CHỨNG MINH CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC 2 2.1 THÍ DỤ MINH HỌA............................................................................... 25 Nhận xét 2.1.1................................................................................................ 26 2.2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN CÁC GÓC TRONG CỦA TAM GIÁC ................................................................................................... 26 Nhận xét 2.2.1................................................................................................ 26 2.2.1 Hàm sin.................................................................................................. 28 Nhận xét 2.2.2................................................................................................ 28 2.2.2 Hàm cosin.............................................................................................. 53 Nhận xét 2.2.3................................................................................................ 53 2.2.3 Hàm tan................................................................................................. 65 Nhận xét 2.2.4................................................................................................ 65 2.3 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN CÁC CẠNH CỦA TAM GIÁC ................................................................................................... 71 Nhận xét 2.3.1................................................................................................ 71 2.4 MỘT SỐ HỆ THỨC KHÁC TRONG TAM GIÁC................................. 77 Kết luận Chương 2. ....................................................................................... 86 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 1. Kết luận..................................................................................................... 87 2. Khuyến nghị............................................................................................... 87 TÀI LIỆU TRÍCH DẪN ............................................................................. 88 3 Thang Long University Library LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan dưới sự giúp đỡ, hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của PGS TS Tạ Duy Phượng, luận văn cao học chuyên nghành phương pháp Toán sơ cấp với đề tài “Sử dụng Bổ đề trội chứng minh các bất đẳng thức trong tam giác” là công trình nghiên cứu của riêng tôi trong thời gian học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Thăng Long. Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa và phát huy những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 05 năm 2016 Tác giả Vũ Văn Thưởng 4 TÓM TẮT LUẬN VĂN Luận văn gồm ba phần: PHẦN 1. Mở đầu PHẦN 2. Nội dung Phần này gồm hai chương. Chương 1. KHÁI NIỆM TRỘI VÀ ỨNG DỤNG TRONG CHỨNG MINH MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC 1.1 KHÁI NIỆM TRỘI 1.2 HÀM LỒI SHUR 1.3 ỨNG DỤNG CỦA KHÁI NIỆM TRỘI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Chương 2. ỨNG DỤNG CỦA BỔ ĐỀ TRỘI TRONG CHỨNG MINH CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC 2.1 THÍ DỤ MINH HỌA 2.2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN