Tài liệu Phương pháp wavelet galerkin trong việc giải phương trình vi phân (tt)

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VÕ TÔN ANH PHƯƠNG PHÁP WAVELET GALERKIN TRONG VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Demo Version - Select.Pdf SDK LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS. LÊ THỊ NHƯ BÍCH Thừa Thiên Huế, năm 2016 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu trong Luận văn là trung thực. Tác giả Võ Tôn Anh Demo Version - Select.Pdf SDK ii Lời cảm ơn Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến TS. Lê Thị Như Bích, người đã hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành Luận văn này, cũng như thời gian cô giảng dạy tại lớp Cao học Toán Giải tích khóa XXIII. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đối với quý thầy, cô đã nhiệt tâm giảng dạy trong suốt thời gian học tại khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Huế. Cuối cùng, xin cảm ơn các anh, chị học viên Cao học khóa XXIII đã giúp đỡ, ủng hộ tôi trong quá trình Demo Select.Pdf SDK học tập Version cũng như -thực hiện Luận văn này! Võ Tôn Anh iii Mục lục Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Danh sách hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Danh mục ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Lời nói đầu Chương 1 5 Một số kiến thức chuẩn bị 8 1.1 Phân tích đa phân giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Cơ sở wavelet trực chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Demo - Select.Pdf Hàm tỷ lệ Version Daubechies . . . . . . SDK . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Hệ số liên kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5 Tích chập rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Chương 2 Phương pháp wavelet Galerkin trong việc giải phương trình vi phân 2.1 2.2 8 20 Giải phương trình vi phân thường [3] . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.1 Phương pháp wavelet Galerkin đối với hàm một biến . . . 20 2.1.2 Nghiệm wavelet Galerkin đối với bài toán tuần hoàn . . . 21 2.1.3 Nghiệm wavelet Galerkin với cách tiếp cận biên mở rộng . 24 2.1.4 Nghiệm wavelet Galerkin với hàm Green . . . . . . . . . . 26 Giải phương trình đạo hàm riêng tuyến tính [4] . . . . . . . . . . 28 2.2.1 Phương pháp wavelet Galerkin đối với hàm hai biến . . . . 28 2.2.2 Nghiệm wavelet Galerkin đối với bài toán tuần hoàn . . . 29 2.2.3 Nghiệm wavelet Galerkin với điều kiện biên . . . . . . . . 32 1 Chương 3 Áp dụng phương pháp wavelet Galerkin để giải một số bài toán cụ thể 35 3.1 Phương trình sóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2 Phương trình nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 Phụ lục P1 Demo Version - Select.Pdf SDK 2 Danh sách hình vẽ 1.1 Hàm tỷ lệ và wavelet Daubechies cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2 Hàm tỷ lệ và wavelet Daubechies cấp 3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.1 Đồ thị nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ của phương trình sóng với N = 6, j = 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2 Đánh giá sai số với N = 6, j = 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3 Đồ thị nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ của phương trình sóng với N = 12, j = 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.4 Đánh giá sai số với N = 12, j = 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.5 ĐồDemo thị nghiệm chính -xác và nghiệm SDK xấp xỉ của phương trình nhiệt Version Select.Pdf với N = 6, j = 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.6 Đánh giá sai số với N = 6, j = 6 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Danh mục ký hiệu C, R, Z, N tập hợp các số phức, số thực, số nguyên, số tự nhiên Rn không gian Euclide n–chiều X ∗Y tích chập rời rạc của hai vectơ X và Y tích vô hướng giữa hai hàm f và g hf, gi ∂S biên của tập S δi,j ký hiệu Kronecker AT ma trận chuyển vị của ma trận A F ⊗G tích ten-xơ của hai tập F và G không gian các hàm bình phương khả tích trên X L2 (X) ℓ2 Demo Version - Select.Pdf SDKphương khả tổng không gian các dãy số bình V ⊕W tổng trực giao của V và W V ⊥W hai không