BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
PHẠM QUANG MINH
TỔNG TRẠNG THÁI
CỦA MỘT SỐ HỆ VẬT LÍ LƢỢNG TỬ
Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và vật lí toán
Mã số: 60 44 01 03
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Lƣu Thị Kim Thanh
HÀ NỘI, 2014
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, em xin trân trọng cảm ơn tới Ban Giám hiệu, Phòng Sau
Đại học, Khoa Vật lí Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã tạo mọi điều
kiện thuận lợi để em hoàn thành khóa học của mình. Qua đây em xin bày tỏ
lòng biết ơn tới toàn thể các thầy cô giáo trong nhà trường đã giảng dạy,
hướng dẫn tận tình cho em trong quá trình học tập tại trường.
Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo, PGS. TS. Lưu
Thị Kim Thanh, người đã trực tiếp hướng dẫn tận tình, động viên em trong
suốt quá trình thực hiện luận văn.
Cuối cùng, em xin cản ơn gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp đã luôn
ở bên em, giúp đỡ và chia sẻ những khó khăn với em trong suốt thời gian học
tập và hoàn thành bản luận văn này.
Mặc dù em đã có nhiều cố gắng bằng tất cả sự nhiệt tình và năng lực
của mình, tuy nhiên không thể tránh khỏi những thiếu xót và hạn chế, rất
mong nhận được những góp ý quý báu của quý thầy cô và các bạn đồng
nghiệp.
Hà Nội, ngày 10 tháng 7 năm 2014
Học viên
Phạm Quang Minh
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của PGS.TS. Lưu Thị Kim Thanh. Luận văn không hề trùng lặp
với những đề tài khác.
Hà Nội, ngày 10 tháng 7 năm 2014
Học viên
Phạm Quang Minh
1
MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU……………………………………………………………
3
NỘI DUNG………………………………………………………….
6
Chương 1. TÍCH PHÂN TRẠNG THÁI CỦA MỘT SỐ HỆ
TRONG THỐNG KÊ CỔ ĐIỂN……………………………….…...
6
1.1. Dao động tử điều hoà trong cơ học cổ điển…………………
6
1.2. Dao động tử điều hoà trong cơ học lượng tử………………..
12
1.3. Dao động tử điều hoà trong lý thuyết trường lượng tử……
15
Chương 2. TỔNG TRẠNG THÁI CỦA MỘT SỐ HỆ TRONG
THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ…………………………………………..
21
2.1. Phổ năng lượng và tổng trạng thái của dao động tử lượng tử
21
2.2. Phổ năng lượng và tổng trạng thái của rôtato lượng tử……..
22
2.3. Các đại lượng nhiệt động gắn với chuyển động dao động….
23
2.4. Các đại lượng nhiệt động gắn với chuyển động quay ………
30
Chương 3. TỔNG TRẠNG THÁI CỦA DAO ĐỘNG PHI ĐIỀU
HÒA……………………………………..………………………….
33
3.1. Cơ sở toán học của đại số lượng tử ………………..……….
33
3.2. Phổ năng lượng của dao động phi điều hòa ……………..…
34
3.3. Chứng minh dao động tử biến dạng q mô tả dao động phi
điều hòa………………………………………………. …………...
36
3.4. Tổng trạng thái, nội năng và nhiệt dung của hệ dao động tử
38
phi điều hòa ………………………………………..………………
3.5. Ứng dụng về dao động phi điều hòa ……………………….
39
3.5.1. Hàm gibb của hệ chuyển động tịnh tiến …..………….
40
3.5.2. Nhiệt độ tới hạn của hệ ……………………..……….
44
2
3.5.3. Nhiệt độ và đường cong Boyle ……………………….
46
KẾT LUẬN CHUNG……………………………………………….
50
TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………..
51
3
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Vật lí thống kê là ngành vật lí nghiên cứu hệ nhiều hạt. Tùy thuộc vào
loại mô hình vật chất mà người ta thường tách vật lí thống kê làm hai phần:
Vật lí thống kê cổ điển và vật lí thống kê lượng tử. Vật lí thống kê lượng tử
tổng quát và chặt chẽ hơn vật lí thống kê cổ điển vì các kết quả của vật lí
thống kê lượng tử đã bao gồm các kết quả của vật lí thống kê cổ điển như là
trường hợp riêng. Nhiệm vụ của vật lí thống kê lượng tử là nghiên cứu các
tính chất của hệ nhiều hạt vi mô tuân theo các quy luật của cơ học lượng tử.