CÁC GÓC TRONG CỦA TAM GIÁC 2.3 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN CÁC CẠNH CỦA TAM GIÁC 2.4 MỘT SỐ HỆ THỨC KHÁC TRONG TAM GIÁC PHẦN 3. Kết luận và khuyến nghị. 5 Thang Long University Library MỞ ĐẦU Khái niệm trội được đưa ra nhằm mục đích so sánh hai phần tử (hai vectơ) trong không gian n . Khái niệm này là cơ sở của lý thuyết trội, được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, xem, thí dụ [8]. Khái niệm trội được áp dụng khá thành công trong chứng minh các bất đẳng thức, đặc biệt là bất đẳng thức trong tam giác, xem, thí dụ, [7], [8]. Có thể nói, bất đẳng thức Karamata (xem, thí dụ, [3]) cũng chính là bất đẳng thức trội. Khái niệm trội cũng khá gần với một số ý tưởng về sắp thứ tự tam giác, xem, thí dụ, [2]. Tuy vậy, hình như chưa có một cuốn sách tiếng Việt hoặc một luận văn cao học nào trình bày ứng dụng khái niệm trội, đặc biệt là trong chứng minh bất đẳng thức trong tam giác. Luận văn Sử dụng Bổ đề trội chứng minh các bất đẳng thức trong tam giác có mục đích minh họa khả năng sử dụng khái niệm trội và bất đẳng thức trội (Bổ đề trội) trong chứng minh, cải tiến và làm mới các bất đẳng thức trong tam giác. Đây là một vấn đề còn mới mẻ nhưng có ý nghĩa khoa học và ứng dụng thực tiễn cao trong giảng dạy toán sơ cấp, vì vậy tôi chọn đề tài này làm đề tài luận văn cao học của mình. Luận văn gồm Mở đầu, hai Chương, Kết luận và Tài liệu tham khảo. Chương 1: Trình bày các khái niệm cơ bản như khái niệm trội, hàm lồi Shur, đặc biệt là bất đẳng thức trội (Bổ đề trội, Shur, 1923) và hệ quả của nó, đồng thời trình bày ứng dụng của bất đẳng thức trội trong việc chứng minh một số bất đẳng thức. Chương 2: Trình bày ứng dụng của bổ đề trội và hệ quả của nó trong việc chứng minh các bất đẳng thức trong tam giác. Qua đây ta thấy được thế mạnh của bất đẳng thức trội và hệ quả của nó ứng dụng vào việc chứng minh 6 nhiều bài toán liên quan đến các bất đẳng thức trong tam giác như: Bất đẳng thức liên quan đến các góc trong của tam giác, bất đẳng thức liên quan đến các cạnh của tam giác và một số hệ thức khác trong tam giác. Ngoài ra, trong Chương 2 còn trình bày ứng dụng hiệu quả của bất đẳng thức trội so với một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức thông thường khác cho một số bất đẳng thức trong tam giác. Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Thăng Long dưới sự hướng dẫn khoa học và chỉ bảo tận tình của PGS TS Tạ Duy Phượng, Viện Toán học. Là người học trò đã tiếp thu được nhiều điều bổ ích, quý báu từ Thầy, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động viên kịp thời và sự nghiêm khắc chỉ bảo, hướng dẫn của Thầy. Tôi xin cảm ơn tới các thầy cô giáo trong Trường Đại học Thăng Long, phòng Sau đại học và Quản lý khoa học - Trường Đại học Thăng Long. Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp CTM3-BG (Cao học toán Bắc Giang) khóa 2014 – 2016 của Trường Đại học Thăng Long đã động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này. Tôi xin cảm ơn tới Ban Giám hiệu, tổ chuyên môn Toán – tin, các đồng nghiệp Trường THPT Yên Dũng số 3, Bắc Giang đã tạo điều kiện giúp đỡ, góp ý cho tác giả trong thời gian học tập và thực hiện luận văn này. Mặc dù tác giả đã hết sức cố gắng nhưng do vấn đề nghiên cứu tương đối phức tạp và khó, kinh nghiệm nghiên cứu và viết luận văn còn hạn chế nên không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Hà Nội, tháng 05 năm 2016 Tác giả Vũ Văn Thưởng 7 Thang Long University Library Chương 1 KHÁI NIỆM TRỘI VÀ ỨNG DỤNG TRONG CHỨNG MINH MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC 1.1 KHÁI NIỆM TRỘI 1.1.1 Định nghĩa 1.1.1 Cho a   a1,..., an  và b   b1,..., bn  là hai vectơ trong không gian hữu hạn chiều n . Các tọa độ ai và bi , i  1,2,..., n được sắp thứ tự như sau: a1  a2  ...  an , b1  b2  ...  bn . Nếu: a1  b1 ; a  a  b  b ;  1 2 1 2 .... a  a  ...  a  b  b  ...  b ; n 1 1 2 n 1  1 2 a1  a2  ...  an1  an  b1  b2  ...  bn1  bn thì ta nói a trội hơn b ( a majorizes b ) và viết a b. Ta cũng nói b bị trội bởi a ( b majorized by a ) và viết b a. 1.2 HÀM LỒI SHUR 1.2.1 Định nghĩa 1.2.1 Tập X  n được gọi là tập lồi nếu với mọi   0;1 và x1  X , x2  X ta có x   x1  1    x2  X . Nghĩa là, tập lồi X chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm của nó. 1.2.2 Định nghĩa 1.2.2 Hàm f : X  n  được gọi là hàm lồi nếu X là tập lồi và với mọi   0;1 và x1  X , x2  X ta có f  x   f   x1  1    x2    f  x1   1    f  x2  . (1.2.1) Nếu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1  x2 thì f được gọi là lồi chặt trên X . Hàm f được gọi là hàm lõm nếu - f là hàm lồi, hay ta có bất đẳng thức ngược lại. 8 Nếu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1  x2 thì hàm f được gọi là lõm chặt trên X . 1.2.3 Một số tính chất cơ bản của hàm lồi, hàm lõm Tính chất 1.2.3.1 Nếu f :  a; b  a;b và  là hàm lồi khả vi liên tục trên x, y Î [a, b] thì f (y)- f (x)³ (y - x). f ¢(x). Chứng minh Thật vậy, theo tính chất của hàm lồi, với mọi α Î [0,1] và x, y Î [a, b] ta có f (αy + (1- α)x)£ αf (y)+ (1- α) f (x), hay f (x + α(y - x))- f ( x) £ α ( f (y)- f (x)). Với x, y Î [a, b], x  y và α Î (0,1) ta có f (x + α ( y - x))- f (x) α ( y - x) £ f ( y )- f (x ) . y- x Cho α ¯ 0 ta được f ¢(x)= lim α® 0 f (x + α ( y - x ))- f (x ) α ( y - x) £ f ( y )- f (x ) y- x hay f (y)- f (x)³ (y - x). f ¢(x). Trường hợp x, y Î [a, b], x  y chứng minh hoàn toàn tương tự. Tính chất 1.2.3.2 Cho hàm số y  f  x  xác định trên tập X và có đạo hàm cấp hai tại mọi x Î X . Nếu f   x  ³ 0 với mọi x Î X thì f  x  là hàm lồi trên X . Nếu f   x   0 với mọi x Î X thì f  x  là hàm lõm trên X . 9 Thang Long University Library 1.2.4 Định nghĩa 1.2.3 Hàm F : X  (Shur-convex function) nếu x n  được gọi là hàm lồi Shur y trên X suy ra F  x   F  y . Một bất đẳng thức cho hàm lồi được sử dụng hiệu quả trong chứng minh các bất đẳng thức là Bất đẳng thức trội dưới đây. 1.2.4.1 Bất đẳng thức trội (Bổ đề trội, Shur, 1923) Kí hiệu I n :  x   x1 ,..., xn  : xi  I  , trong đó I :  a; b  . Nếu f :  a; b   là hàm lồi trên a;b thì F :  a; b  , với n F  x  :  f  xi  là hàm lồi Shur, tức là với mọi x, y  I n , x n y ta có i 1 n n i 1 i 1  f  xi    f  yi , hay f  x1   f  x2   ...  f  xn  £ f  y1   f  y2   ...  f  yn . Nếu f :  a; b  mọi x, y  I n , x (1.2.2) là hàm lõm thì ta có bất đẳng thức ngược lại, tức là với y ta có: f  x1   f  x2   ...  f  xn   f  y1   f  y2   ...  