gian V và W trực giao với nhau φ, ψ hàm sinh MRA, hàm wavelet φ L , ψL hàm tỷ lệ, hàm wavelet Daubechies cấp L (h(m))m∈Z , H(z) mặt nạ, biểu tượng của hàm tỷ lệ HL(z) hàm lọc Daubechies cấp L 2 Ωkd11 ,d ,k2 , Ωl−k , Ωl−k hệ số liên kết b fb, X biến đổi Fourier của hàm f , vectơ X 4 Lời nói đầu Trong thực tế, nhiều bài toán vật lý, kỹ thuật thường dẫn đến việc giải các phương trình vi phân, mà việc chứng minh tồn tại nghiệm và biểu diễn tường minh nghiệm của các phương trình này theo công cụ Giải tích thuần túy chỉ có thể áp dụng trong một số ít bài toán. Thực tế đặt ra nhiều bài toán mà việc biểu diễn tường minh nghiệm của phương trình là không thể hoặc rất phức tạp, hoặc đôi khi là không cần thiết. Khi đó ta có thể tìm nghiệm gần đúng (nghiệm số - numerical solution) của phương trình trong các điều kiện sai số cho phép dựa trên các phương pháp số (numerical methods). Các phương pháp số thường dùng để giải phương trình vi phân là phương pháp sai phân hữu hạn (FDM), Demo Version - Select.Pdf SDKpháp phần tử hữu hạn (FEM), phương pháp thể tích hữu hạn (FVM), phương phương pháp đặc trưng và phương pháp wavelet. Trong các phương pháp này, phương pháp wavelet là sự kết hợp của các phương pháp FDM, FVM và FEM nên có nhiều ưu điểm vượt trội trong việc giải xấp xỉ phương trình vi phân. Lý thuyết wavelet được đặt nền móng từ năm 1807, khi Fourier phát triển phương pháp thay thế một tín hiệu bằng chuỗi hệ số dựa trên các hàm giải tích, sau đó được A. Haar, J. Morlet, A. Grossmann, sau đó là S. Mallat và Y. Meyer phát triển lên. Khoảng năm 1998, I. Daubechies sử dụng phân tích đa phân giải của wavelet để tạo ra họ các wavelet Daubechies có giá compact, trực giao, chính quy và liên tục. Các hàm wavelet Daubechies này là các hàm cơ sở trong phương pháp wavelet Galerkin mà ta sẽ tìm hiểu trong đề tài. Xét bài toán biên Dirichlet Lu := u′′ (x) + a1 (x)u′ (x) + a2 (x)u(x) = f (x), x ∈ [0, 1], u(0) = a, u(1) = b, 5 (0.1) trong đó a1 , a2 và f liên tục trên [0, 1]. Trong không gian Hilbert L2 ([0, 1]), ta có tích vô hướng Z 1 hf, gi = f (x)g(x)dx, f, g ∈ L2 ([0, 1]). 0 Giả sử {vi , i ∈ I} là hệ trực giao đầy đủ của L2 ([0, 1]) sao cho mỗi vi thuộc lớp C 2 trên [0, 1] và vi (0) = a, vi (1) = b. Chọn tập hữu hạn Λ các chỉ số i, ta đặt S = h{vi , i ∈ Λ}i và uS = X i∈Λ αi vi ∈ S. Giả sử uS là nghiệm của phương trình (0.1), nghĩa là LuS = f , suy ra hLuS , vi i = hf, vi i ∀i ∈ Λ, từ đó dẫn đến việc giải hệ phương trình tuyến tính ẩn là các αk . Với mỗi tập Λ như vậy, ta có một nghiệm xấp xỉ uS trong S. Bằng cách tăng tập chỉ số này lên, ta được các nghiệm uS hội tụ về nghiệm u chính xác của phương trình (0.1). Đó là ý tưởng cơ bản của phương pháp Galerkin. Demo Version - Select.Pdf SDK Các hàm vi , i ∈ Λ, ở trên được gọi là các hàm thử. Trong phương pháp wavelet Galerkin, ta thay các hàm Daubechies cho các hàm thử ở trên. Nhờ có sự liên kết hệ số ở các hàm Daubechies mà nghiệm số của phương trình được tìm ra nhanh chóng. Việc tổng hợp lại các kết quả nghiên cứu về phương pháp wavelet Galerkin trong việc giải phương trình vi phân giúp chúng ta hiểu rõ hơn về nó, cũng như lý thuyết wavelet và ứng dụng trong thực tế. Xuất phát từ những lý do trên, tôi lựa chọn đề tài “Phương pháp wavelet Galerkin trong việc giải phương trình vi phân” để nghiên cứu trong luận văn của mình. Luận văn được trình bày trong ba chương. Chương 1 trình bày kiến thức cơ sở để xây dựng phương pháp wavelet Galerkin, bao gồm phân tích đa phân giải, cơ sở wavelet trực chuẩn, hàm tỷ lệ Daubechies, hệ số liên kết và tích chập rời rạc. Các kết quả trong chương này được chủ yếu dựa trên các tài liệu [1] và [6]. Chương 2 trình bày nội dung chính của Luận văn, đó là việc áp dụng 6 phương pháp wavelet Galerkin trong việc giải các phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cùng các dạng của nghiệm wavelet Galerkin dựa trên các tài liệu [3], [4]. Chương 3 đưa ra một số ví dụ cụ thể nhằm minh họa các kết quả ở chương 2. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song quá trình nghiên cứu và trình bày không thể tránh khỏi sai sót, mong quý độc giả góp ý thêm để Luận văn được hoàn thiện hơn. Demo Version - Select.Pdf SDK 7