Vật chất tồn tại dưới hai dạng là chất và trường; các chất bao gồm một số rất
lớn các nguyên tử, phân tử. Lượng tử của các trường là các hạt cơ bản, chẳng
hạn lượng tử của trường điện từ là các photon,…Từ đó có thể thấy đối tượng
nghiên cứu của vật lí thống kê là rất rộng.
Nhiệt động lực học cũng nghiên cứu các quy luật chuyển động nhiệt
trong hệ nhiều hạt, nhiệt động lực học khảo sát các hiện tượng theo quan điểm
về sự biến đổi năng lượng trong các hiện tượng đó. Cơ sở của nhiệt động học
là những định luật tự nhiên tổng quát mà người ta gọi là các nguyên lí của
nhiệt động lực học. Các nguyên lí này là sự tổng quát hóa kinh nghiệm lâu đời
của nhân loại và đã được thực nghiệm xác nhận.
Vật lí thống kê nghiên cứu mối liên hệ giữa các đặc tính vĩ mô của hệ
với các tính chất và các định luật chuyển động của các hạt vi mô tạo nên hệ.
Vật lí thống kê xuất phát từ các tính chất và cấu trúc vi mô của các hạt tạo nên
hệ để rút ra những tính chất của hệ nhiều hạt bằng phương pháp xác suất
thống kê. Tại sao lại phải dùng phương pháp xác suất thống kê mà không thể
dùng phương pháp giải các phương trình Lagrange hoặc các phương trình
chính tắc Hamilton trong bài toán cổ điển, phương trình Schrodinger đối với
4
hệ nhiều hạt lượng tử. Câu trả lời là bởi vì trong các hệ nhiều hạt tồn tại một
quy luật khách quan là hệ quả của tính chất số đông đó là quy luật tính thống
kê, cụ thể là tính cách của hệ nhiều hạt ở thời điểm đang xét thực tế là hoàn
toàn không phụ thuộc vào trạng thái ban đầu tức là vào các điều kiện ban đầu.
Mặc dù tính cách của một hạt riêng lẻ tuân theo định luật động lực học của cơ
học. Rõ ràng là tính cách thống kê mất hết mọi nội dung khi ta xét một hạt
riêng lẻ hay một số ít hạt và chỉ trong các hệ nhiều hạt mới có biểu hiện của
quy luật tính thống kê [1,2,3].
Trong vật lí thống kê lượng tử tổng trạng thái ( hay tích phân trạng thái
trong thống kê cổ điển) đóng một vai trò đặc biệt quan trọng, bởi vì nhờ nó ta
có thể tìm được một loạt các đại lượng đặc trưng cho một hệ vật lí bất kì.
Tổng trạng thái phản ánh trạng thái nội tại của hệ, bởi vì phép lấy tổng (phép
tích phân trạng thái) được thực hiện theo tất cả các trạng thái vi mô của hệ.
Nói một cách khác tổng trạng thái là hàm trạng thái phụ thuộc vào các thông
số ngoại và nhiệt độ của hệ. Việc tính được tổng trạng thái của hệ cho phép ta
đoán nhận được các thông số nhiệt động của hệ nhiều hạt như nhiệt độ,
entrôpi, năng lượng tự do….[4,5,6,7].
Sau quá trình học tập tại lớp cao học chuyên ngành Vật lí Lí thuyết và
Vật lí Toán, K16 Trường ĐHSP Hà nội 2, tôi đã thấy được vai trò quan trọng
của tổng trạng thái trong vật lí. Với mong muốn có thể tiếp cận với vật lí học
hiện đại, em đã chọn đề tài “Tổng trạng thái của một số hệ vật lí lƣợng tử”
để làm luận văn thạc sĩ dưới sự hướng dẫn khoa học của cô giáo, PGS. TS.
Lưu Thị Kim Thanh.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu tổng trạng thái của một
số hệ vật lí lượng tử.
5
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Trình bày tích phân trạng thái của một số hệ vật lí trong thống kê cổ
điển.
- Nghiên cứu tổng trạng thái của một số hệ vật lí trong thống kê lượng tử.
- Tính tổng trạng thái của hệ dao động tử phi điều hòa.
4. Đối tƣợng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là hệ nhiều hạt.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Đề tài sử dụng các phương pháp vật lí lý thuyết: Phương pháp vật lí
thống kê, phương pháp lý thuyết trường lượng tử, phương pháp nhóm lượng
tử và các phương pháp giải tích khác.