f  yn . (1.2.3) Chứng minh Trước tiên ta chứng minh Bổ đề trội cho trường hợp n  2. Không hạn chế tổng quát, coi x   x1, x2  với x1  x2 và y   y1, y2  với y1  y2 . Vì x y nên ta có x1  y1, x1  x2  y1  y2  x2   y1  x1   y2  y2 . Như vậy, y2  x2  x1  y1. Vì x1  y2 ; y1  nên tồn tại  0;1 sao cho x1   y1  1    y2 . Khi đó: x2  y1  y2  x1  y1  y2   y1  1    y2   1    y1   y2 . Do f là hàm lồi, theo (1.2.1) ta có: 10 f  x1   f  x2   f  y1  1    y2   f  1    y1   y2    f  y1   1    f  y2     1    f  y1    f  y2    f  y1   f  y2  . Vậy bất đẳng thức (1.2.2) đúng trong trường hợp này. Trong trường hợp n bất kì, để đơn giản hóa chứng minh, ta giả thiết thêm f là hàm lồi hai lần khả vi trên  a; b. Áp dụng tính chất 1.2.3.1 của hàm lồi cho các cặp số xi , yi Î [a, b] ta được f ( yi )- f (xi )  ( yi - xi ) f ¢(xi ), " i = 1, n. Do f là hàm lồi trên [a, b] nên f   x   0 với mọi x Î [a, b], hay f   x  là xi  xi+ 1 hàm đồng biến trên [a, b]. Vì với mọi i = 1, n - 1 nên f ¢(xi )  f ¢(xi+ 1 ), với mọi i = 1, n - 1. i Chú ý đến giả thiết, i å xk £ k= 1 n å i= 1 n f ( yi )- å i= 1 å n yk , i = 1, n - 1 và k= 1 å n xk = k= 1 å yk , ta đi đến k= 1 n f (xi )= å ( f (yi )- f (xi ))³ i= 1 ³ ( y1 - x1 ) f ¢(x1 )+ ( y2 - x2 ) f ¢(x2 )+ ... + ( yn - xn ) f ¢(xn ) = ( y1 - x1 )( f ¢(x1 )- f ¢(x2 ))+ ( y1 + y2 - x1 - x2 ) f ¢(x2 )+ ... + ( yn - xn ) f ¢(xn ) = ( y1 - x1 )( f ¢(x1 )- f ¢(x2 ))+ ( y1 + y2 - x1 - x2 )( f ¢(x2 )- f ¢(x3 ))+ ... + ( y1 + y2 + ... + yn- 1 - x1 - x2 - ... - xn- 1 )( f ¢(xn- 1 )- f ¢(xn ))+ + ( y1 + y2 + ... + yn - x1 - x2 - ... - xn ) f ¢(xn )³ 0. Vậy ta có f  x1   f  x2   ...  f  xn   f  y1   f  y2   ...  f  yn  . Bất đẳng thức (1.2.2) được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi xi  yi , i  1, n. Chứng minh tương tự cho bất đẳng thức (1.2.3). 11 Thang Long University Library Nhận xét Nhiều sách (thí dụ, [1], [3]) gọi bất đẳng thức (1.2.2) và (1.2.3) là bất đẳng thức Karamata (Karamata inequality). Bổ đề trội được Shur chứng minh năm 1923 và Karamata chứng minh năm 1932. Hơn nữa, Bổ đề trội có rất nhiều ứng dụng khác, không chỉ trong chứng minh bất đẳng thức (xem [8]). Do đó, chúng tôi gọi (theo [8]), các đẳng thức (1.2.2) và (1.2.3) là bất đẳng thức trội hay bất đẳng thức Shur. 1.2.4.2 Một số hệ quả của bất đẳng thức trội Hệ quả 1 (Bất đẳng thức Jensen) Với mọi hàm lồi f ( x) trên I ( a, b) và với mọi xi  I (a, b) (i  1, 2,..., n), ta luôn có bất đẳng thức: f ( x1 )  f ( x2 )  ...  f ( xn )  n  x  x  ...  xn  f 1 2 . n   (1.2.4) Chứng minh Do tính chất đối xứng, không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử x1  x2  ...  xn . Khi đó, ta có  x  x;  1  x1  x2  2 x;  .............  x  x  ...  x  ( n  1) x; 2 n 1  1  x1  x2  ...  xn  nx, trong đó x  x1  x2  ...  xn . n Khi đó, ta có: (x1, x2 ,..., xn ) (x, x,..., x). Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.2) cho hàm lồi f ( x) , ta được: 12          f x1  f x2  ...  f xn  f x  f x  ...  f x         x  x  ...  x  f  x   f  x   ...  f  x   nf   n   f  x   f  x   ...  f  x   x  x  ...  x   f . n  f x1  f x2  ...  f xn  n. f x   1 2 n 1 2 n n   1 2 n 1 2 n n   Vậy bất đẳng thức (1.2.4) được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = ... = xn . Hệ quả 2 (Bất đẳng thức T. Popoviciu) Với mọi hàm lồi trên I  a; b  và với mọi x, y, z  I  a; b  , ta đều có bất đẳng thức:  x yx  x y  yz  zx f  x  f  y  f  z   3 f  2f  2f  2f  . 