6. Dự kiến đóng góp mới
- Cơ sở toán học của đại số lượng tử
- Phổ năng lượng của hệ dao động phi điều hòa
- Tổng trạng thái của hệ dao động phi điều hòa
6
CHƢƠNG 1
TÍCH PHÂN TRẠNG THÁI CỦA MỘT SỐ HỆ TRONG
THỐNG KÊ CỔ ĐIỂN
1.1.Phân bố chính tắc Gibb và tích phân trạng thái
Ta xét hệ đẳng nhiệt là một hệ nằm cân bằng với hệ điều nhiệt. Theo
quan điểm vi mô, hệ điều nhiệt cũng là một hệ cơ học nhưng có số bậc tự do
rất lớn, lớn hơn số bậc tự do của hệ mà ta muốn khảo sát rất nhiều. Giả sử hệ
mà ta muốn khảo sát C1 và hệ điều nhiệt C2 có các số hạt tương ứng là N1, N2
và được diễn tả bằng các biến số chính tắc X1 và X2 đồng thời N2 >>N1
Ta coi hệ chung bao gồm hai hệ đó là một hệ cô lập đoạn nhiệt và vì
vậy đối với hệ chung đó ta có phân bố vi chính tắc
( X1 , X 2 )
1
E H ( X1 , X 2 )
( E )
(1.1)
Trong đó hàm haminton của hệ chung bao gồm các hàm haminton của
cả hai hệ con cộng với năng lượng tương tác U12
H(X1,X2)=H(X1)+H(X2)+U12(X1,X2)
(1.2)
Hiển nhiên là hàm phân bố của hệ mà ta xét C1 sẽ bằng, theo công thức
( X1 )
( X1 , X 2 )dX 2
(1.3)
( X2 )
- Ta sẽ coi năng lượng của các hệ C1 và C2 luôn luôn lớn hơn năng lượng
tương tác U12 rất nhiều. Giả thiết đó hợp lí đối với các hệ nhiệt động nếu như
các số hạt N1 và N2 là đủ lớn. Năng lượng của các hệ C1 và C2 tỉ lệ với thể
tích,còn năng lượng tương tác thì chỉ tỉ lệ với mặt tiếp xúc của hai hệ đó nếu
năng lượng là đại lượng cộng tính. Do đó đối với các hệ có năng lượng cộng
tính thì khi N lớn ta có thể bỏ qua năng lượng tương tác có nghĩa là trong biểu
thức (1.2) ta đặt
U12(X1,X2)=0
(1.4)
7
- Ta giả thiết khi N1+N2=N→∞ thì có tồn tại một giới hạn
E 3
const
N 2
(1.5)
Điều kiện (1.5) có thể viết dưới dạng
E 3
N 2
(1.6)
coi rằng đại lượng /2 là bằng trung bình số học của năng lượng của hệ ứng
với một bậc tự do của hệ điều nhiệt
- Ta coi rằng
H1(X1)<0
(1.13)
H
Ta có f(H)=exp
H1
Do đó ω(X1)=exp
(1.14)
với và là các hằng số
Ta còn có thể tìm được biểu thức của ω(X1) bằng cách dựa vào phân bố
chính tắc. Thực vậy, chú ý đến điều kiện (1.4), theo (1.3) và (1.2) ta có:
ω(X1)
1
E H1 (X1 ) H 2 (X 2 ) dX 2
(E) (X2 )
(1.15)
Kí hiệu bằng P2 tập hợp các xung lượng của các hạt của hệ điều nhiệt
và bằng Q2, tập hợp các tọa độ của các hạt của hệ đó, ta có thể biểu diễn năng
lượng của hệ điều nhiệt dưới dạng tổng của động năng và thế năng
H2(X2) = K2(P2) + U2(Q2)
Như vậy (1.15) có thể viết dưới dạng
ω(X1)
trong đó
1
k E H1 (X1 ) U 2 (Q2 ) dQ2
(E) (Q2 )
(1.16)
9
y K (P )dP
k (y)
2
2
2
(P2 )
Bởi vì dX2 = dP2dQ2
k (y) là đạo hàm của thể tích của không gian xung lượng giới hạn bởi siêu
diện động năng nghĩa là:
k (y)
d (y)
dy
(1.17)
Trong đó
k (y)
dP2
(1.18)
(K 2 (P2 ) y)
Nhưng động năng của hệ điều nhiệt bằng
2
N2
N2 3
Pn
1
K 2 ( P2 )
(P ) 2n
n 1 2mn
n 1 1 2mn
Do đó bằng cách đưa vào các biến số mới của xung lượng
Pk
1
( P )n
2mn
với k n
ta có thể viết phương trình của siêu diện động năng K2 = y bao quanh thể tích
k (y) dưới dạng
3 N2
P
k 1
2
k
y
Giống như trong trường hợp không gian 3 chiều, phương trình này là
phương trình của “mặt cầu 3N2 chiều” có bán kính R y và thể tích k của
hình cầu đó hiển nhiên là tỉ lệ với R 3N 2 , nghĩa là ta có
k (y) ay
3 N2
2
Trong đó a là một hệ số không đổi
Do đó theo (1.17) ta có
10
k (y) b y
Trong đó
b
3 N2
1
2
(1.19)
3N 2
a
2
Áp dụng (1.19) ta có thể viết (1.16) dưới dạng
X1
b
E H1 ( X1 ) U 2 (Q2 )
( E ) (Q2 )
3 N2
1
2
dQ2
(1.20)
Kí hiệu:
M
3N 2
1
2
B(E, M)
bE M
(E)
(1.21)
Ta có thể viết lại (1.20) như sau
M
U 2 (Q2 )
H (X )
( X 1 ) 1 1 1 B(E, M) 1
dQ2
E
E H1 (X1 )
(Q2 )
M
(1.22)
Dựa vào (1.5),theo (1.21) khi N lớn ta có thể đặt
E = M
Và do đó (1.22) trở thành
M
U 2 (Q2 )
H (X )
( X 1 ) 1 1 1 B( , M) 1
dQ2
M
M
H
(X
)
1
1
(Q2 )
M
(1.23)
Dựa vào điều kiện (1.7), tích phân theo Q2 ở vế phải của (1.23) khi M
thực tế không phụ thuộc vào H1(X1). Do đó toàn bộ (1.23) có thể viết như sau
( X 1 ) 1
M
H1 ( X 1 )
D( , M)
M
(1.24)
Trong đó D( , M) là tích của tích phân nói trên với hệ số B( , M) .
Giả thiết rằng M→∞ đại lượng D( , M) tiến đến một giá trị tới hạn D
nào đó chỉ phụ thuộc vào . Khi đó dựa vào hệ thức giới hạn quen thuộc
M
y
lim 1 e y
M
M
11
Biểu thức (1.24) khi M→∞ trở thành
H1 ( X 1 )
( X1 ) D exp
(1.25)
Như vậy trong biểu thức trên của ω(X1) chỉ có chứa một thông số duy
nhất θ đặc trưng cho hệ điều nhiệt. Bởi sau này ta không cần thiết phải xét hệ
điều nhiệt C2 và ta chỉ nghiên cứu hệ C1 mà ta khảo sát nên ta có thể không
cần viết chỉ số 1 ở các kí hiệu trên. Khi đó biểu thức (1.23) có dạng:
( , a) H ( X , a)
( X ) exp
(1.26)
Trong đó ta đã kể đến sự kiện là: hàm Haminton và do đó thừa số chuẩn hóa
D exp phụ thuộc cả vào các thông số ngoại a.
Biểu thức (1.26) được gọi là phân bố chính tắc Gibb và khi đó tập hợp pha
được gọi là tập hợp chính tắc
θ được gọi là modun của phân bố chính tắc còn đại lượng ψ được xác định
từ điều kiện chuẩn hóa hàm phân bố
( , a) H ( X , a)
( X )dX exp
dX 1
(X )
(X )
Từ đó ln exp
(X )
H ( X , a)
dX ln Z ( , a)
(1.27)
(1.28)
Đại lượng
H ( X , a)
Z ( , a) exp
dX
(X )
(1.29)
được gọi là tích phân trạng thái và nó đóng vai trò đặc biệt quan trọng trong
vật lí thống kê bởi vì sau này nhờ nó mà ta có thể tìm được một loạt các đại
lượng đặc trưng cho một hệ vật lí bất kì. Tích phân trạng thái phản ánh trạng
thái nội tại của hệ bởi vì phép tích phân được thực hiện theo tất cả trạng thái
vi mô của hệ. Nói một cách khác, Z là hàm trạng thái phụ thuộc vào a và θ.
12
1.2.Tích phân trạng thái và các hàm nhiệt động của khí lý tƣởng.