3    2   2   2  (1.2.5) Chứng minh Ta coi x  y  z. Khi đó sẽ xảy ra một trong hai khả năng: x x yz x yz  y  z hoặc x  y   z. 3 3 Ta chỉ cần xét trường hợp x  y  x yz  z là đủ. 3 Khi đó dễ dàng kiểm tra x y x yz x yz x yz    z, 3 3 3 x y x y xz xz yz yz      2 2 2 2 2 2 và x y z  x y y  z z  x x  y  z  3     2 . 3 2 2 2     Khi đó, ta có 13 Thang Long University Library æ x + y + z x + y + z x + y + z ö÷ æx + y x + y x + z x + z y + z y + ççx,y, ç , , ,z÷ , , , , , çè ø÷ èçç 2 3 3 3 2 2 2 2 2 z ö÷ ÷. ø÷ Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.2) cho hàm lồi, ta được æx + y + z ö÷ f (x)+ f ( y )+ f çç ÷+ èç ø÷ 3 æx + y ö÷ æx + y ö÷ æx + çç çç f çç + f + f ÷ ÷ çè 2 ø÷ çè 2 ø÷ çè 2 æx + y + z ö÷ æx + y + z ö÷ ç f çç + f ÷ ÷+ f (z )³ èç ø÷ èçç ø÷ 3 3 æx + z ö÷ æy + z ö÷ æy + z ö÷ z ö÷ çç çç çç + f + f + f ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ø è 2 ø è 2 ø èç 2 ø÷ æ æx + y ö æx + y + z ö÷ æ ö çç f çç ÷ çç x + z ÷ Û f (x)+ f ( y )+ f (z )+ 3. f çç ³ 2 . + f ÷ ÷ ÷+ çè çè 2 ø÷ ø÷ ø 3 èç èç 2 ÷ æy + f çç èç 2 ö ö÷ z÷ . ÷ ÷ ø÷÷ ø Vậy bất đẳng thức (1.2.5) được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z. 1.3 ỨNG DỤNG KHÁI NIỆM TRỘI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Khái niệm trội, thậm chí chỉ riêng bất đẳng thức trội, đặc biệt có lợi trong đánh giá (và tìm cực trị) các đại lượng. Các thí dụ dưới đây minh họa điều này. Các thí dụ minh họa Thí dụ 1.3.1 Cho a, b, c  0 . Khi ấy 1 1 1 1 1   1    2.   . a b c ab bc ac (1.3.1) Chứng minh Không mất tính tổng quát, giả sử a  b  c , suy ra a  b  a  c  b  c . Khi đó, ta có: 2a  a  b;  2a  2b  2a  b  c   a  b    a  c  ;  2a  2b  2c   a  b    a  c    b  c . Do đó ta có:  2a,2b,2c   a  b, a  c, b  c . 14 Xét hàm số y  f  x   Ta có: f   x    1 với x   0;   . x 1 2  f   x   3  0 với x   0;   nên f  x  là hàm lồi 2 x x trên khoảng  0;  . 1 Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.2) cho hàm y  f  x   , ta được: x f  2a   f  2b   f  2c   f  a  b   f  a  c   f b  c  1 1 1 1 1 1      2a 2b 2c a  b a  c b  c 1 1 1 1 1   1     2   . a b c a b a c bc  Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a  b  c. Vậy bất đẳng thức (1.3.1) được chứng minh. Thí dụ 1.3.2 ([7], IMO 2000, Problem 2) Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a.b.c  1. Khi ấy  1 1 1  a  1   b  1    c  1    1. b  c  a  (1.3.2) x y z Chứng minh Đặt a  , b  , c  với x, y, z > 0. Khi đó ta có: y z x a 1 1 x z xz y  1  ; b y y y 1 y x yxz b 1  1  ; c z z z c 1 1 z y z yx  1  . a x x x Bất đẳng thức (1.3.2) trở thành 15 Thang Long University Library  x  y  z  y  z  x  z  x  y   xyz. (1.3.2.1) Không hạn chế tổng quát, coi x  y  z. Khi ấy x  y  z  0; z  x  y  0. Nếu y  z  x  0 thì (1.3.2.1) hiển nhiên đúng. Nếu y  z  x  0. Khi đó: Đặt a1  x, a2  y, a3  z và b1  x  y  z, b2  z  x  y, b3  y  z  x ta có: a1  a2  a3 ; b1  b2  b3 và a1  x  x  y  z  b1;  a1  a2  x  y  2 x   x  y  z    z  x  y   b1  b2 ;  a1  a2  a3  x  y  z   x  y  z    z  x  y    y  z  x   b1  b2  b3 . Do đó ta có:  a1 , a2 , a3   b , b , b . 1 2 3 Xét hàm số y  f  x   ln x với x  0;  . Ta có: f   x   1 1  f   x    2  0 với x   0;   nên f  x  là hàm lõm x x trên khoảng  0;  . Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.3) cho hàm y  f  x   ln x , ta được: ln a1  ln a2  ln a3  ln b1  ln b2  ln b3  ln x  ln y  ln z  ln  x  y  z   ln  z  x  y   ln  y  z  x   xyz   x  y  z  z  x  y  y  z  x . Bất đẳng thức (1.3.2.1) được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  y  z hay a  b  c  1. Vậy bất đẳng thức (1.3.2) được chứng minh. Thí dụ 1.3.3 Cho 2n số thực dương ai , bi  i  1,2,...., n  thỏa mãn các điều kiện a1  a2  ...  an ; b1  b2  ...  bn ; a1  b1; a1.a2  b1.b2 ;...; a1.a2 ...an  b1.b2 ...bn . Khi ấy 16 a1  a2  ...  an  b1  b2  ...  bn . (1.3.3) Chứng minh Đặt xi  lnai ; yi  lnbi  i=1,2, ...,n  . Với các điều kiện đã cho, ta có: x1  x2    xn ; y1  y2    yn và  x1  y1 ; x  x  y  y ; 1 2  1 2 ...  x  x  ...  x  y  y  ....  y ; n 1 1 2 n 1  1 2  x1  x2  ...  xn  y1  y2  ....  yn . Do đó ta có:  x1 ,x2 ,....,xn   y , y ,...., y  . 1 2 n Xét hàm số y=f  x =e x với x   0;   . Ta có: f   x   e x  f   x   e x  0 với mọi x   0;   nên f  x  lồi trên khoảng  0;   . Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.2) cho hàm y=f  x   e x , ta được: ex  ex  ...  ex  e y  e y  ...  e y 1 n 2 1 n 2  eln a  eln a  ...  eln a  eln b  eln b  ...  eln b 1 2 n 1 2 n  a1  a2  ...  an  b1  b2  ...  bn . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ai  bi , i=1,n . Vậy bất đẳng thức (1.3.3) được chứng minh. Thí dụ 1.3.4 Cho a ,b là các số thực dương. Khi ấy 3 a  3 a  3 b  3 b  3 a  3 b  3 b  3 a. (1.3.4) Chứng minh Giả sử b  a  0 . Đặt: x1  b  3 b ; x2  b  3 a ; x3  a  3 b ; x4  a  3 a . Khi đó x1 là số lớn nhất, x4 là số nhỏ nhất. Ta có: 17 Thang Long University Library  x  x2 ; x1  x4 ; x2  x3 và  1  x1  x4  x2  x3 . Do đó ta có:  x1 ,x4   x ,x  . 2 3 Xét hàm số y  f  x   3 x trên  0;   . Ta có: f   x   1 2 1   x    .  f  0, x   0;   nên f  x  là hàm 9 3 x5 3 3 x2 lõm trên  0;   . Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.3) cho hàm y  f  x   3 x , ta được: 3 a 3 a  3 b 3 b  3 a 3 b  3 b 3 a. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b. Vậy bất đẳng thức (1.3.4) được chứng minh. Thí dụ 1.3.5 ([7]) Cho n  4, 0  ai   2 n , i  1,2,..., n. Giả sử S :  ai  2 . i 1 Khi ấy n S 4   sin ai  n sin . n i 1 (1.3.5)  π Chứng minh Xét hàm số y  f  x   sin x với x  0;  .  2  π Ta có: f   x   cos x  f   x    sin x<0 với mọi x  0;  nên f  x  là  2  π hàm lõm trên 0;  .  2 Không mất tính tổng quát, giả sử π  a1  a2  ....  an  0. 2 a, Từ giả thiết bài toán, ta có: 18 π  a  ; 1  2  a1  a2  π  π  π  2π;  2 2  π π π 3π  2π; a1  a2  a3     2 2 2 2  ....  π π π π a1  a2  ....  an 1      0  ....  0  2π; 2 2 2 2  a1  a2  ....  an 1  an  2π. Do đó, ta có  a ,a ,...,a  1 2 n π π π π   , , , ,0,0,...,0  . 2 2 2 2  Áp dụng bất đẳng thức trội (1.2.3) cho hàm y  f  x   sin x, ta được: π π π π sin a1  sin a2  ...  sin an  sin    sin    sin    sin    sin  0   ...  sin  0  2 2 2  2  sin a1  sin a2  ...  sin an  4 n   sin ai  4 . (1) i 1 b, Từ giả thiết bài toán, ta có: S a1  a2  ...  an a1  a1  ...  a1 n.a1     a1 n n n n Khi ấy a1  a2  (*)  a1  a2   a1  a2  S S  (*). Thật vậy: n n a1  a2  ...  an a1  a2  ...  an  n n a1  a2 a1  a2    n  2 . a1  a2   0 (luôn đúng với n  4 ). n n Vậy a1  a2  S S  . n n 19 Thang Long University Library