Áp dụng phân bố chính tắc
( , a) H ( X , a)
( X ) exp
chúng ta hãy tính một số hàm nhiệt động của khí lý tưởng.
1)
Để tính tích phân trạng thái Z ta cần biết hàm Haminton H. Đối
với khí lý tưởng, hàm Haminton bằng tổng các năng lượng của các hạt riêng
lẻ, nghĩa là
pk2
H
Uk ( X )
k 1 2m
N
(1.30)
Ở đây U k ( X ) biểu thị thế năng của hạt thứ k, mà chúng ta đưa vào xuất
phát từ lập luận sau đây. Các hạt của khí lý tưởng có thể chuyển động hoàn
toàn tùy ý bên trong bình có thể tich V nhưng chúng không thể ra khỏi giới
hạn của bình. Điều đó tương đương với giả thiết là: ở bên trong bình các hạt
có thế năng bằng không, còn ở ngoài bình chúng có thế năng vô cùng lớn
(Giả thiết không có các trường lực ngoài tác dụng lên các hạt của khí lý
tưởng).
Như vậy, chúng ta có thể đưa thông số ngoại V vào hàm Haminton
H(X,a) thông qua thế năng U(x,y,z) mà ta có thể biểu thị dưới dạng
0
U(x,y,z) =
Đối với X ở bên trong V
Đối với X ở bên ngoài V
(1.31)
Bởi vì tất cả các hạt là độc lập, chúng ta có thể viết tích phân trạng thái
dưới dạng
H
dX
pk2
1
1
1
Z0
e
exp
U
k dX
N ! ( X )
N ! ( X )
2
m
k
1 p2
1
k U k ( xk , yk , zk ) * dpkx dpk y dpkz dxk dyk dzk
N !
2m
13
Z kN
1
N!
(1.32)
Với Z k là tích phân trạng thái đối với một hạt chúng ta hãy xét biểu
thức của Z k một cách chi tiết hơn
1 pk2
Z k exp
U k * dpkx dpk y dpkz dxk dyk dzk
2m
(1.33)
Do tính độc lập của các hình chiếu px, py và pz chúng ta có thể viết lại
(1.33) dưới dạng:
p k2x
Z k exp
2m
2
pk z
* exp
dpk z
2m
pk2y
dpk x * exp
2m
dpk y
U ( x, y , z )
* exp
dxdydz
(1.34)
Ta có thể tính được biểu thức này, nếu ta chú ý tới trị số cuả tích phân
Poatsxong cũng như dạng của thế năng (1.31)
p2
exp 2m dp 2m
(1.35)
Và
U ( x, y, z )
exp
dxdydz V1.dxdydz V
Khi đó
Zk
2 m
V
(1.36)
3
Do đó, tích phân trạng thái của toàn bộ hệ là
(1.37)
14
Z0
2 m
3N
VN
1
N!
(1.38)
2, Theo công thức kT ln Z để tìm năng lượng tự do ta phải tính lnZ0:
3N
ln 2 ln m ln N ln V N !
2
ln Z 0
(1.39)
Nhân đẳng thức đó với - và áp dụng công thức Stirling đối với N lớn
Ln(N!) NlnN
Ta tìm được biểu thức của năng lượng tự do của khí lý tưởng
3
N ln 2 m ln V ln N
2
(1.40)
3, Từ đó ta tìm được phương trình trạng thái của khí lý tưởng
p
N
V
V
(1.41)
Đối với 1 mol khí lý tưởng, phương trình đó gần trùng với phương trình
Clapêyrôn_Menđêlêép p
NkT
. Từ đó ta suy ra rằng môđun của phân
V
bố chính tắc liên hệ với nhiệt độ tuyệt đối bằng hệ thức
kT
Trong đó k
(1.42)
R
1,37.1023 J/độ là hằng số Bônxơman
N0
4, Áp dụng biểu thức của năng lượng tự do (1.40) chúng ta có thể tính entropi
của khí lý tưởng
3
S kN ln V kN ln T S0
2
Ở đây trong hằng số tùy ý S0 có chứa số hạng
3
3
kN
ln(2
km
)
kN kN ln N
2
2
(1.43)
15
5, Bây giờ chúng ta có thể tính nội năng và nhiệt dung C v của khí lý tưởng
đơn nguyên tử:
3
U TS kT N ln V N (ln T ln 2 km) N ln N
2
3
3
3
3
T kN ln V kN ln T kN ln 2 km kN kN ln N kNT
2
2
2
2
(1.44)
3
3
U
CV
kN R
2
2
T V
(1.45)
1.3. Tích phân trạng thái và phƣơng trình trạng thái của khí thực
Đối với các hạt tương tác năng lượng H(X,a) gồm có động năng của
các hạt và thế năng tương tác của chúng H(X,a) = Eđ + Un
Coi rằng năng lượng tương tác của hệ bằng tổng các năng lượng tương
tác cặp đôi riêng lẻ của tất cả các hạt,nghĩa là:
Utt = U12+U13+…+U1N+U2N+… ik
ik
1 N
ik
2 i ,k 1
(1.46)
Khi đó hàm Haminton của hệ gồm N hạt có dạng:
pk2 1 N
H ( X , a)
ik
2 i ,k 1
k 1 2mk
N
Bằng cách lấy tích phân biểu thức Z
e
(1.47)
H /
dX theo xung lượng ta
(X )
được:
Z
e
H ( X , a )/
(X )
2mkT
U
p2
dX exp
tt dX
2mkT kT
(X )
3N
U tt
...
exp
kT dx1dy1...dzN
Kí hiệu tích phân tương tác bằng Zt
(1.48)
16
1
U
Zt N ... exp tt dx1...dz N
V
kT
(1.49)
Ta có thể viết tích phân trạng thái đối với hệ gồm các hạt tương tác dưới
dạng sau đây Z=Z0Zt trong đó Z0 là tích phân trạng thái của khí lý tưởng.
Để tìm được hàm nhiệt động và phương trình trạng thái ta tính tích
phân tương tác:
1
Zt N
V
1
U
exp tt dV1dV2 ...dVN N
V
kT
( X ( q ))
kT ln Z lt kT ln 1
N2
1 2 f (rik ) dVt ...dVN
( X ( q ))
N 2
2V
N ( N 1) N
2
2
2
a
N
U tt
tt 0 N 2
2
V
3
N2
U th kNT
tt
2
2
2
1.50
Trong các khí loãng, trong đó rik>>r0, ik → 0,vì vậy đại lượng
(r )
exp ik sẽ gần bằng đơn vị và do đó để thuận tiện ta đưa vào hàm
kT
(r )
f ( rik ) exp ik 1 khi đó ta viết lại như sau:
kT
U
exp tt =∏(1+fik)=(1+f12)(1+f13)…=1+(f12+f13+f14…) + (f12f23 + f12f14 +…)
kT
+…
Đối với khí loãng khi rik>>r0 tich các hàm thuộc loại f12f13 sẽ là đại
U tt
lượng nhỏ bậc 2 so với fik. Ta có thể giả thiết rằng exp 1 fik
kT
17
Bởi vì các phân tử là như nhau cho nên ta có thể coi rằng tất cả các
f(rik) đều bằng nhau. Khi đó nếu chú ý đến số các cặp khác nhau của N phân
tử thì thay cho tổng số ở vế bên phải ta sẽ có
N ( N 1)
N2
U tt
exp 1
f (rik ) 1
f (rik )
2
2
kT
(1.51)
Thay (1.51) vào (1.49) ta được:
1
Zt N
V
Zt
1
U tt
exp
dV
dV
...
dV
1
2
N
VN
kT
( X ( q ))
1 N N2
V
V N
2
X (q)
N2
1
f
(
r
)
ik
dVt ...dVN
2
( X ( q ))
f (rik )dV1dV2 ...dVN
Bởi vì f (rik ) chỉ phụ thuộc vào các tọa độ của các phân tử thứ i và thứ k
cho nên bằng cách lấy tích phân theo các tọa độ của tất cả các phân tử khác
trong giới hạn của thể tích V mà ta xét ta sẽ có
N 2 N 2
Zt 1 N V f (rik )dVi dVk
2V
(1.52)
Tiếp theo ta chọn nguyên tử thứ I làm gốc tọa độ cầu.Nếu trong hệ tọa
độ đó ta xem rik như là bán kính r và nguyên tố thể tích dVk như là 4 r2dr thì
chúng ta có thể biến đổi tích phân trong đẳng thức trên về dạng:
f (r )4 r dr dV dV
2
i
i
kí hiệu f (r )4 r 2 dr
Bởi vì phân tử thứ I có thể nằm tại một điểm bất kì của thể tích V nên
dV V
i
Cuối cùng
Zt 1
N 2
2V
(1.53)
*Tính năng lượng tự do của khí thực:
N 2
kT ln Z lt kT ln 1
2V
(1.54)
- Xem thêm -